滲透模型思想 發(fā)展結(jié)構(gòu)性思維

四川省成都市武侯實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬小學(xué) 唐 斌 付興容

所謂“高階思維”，是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力；高階思維具有發(fā)散性、結(jié)構(gòu)性、主動(dòng)性、批判性等特質(zhì)。思維的“結(jié)構(gòu)性”是高階思維的一個(gè)重要方面，主要是指有序的、系統(tǒng)的立體化思維方式，具有系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)。結(jié)構(gòu)性思維，能使方法簡(jiǎn)潔、分析深邃、決策高效，問(wèn)題解決能力強(qiáng)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，以結(jié)構(gòu)化教學(xué)統(tǒng)整數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維。教學(xué)中滲透模型思想，以“建?！薄坝媚！薄白兡！薄俺！睘榫唧w路徑，發(fā)展學(xué)生思維系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生 結(jié)構(gòu)性思維，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。

一、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從“無(wú)形到有形”，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展系統(tǒng)性思維

例如：暑假到了，瑞瑞一家三口自駕從成都到西昌旅游，距離約是450 千米。他們?cè)缟?：30 從家出發(fā)，上午11：30 到達(dá)名山服務(wù)區(qū)，汽車(chē)行駛了150 千米。休息半小時(shí)后按原速繼續(xù)行駛，中午吃飯花了一小時(shí)，下午6：00 能到達(dá)西昌嗎？自駕游已成為現(xiàn)在家庭旅游的交通方式之一，學(xué)生在生活情境中會(huì)經(jīng)常遇到此類(lèi)問(wèn)題，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。學(xué)生根據(jù)問(wèn)題及信息梳理問(wèn)題結(jié)構(gòu)：求結(jié)束時(shí)間，必須先求經(jīng)過(guò)時(shí)間；算經(jīng)過(guò)時(shí)間需要路程與速度；但由于題中沒(méi)有明確告知汽車(chē)行駛的速度，因此需要借助“早上9：30從家出發(fā)”“上午11：30 到達(dá)名山服務(wù)區(qū)”這兩條信息先求出經(jīng)過(guò)時(shí)間，再用已學(xué)習(xí)的“路程÷時(shí)間=速度”運(yùn)算模型，算出汽車(chē)行駛的速度。接著算出剩下路程所用時(shí)間，再算出總共所花的經(jīng)過(guò)時(shí)間，最后算出結(jié)束時(shí)間，與下午6：00 進(jìn)行比較。學(xué)生在解決此問(wèn)題過(guò)程中，構(gòu)建了新的認(rèn)知體系，抓速度不變，構(gòu)建“路程÷時(shí)間=速度”關(guān)系模型，系統(tǒng)化思考“余下路程所用時(shí)間”的新問(wèn)題。

二、巧用數(shù)學(xué)模型，由點(diǎn)及面，深化模型內(nèi)涵，發(fā)展遷移性思維

結(jié)構(gòu)化思維，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)構(gòu)建，而且表現(xiàn)在模型的靈活運(yùn)用上，運(yùn)用已有的模型解決新問(wèn)題，深化對(duì)模型內(nèi)涵的理解，發(fā)展遷移性思維。模型應(yīng)用，串式思考，縱向延伸，深入分析問(wèn)題的本質(zhì)，如倒數(shù)在分?jǐn)?shù)除法算法中的應(yīng)用，進(jìn)一步探究“倒數(shù)”概念的作用，深入體會(huì)“倒數(shù)”的本質(zhì)意義；橫向聯(lián)系，網(wǎng)狀思考，建立不同問(wèn)題間的聯(lián)系，立體挖掘模型意義，如分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、比等之間的必然聯(lián)系。從“縱”“橫”角度，從點(diǎn)到面，將知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化為思維結(jié)構(gòu)，提高模型的應(yīng)用能力。

“以一定的邏輯順序整合、內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)化思維的真諦所在?！崩?，《小兔請(qǐng)客》（北師大版一年級(jí)下冊(cè)），學(xué)生觀察情境圖收集數(shù)學(xué)信息“左邊擺了2 盤(pán)果子，右邊擺了3 盤(pán)果子，每盤(pán)有10 個(gè)果子”，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題：“一共有多少個(gè)果子呢？”這是學(xué)生第一次接觸超過(guò)20 的加法計(jì)算。用小棒代替果子，借助學(xué)具進(jìn)行操作，讓學(xué)生擺一擺，說(shuō)一說(shuō)有多少根小棒。部分學(xué)生借助小棒，將“一盤(pán)10個(gè)”與“一捆10 根”對(duì)應(yīng)，進(jìn)行“10個(gè)10 個(gè)地?cái)?shù)”，體現(xiàn)了數(shù)數(shù)模型的運(yùn)用與遷移：“1 捆有1 個(gè)10，左邊的2捆就有2 個(gè)10，右邊的3 捆就有3 個(gè)10，合起來(lái)就有5 個(gè)10，也就是50?！睌?shù)數(shù)模型進(jìn)一步發(fā)展到加法計(jì)算模型：“因?yàn)?+3=5，所以2 個(gè)10+3 個(gè)10=5個(gè)10 也就是50。”借助數(shù)的意義“2個(gè)10 加3 個(gè)10 等于5 個(gè)10”，運(yùn)用“10以內(nèi)加法”模型，拓展到“10 以上加法”模型，縱向聯(lián)系，進(jìn)一步體現(xiàn)了加法計(jì)算法則的內(nèi)涵“相同的計(jì)數(shù)單位相加”。由整數(shù)加減法，到小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法，橫向勾連，都是應(yīng)用“相同的計(jì)數(shù)單位相加減”模型進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生掌握了計(jì)算模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生舊知識(shí)解決新問(wèn)題的思維遷移能力。

學(xué)習(xí)整十?dāng)?shù)的加法計(jì)算，就是學(xué)生學(xué)習(xí)加法運(yùn)算的意義，及經(jīng)歷整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算算理建模的過(guò)程。由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“2 個(gè)10 加3 個(gè)10”延伸至一類(lèi)知識(shí)“小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算”，凸顯出數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，便于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型——相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減，這便是將一個(gè)問(wèn)題的解決拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有了全面、深刻的理解，培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力。

三、變換數(shù)學(xué)模型，由表及里，拓展模型外延，發(fā)展本質(zhì)性思維

遵循知識(shí)間的邏輯關(guān)系，把握知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈中的具體位置，以“刨根問(wèn)底”的態(tài)度，以問(wèn)題串形式，由表及里，追尋知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展本質(zhì)性思維。立體多向思考，突破模型化的思維定式，破解“套?！?，變換模型的不同式樣，建立模型間關(guān)系；從不同角度拓展模型外延，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

在建立牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，建立良好的思維結(jié)構(gòu)。如“雞兔同籠”問(wèn)題，學(xué)生學(xué)會(huì)列表法后，再探討多種方法，拓展問(wèn)題解決模型，進(jìn)一步提出問(wèn)題，以“問(wèn)”促進(jìn)思考，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。如“還有哪些方法？你覺(jué)得哪種方法更簡(jiǎn)單？這些方法分別適用于哪些情況？……”學(xué)生嘗試其他方法如極端假設(shè)法、任意假設(shè)法、除減法、盈虧法、比例分配法、布列方程法等，在多種方法的對(duì)比中，“以一帶多”，明白此類(lèi)問(wèn)題的內(nèi)涵。改變模型條件，擴(kuò)大模型外延，運(yùn)用聯(lián)系的思想，由表及里，認(rèn)識(shí)模型本質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問(wèn)題的多種表現(xiàn)形式，明確問(wèn)題的本質(zhì)都是“猜想”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，抓住了本質(zhì)，方可舉一反三。如三輪與四輪車(chē)并存、運(yùn)貨運(yùn)費(fèi)中賠償問(wèn)題、晴天雨天摘果子問(wèn)題等，都可以用“同籠”方法解決。由“雞兔同籠”問(wèn)題基本模型“已知雞兔頭之和與足之和，求雞兔各有多少只”，到變換條件“已知雞兔頭之和與足之差”“已知雞兔頭之差與足之和”“已知雞兔頭倍數(shù)與足之差”“已知雞兔頭倍數(shù)與足之和”“已知雞兔頭之和與足倍數(shù)”等，求“雞兔各有多少只”；如此拓展了“雞兔同籠”的問(wèn)題解決基本模型，進(jìn)一步鞏固“假設(shè)”“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用列表法或方程法解決問(wèn)題，在建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展解決問(wèn)題的高階思維 能力。

四、超越數(shù)學(xué)模型，從有形到無(wú)形，深化數(shù)學(xué)思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維

再如，一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2 厘米，則體積增加80 立方厘米；如果寬增加3 厘米，則體積增加150 立方厘米，如果高增加4 厘米，則體積增加320 立方厘米。那么原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是（ ）平方厘米。學(xué)生發(fā)現(xiàn)以“長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2”計(jì)算模型無(wú)法解決此問(wèn)題，需要運(yùn)用原始模型——表面積概念“長(zhǎng)方體各面面積之和”，部分學(xué)生借助畫(huà)圖，突破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，超越與突破了基本計(jì)算模型，找到新的計(jì)算方法。根據(jù)題目信息間的關(guān)系，重新建立“體積÷長(zhǎng)=左（右）面面積”“體積÷寬=前（后）面面積” “體積÷高=上（下）面面積”“（左面積+前面積+上面積）×2=表面積”計(jì)算結(jié)構(gòu)。雖建立了長(zhǎng)方體表面積公式的數(shù)學(xué)模型，但由于此問(wèn)題比較抽象，學(xué)生的空間觀念不強(qiáng)，因此僅靠讀題無(wú)法找到數(shù)學(xué)信息與問(wèn)題之間的聯(lián)系。畫(huà)圖中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用具體、形象、直觀的圖示表示出來(lái)，引領(lǐng)學(xué)生找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，讓學(xué)生感受到“柳暗花明又一村”。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想不僅提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提高了學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型舉一反三的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)高階思維能力發(fā)展。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從混亂中找到順序，從零散中找到關(guān)系，從發(fā)散中找到核心，從現(xiàn)象中抽象出本質(zhì)，從變化中學(xué)會(huì)創(chuàng)造的思維能力，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維能力的提升，從而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。方法是路徑，思想是靈魂。沒(méi)有思想的方法僅是呆板工具；蘊(yùn)含思想的方法，才有強(qiáng)大生命力！