充分利用“數(shù)形結(jié)合”，引導(dǎo)學(xué)生理清算理

陳清傳

[摘要]如何讓計(jì)算更有數(shù)學(xué)味道，要從理解算理開始，但對于以具體形象思維為主的小學(xué)生來說，計(jì)算算理的抽象性又使學(xué)生難以理解，這就需要有一種介于抽象和直觀之間的媒介來解決，“數(shù)形結(jié)合”是最有效，最直觀的辦法，它可以將“數(shù)”體現(xiàn)于“形”，又可以用“形”體現(xiàn)出“數(shù)”的作用，使學(xué)生體會到“數(shù)”與“形”的關(guān)系，將抽象的語言與直觀的圖像聯(lián)結(jié)起來，使計(jì)算的道理直觀化。其實(shí)在教材中應(yīng)用了不少“數(shù)形結(jié)合”的工具，比如點(diǎn)子圖、數(shù)格子、擺小棒、畫數(shù)線等，本文探討了如何有效地利用這些直觀方法，幫助學(xué)生主動參與到表象的建立和算理的探究中，從而達(dá)到對算理的深層理解，牢固掌握算法，形成計(jì)算技能。

[關(guān)鍵詞]“數(shù)形結(jié)合”;算理;探究;理解

“算理”，字面的理解就是計(jì)算的道理，為什么這樣算的理由。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，有的學(xué)生雖然懂得算，但卻不知道為什么這樣算，也就是對算理不甚了解，只知其然，不知其所以然，很多學(xué)生的計(jì)算只是機(jī)械地操練，學(xué)生的計(jì)算能力整體偏弱。

一、趣擺小棒，感悟算理

小棒是孩子們眼中非常熟悉的物品，既直觀又形象，是教材最常采用的教學(xué)方法之一。小棒好比是一把打開數(shù)學(xué)大門的“金鑰匙”，實(shí)踐證明，巧妙地運(yùn)用“擺小棒”操作活動，能使抽象的計(jì)算具體化、深奧的算理形象化，又能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有趣。

如教學(xué)北師大版一年級上冊“一共有幾瓶牛奶（9+5=？）”時，一般學(xué)生都能正確得出14這一結(jié)果，但是教學(xué)9+5的目的不僅僅是讓學(xué)生口算得出結(jié)果，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生展現(xiàn)“湊十法”的思考過程，明白加法的計(jì)算規(guī)律。特別是低年級學(xué)生，合理有效地引導(dǎo)學(xué)生利用常見的小棒這一學(xué)具，“數(shù)形結(jié)合”顯得既有必要又有趣味。

教師引導(dǎo)學(xué)生分步、有序地操作：

1、照算式中的數(shù)擺2堆小棒，一堆9根，另一堆5根。提出問題思考：怎樣操作，讓人一眼就看出有14根小棒？

2、邊操作邊口述，把5分成了1和4，再把1和9湊在一起得到10，10和4合起來共14根（圖1），再指定學(xué)生上臺現(xiàn)場操作，邊操作邊口述，其他學(xué)生認(rèn)真傾聽。

3、在學(xué)生擺小棒這一操作探究的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，教師利用課件動態(tài)展示從5中“分”出來的1根小棒和9根小棒“合”湊成10的過程，概括出“湊十法”，明白計(jì)算的道理（圖2）。

有的教師可能會認(rèn)為學(xué)生都會算了，還擺小棒會造成秩序混亂，浪費(fèi)寶貴的教學(xué)時間，可以省去操作過程，不用再讓學(xué)生操作小棒。其實(shí)“擺小棒”是一種行為操作，以直觀的方法獲得計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果，是學(xué)生獲取直接經(jīng)驗(yàn)的重要渠道，學(xué)生在操作的過程中理解“湊十法”的整個思考過程。所謂“我經(jīng)歷了，我就懂了”，學(xué)生有了這種操作的經(jīng)歷，會在腦海中形成直觀的印象，當(dāng)下次教學(xué)8加幾，7加幾時，頭腦中就會自覺地再現(xiàn)“湊十法”的操作過程，從而達(dá)到培養(yǎng)遷移類推能力的目的。

二、妙用點(diǎn)子圖，探究算理

點(diǎn)子圖也是教材常用的引導(dǎo)學(xué)生理解算理的一種教學(xué)方法，教材為什么要用點(diǎn)子圖？教材中提到：低年級學(xué)生的思維正處在由形象思維向抽象思維過渡的階段。點(diǎn)子圖是從形象思維到抽象思維的數(shù)學(xué)化過程，妙用“點(diǎn)子圖”的直觀載體幫助學(xué)生更好地理解算理、開拓學(xué)生的思路，讓學(xué)生能夠運(yùn)用多元化的思維解決數(shù)學(xué)問題，有效提高學(xué)生理解問題的能力。例如教學(xué)北師大版三年級上冊“一共有多少只螞蟻（兩位數(shù)乘一位數(shù)）12x4”計(jì)算時，提供給學(xué)生一張點(diǎn)子圖為研究素材，讓學(xué)生自己動手操作，在點(diǎn)子圖中充分暴露思維軌跡，呈現(xiàn)豐富的思考過程，體會不同的解題策略和個性理解。學(xué)生交流算理時，始終結(jié)合點(diǎn)子圖來解釋明理。

在利用點(diǎn)子圖充分理解口算算理的基礎(chǔ)上，教材繼續(xù)用點(diǎn)子圖來突出豎式加法里面兩個加數(shù)的意義，也揭示了豎式筆算兩個重要的計(jì)算步驟與口算的聯(lián)系。

學(xué)生通過觀察點(diǎn)子圖理解8和40分別在點(diǎn)子圖中的哪個位置？理解豎式表示的算理是先把12看成10和2，4x2=8表示每排有4只，2排，就是2個4有8只螞蟻，10x2=40是每排有4只，10排表示10個4，共40只螞蟻，再加起來一共有48只螞蟻。針對“4”為什么要寫在十位上，8寫在個位上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在圖中找到它所表示的點(diǎn)子數(shù)并說清理由。最后學(xué)生通過對比明白了兩種寫法的道理其實(shí)是相同的，即：都是用一位數(shù)分別去乘另一個因數(shù)的每一位，再把所得的積相加，只是第二種寫法比較簡潔。

探索算理是為了更好地掌握算法，有數(shù)與形的巧妙結(jié)合，就能化抽象為直觀地理解算理。在點(diǎn)子圖的幾何直觀下能更好地把乘法意義從隱性轉(zhuǎn)化為顯性，為學(xué)生更好地理解搭建“腳手架”，直觀地解釋每一步的算理，溝通了口算和豎式計(jì)算相應(yīng)的聯(lián)系，“先分后合”的思路與乘法豎式計(jì)算的基本思路融為一體，突出了教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)。

三、利用數(shù)線，理解算理

數(shù)線作為一種直觀工具，能幫助小學(xué)生理解數(shù)學(xué)算理。北師大版教材從一年級就開始引入數(shù)線，類似“尺子”的數(shù)線實(shí)際上是數(shù)軸的“雛形”，利用數(shù)線既可以體會數(shù)的順序和比較大小，又可以進(jìn)行計(jì)算：“順著數(shù)”相當(dāng)于加法，“倒著數(shù)”相當(dāng)于減法，可以幫助學(xué)生很好地理解加法和減法的計(jì)算道理，因此，數(shù)線具有重要的價值。在教學(xué)北師大版二年級《加與減》中有關(guān)三位數(shù)進(jìn)位或不進(jìn)位加減法時，如計(jì)算122+149=？，這里教材采用了畫數(shù)線、撥計(jì)算器、列豎式計(jì)算三種方式，啟發(fā)學(xué)生借助多種直觀方式獲得計(jì)算結(jié)果。在畫數(shù)線時把122作為起點(diǎn)，將149分為100、40、9，因?yàn)槭羌臃ㄋ浴跋蛴翼樦嫛保日偌?，再整十加，最后加個位得出271的結(jié)果。計(jì)算118-57時，118作為起點(diǎn)，因?yàn)槭菧p法所以“向左倒著畫”，整十、個位逐一減去，非常地直觀易懂。

經(jīng)過實(shí)踐，學(xué)生很喜歡這種方式，學(xué)生更容易依據(jù)數(shù)線理解算理得出結(jié)果，而且不易出錯。數(shù)線是一種非常直觀易懂的方法，等同于分步計(jì)算，學(xué)生容易理解數(shù)的組成和意義，發(fā)現(xiàn)相同數(shù)位要對齊的計(jì)算道理。教材之所以大量采用畫數(shù)線的方法解決加與減的計(jì)算就是因?yàn)楫嫈?shù)線體現(xiàn)了口算過程的直觀化，它幫助學(xué)生直觀地展示和記錄了計(jì)算的過程，利于學(xué)生數(shù)感的形成。當(dāng)然，對于計(jì)算教學(xué)，教材還采用了很多直觀的方法，如表格、畫線段、計(jì)數(shù)器等，主要目的就是要讓學(xué)生在領(lǐng)悟算理的基礎(chǔ)上掌握算法，形成計(jì)算技能。不明白算理的算法是機(jī)械的，對計(jì)算技能的形成是不牢固的，其遷移能力就難以培養(yǎng)，無法靈活運(yùn)用。在計(jì)算教學(xué)要充分發(fā)揮這些直觀工具，注重“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解算理，做到“循理入法，以理馭法”，最終形成牢固靈活的計(jì)算技能。