正定矩陣的性質(zhì)研究及應用

李紹剛, 遲曉妮

(1.桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004;2.廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004)

0 引言

正定矩陣是一類特殊且重要的矩陣類型，在最優(yōu)化控制、幾何學、概率論、計算機圖形學等學科中有著廣泛的應用，文獻[1-5]對正定矩陣在單調(diào)性、凸性、等價性以及合同對角化方面做了研究和探討，文獻[6]對正定矩陣的行列式的不等式進行了研究。

本文對正定二次型的判定方法進行研究，并對其性質(zhì)進行了推廣, 利用同時合同對角化的結(jié)論對正定性的相關命題進行了研究，并給出正定性的不等式應用，舉例說明了應用的情況。

1 基本引理

首先給出正定矩陣證明中常用的幾個基本結(jié)論，這些結(jié)論在定理證明中有重要應用。

引理1[7]已知x≠0∈Rn，

1)若A是n階矩陣，且|A|≠0，則Ax≠0;

2)若B是m×n的實矩陣，且r(B)=n,則Bx≠0。

引理2設A是m階正定矩陣，B是m×n的實矩陣，證明：BTAB正定的充要條件是r(B)=n。

證明因為 (BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB是實對稱矩陣。

(充分性)對任意x≠0∈Rn，因為r(B)=n，由引理1 可知Bx≠0， 注意到A是m階正定矩陣，則有(Bx)TA(Bx)=xTBTABx>0,故BTAB正定。

(必要性)因為BTAB正定， 所以對任意x≠0∈Rn，有xTBTABx=(Bx)TA(Bx)>0, 又依題設，A為正定矩陣，則由正定的定義要求可知Bx≠0，即除非x=0才有Bx=0，故r(B)=n。 必要性也可這樣證明：由BTAB正定可知r(BTAB)=n, 從而可得

n=r(BTAB)≤r(B)≤n,

即證r(B)=n。

由該引理不難得到下列結(jié)論成立。

1)若A為n階實矩陣，則A可逆的充要條件是矩陣ATA正定。

2)設Am×n為實矩陣, 則線性方程組Am×nx=0只有零解的充要條件是矩陣ATA為正定矩陣。

引理3設A為n階實對稱矩陣，B為n階正定矩陣，則存在n階可逆矩陣P使得

PTBP=E,PTAP=Λ。

其中Λ為對角形矩陣。

PTBP=E,PTAP=Λ。

引理4[7]設A∈Rn×n, 則下列結(jié)論互相等價：1)A為正定矩陣； 2)A與單位矩陣E合同；3) 存在可逆矩陣P，使得A=PTP;4) 存在列滿秩矩陣B∈Rm×n,使得A=BTB;5) 存在正定矩陣B,使得A=B2;6) 存在正定矩陣B與k≥1，使得A=Bk;7)A的特征值全為正數(shù)。

引理51)若A為n階正定矩陣，B為n階實對稱矩陣，則AB的特征值為實數(shù)；

2)若A為n階正定矩陣，B為n階半正定矩陣，則AB的特征值為非負實數(shù)。

證明1)由A正定矩陣和引理4可知A=C2，其中C為正定矩陣。于是

AB=C2B=C(CTBC)C-1,

B為實對稱矩陣和引理2可知CTBC也為實對稱，從而特征值為實數(shù)。上式表明AB與CTBC相似, 從而有相同的特征值，所以AB的特征值為實數(shù)。

2)接上面，當A為n階正定矩陣，B為n階半正定矩陣，CTBC也為半正定，從而特征值為非負實數(shù)，進一步得AB的特征值為非負實數(shù)。

2 正定性質(zhì)的推廣

定理1設A,B均為n階正定陣，證明：AB正定的充要條件是AB=BA。

證明(必要性)因為AB為正定矩陣，則AB=(AB)T=BTAT=BA。

(充分性)因為AB=BA，故(AB)T=(BA)T=ATBT=AB，故AB為對稱矩陣。因為A為n階正定陣，故可令A=C2，其中C為n階正定陣，于是C-1ABC=C-1C2BC=CBC=CTBC，從而AB與CTBC相似，具有相同的特征值，又因為B為n階正定陣，故CTBC為n階正定陣，其特征值全為正數(shù)，所以AB的所有特征值全為正數(shù)，故AB正定。

定理2設A,B,A-B均為n階正定矩陣，且AB=BA，證明：矩陣A2-B2為正定矩陣。

證明(方法1) 依題意知AT=A,BT=B,而A,B均為n階正定陣，則A+B為正定矩陣，又因A-B為正定矩陣，且AB=BA，從而A2-B2=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B) ，從而由定理1可知矩陣A2-B2為正定矩陣。

(方法2) 因A,B為正定矩陣，所以A+B正定，因此存在可逆矩陣C，使得A+B=CTC，又因AB=BA，故A2-B2=(A-B)(A+B)=C-1C(A-B)CTC, 因此A2-B2與C(A-B)CT的特征值相同，且后者與A-B的特征值同號，又A-B正定，因此A2-B2的所有特征值全大于零，而A2-B2是對稱陣，故A2-B2正定。

定理3設A為n階可逆實對稱矩陣，證明：矩陣A正定的充要條件是對于任意的n階正定矩陣B，tr(AB)>0,其中tr(·)表示方陣的跡。

證明(必要性)因為A正定，由引理4可知存在正定矩陣C，使得A=C2, 故可得C-1ABC=C-1C2BC=CBC=CTBC,即AB與CTBC相似，而B正定，從而CTBC正定，即CTBC的特征值都大于零，從而AB特征值都大于零，即tr(AB)>0。

(充分性)由于存在正交矩陣P，使得PTAP=diag{λ1,λ2,…,λn}，其中λi≠0,i=1,2,…,n是A的特征值。令B=Pdiag{1,t,…,t}PT,00。 同理可證λi>0,i=2,3,…,n。 即A正定。

3 正定性的應用

3.1 特征值和方程根方面的應用

定理4設A為n階實對稱矩陣，其特征值滿足λ1≤λ2≤…≤λn，則有?X∈Rn，有λ1XTX≤XTAX≤λnXTX。

證明因為A為n階實對稱矩陣，故存在正交矩陣T，使得TTAT=T-1AT=diag{λ1,λ2,…,λn}=Λ,于是T-1AT-λ1E的特征值非負，故A-λ1E半正定，從而XT(A-λ1E)X≥0，即λ1XTX≤XTAX。 類似可證XTAX≤λnXTX。從而λ1XTX≤XTAX≤λnXTX。

推論1令c≥max{|λ1|,|λ2|,…,|λn|}>0，則?X∈Rn有|XTAX|≤cXTX。

定理5設A,B均為n階實對稱矩陣且B為正定矩陣，則有

1)|λB-A|=0的根全是實數(shù)；

2)設|λB-A|=0的根為λi(i=1,2,…,n)且滿足λ1≤λ2≤…≤λn，則

且f(X)=XTAX在約束條件XTBX=1下的最小值和最大值分別為λ1,λn。

證明1)因為B為n階正定矩陣，A為n階實對稱矩陣，故由引理3可知存在n階可逆矩陣P,使得

PTBP=E,PTAP=Λ=diag{λ1,λ2,…,λn},

且λi(i=1,2,…,n)是實數(shù)， 從而|λB-A|=0等價于|PT(λB-A)P|=0, 由 |P|≠0，可以約去|P|2，即得(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=0，故|λB-A|=0的根λ=λi(i=1,2,…,n)全是實數(shù)。

方法2由XTBX=1，故XT(PT)-1P-1X=1, 令P-1X=(y1,y2,…,yn)T，則

f(X)=XTAX=XT(PT)-1ΛP-1X=YTdiag{λ1,λ2,…,λn}Y=

同理可證f(X)≤λn。

推論2設A,B均為n階正定矩陣，證明：1)|λB-A|=0的根全是正數(shù)；2)AB正定的充要條件是AB=BA。

證明1)類似于定理5的證明，從略。

2)充分性。因為A,B均為n階正定矩陣，故AT=A,BT=B，又因為AB=BA, 所以(AB)T=BTAT=BA=AB，從而AB為對稱矩陣；注意到A,B正定，所以A-1也正定，從而由1)可知|λA-1-B|=0的根全大于0，即|λE-AB|=0的根全大于0，這說明AB的特征根全大于0， 故AB為正定矩陣。 必要性與定理1相同。

例1設A,B均為n階正定矩陣，且存在實可逆矩陣P，使得PTAP=E,PTBP=Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}。證明：1)λ1,λ2,…，λn是矩陣BA-1的全部特征值；2)A-B正定的充要條件是對于BA-1的每一個特征值λ，有|λ|<1。

證明1)一方面，由已知條件可知，|λA-B|=0等價于|PT(λA-B)P|=0，即 |λE-Λ|=0 ；另一方面，|λA-B|=0等價于|(λA-B)A-1|=0，即 |λE-BA-1|=0，從而λ1,λ2,…，λn是矩陣BA-1的全部特征值，證畢。

2)PT(A-B)P=diag{1-λ1,1-λ2,…,1-λn}，即A-B合同于對角陣diag{1-λ1,1-λ2,…,1-λn}，由正定矩陣的特征值均大于零可得|λ|<1。

例2(北京化工大學2014年考研題)設A,B均為n階實對稱矩陣，且A為正定矩陣，B為負定矩陣，證明：多項式f(λ)=|B-λA|=0的根全是負實數(shù)。

例3(上海大學2015年考研題)設A,B均為n階實對稱矩陣，且A為正定矩陣，多項式f(λ)=|λA+B|=0的根全是正數(shù)，證明：B為負定矩陣。

證明由A為正定矩陣，B為實對稱矩陣 ，由引理3可知，存在可逆矩陣P，使得PTAP=E,PTBP=Λ，其中P=P1P2。

3.2 不等式方面的應用及推廣

定理6設A,B均為n階正定矩陣，證明：|A+B|>|A|+|B|。

推論3設A為n階正定矩陣，B為n階半正定矩陣，則|A+B|≥|A|+|B|。

利用上述推論易證下列結(jié)論成立。

1)設A為n階正定矩陣，E為n階單位矩陣，則有|A+E|>1;

2)設A為n階正定矩陣，則有|A+2E|>2n;

3)設A為n階半正定矩陣，則有|A+2019E|≥2019n，等號成立當且僅當A=0;

4)設A為n階正定矩陣，B為實矩陣并且0不是B的特征值，則有|A+BTB|>|A|。

證明由引理3可知存在實可逆矩陣P使得A=PTEP,B=Λ=PTdiag{λ1,λ2,…,λn}P，|λB-A|=0的根λ1,λ2,…,λn全是正數(shù)。 從而可得

|A+B|=|P|2(1+λ1)(1+λ2)…(1+λn)， |A|=|P|2，|B|=|P|2λ1λ2…λn，

結(jié)論成立只需證明下列不等式成立

上述定理7和定理8的證明均由引理3進行轉(zhuǎn)化為相關不等式的證明。

定理9(阿達瑪定理1893)

定理10[6]若A=(aij)n是n階正定矩陣，假設α,β是給定的指標集(是集合{1,2,…,n}的一個子集)，令A(α)表示A的一個子矩陣(A的行列取法由α確定)，如果α為空的，記A(α)=1，則有

1)Hadamard-Fischer不等式：|A(α∪β)|≤|A(α)||A(β)|。

正定矩陣的不等式也是現(xiàn)階段的一個研究重點，可以結(jié)合Kantorovich、Jessen不等式和矩陣的譜理論進行深入研究。

4 結(jié)論

本文總結(jié)了正定矩陣的基本性質(zhì)，并推廣其部分性質(zhì)，研究了這些性質(zhì)在相關題目中的一些應用以及正定矩陣行列式的不等式公式及相應的推廣。