高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)方法及解題技巧探究

摘 要：圓錐曲線知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)提高學(xué)生的解題能力、鍛煉學(xué)生的邏輯思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神等具有積極的促進(jìn)作用。然而，圓錐曲線向來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)其存在畏難心理，并且難以真正地掌握和理解。針對(duì)這一情況，本文對(duì)圓錐曲線的有效教學(xué)方法和解題技巧進(jìn)行了探究，旨在打消學(xué)生的畏難情緒，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;教學(xué)方法;解題技巧

高考是人生的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)在高考中扮演著不可或缺的角色，且在高考成績(jī)中占據(jù)較大的分值。對(duì)于高考數(shù)學(xué)來說，圓錐曲線知識(shí)更是每年的必考點(diǎn)，不僅在選擇題中有所涉及，更常常成為最后的壓軸題。根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，圓錐曲線知識(shí)的分值將近占到了高考數(shù)學(xué)總分的20%，這是多么龐大的數(shù)據(jù)。由此可見，學(xué)生學(xué)好圓錐曲線知識(shí)十分必要，這將極大地促進(jìn)他們高考成績(jī)的提高，幫助他們走向光明燦爛的未來。

一、 圓錐曲線知識(shí)的重要性

圓錐曲線知識(shí)之所以重要不僅在于它能幫助學(xué)生取得理想的高考成績(jī)，更在于學(xué)生在解決圓錐曲線題目的過程中，他們的綜合運(yùn)用知識(shí)能力、思維能力、創(chuàng)新能力等得到了培養(yǎng)和提高。一方面，圓錐曲線知識(shí)較為抽象、復(fù)雜，相對(duì)高中數(shù)學(xué)的其他部分難以理解，所以學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)需要具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，需要學(xué)生對(duì)以前學(xué)過的知識(shí)和內(nèi)容理解得更加全面與透徹，由此在一定程度上提高了學(xué)生的遷移能力、學(xué)習(xí)能力、理解能力等;另一方面，圓錐曲線的綜合題目包含著較多的數(shù)學(xué)規(guī)律與定理，涉及面十分寬廣，且題型富于變化性和動(dòng)態(tài)性。學(xué)生要想正確解答出此類問題，就需要積極地動(dòng)腦思考，充分調(diào)動(dòng)頭腦中已有的解題思路和解題方法，從而找到題目的突破口，由此鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯，刺激了學(xué)生的思維活躍性，有利于學(xué)生思維能力的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。

二、 圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)方法

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，是提高教學(xué)效果的重要因素，更是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的強(qiáng)大內(nèi)驅(qū)力。在圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮“興趣”的力量，積極創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的欲望和動(dòng)力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，從而取得良好的教學(xué)效果。

比如，筆者在教學(xué)“橢圓及其方程”時(shí)，就創(chuàng)設(shè)了人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的問題情境，提問學(xué)生：“衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)軌道是什么圖形呢？衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的一般方程是不是被科學(xué)家已知的，否則他們?nèi)绾畏判牡匕l(fā)射人造衛(wèi)星呢？萬一衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)發(fā)生了偏移該怎么辦？”學(xué)生們的學(xué)習(xí)興致一下子被激發(fā)出來，展開了熱烈的討論。此時(shí)，筆者再提出：“學(xué)習(xí)了本節(jié)課的知識(shí)，同學(xué)們就會(huì)稍有了解了，接下來就隨老師一起進(jìn)入橢圓方程的世界吧！”于是順利地開展了接下來的教學(xué)。通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的興趣，使他們?cè)谧詈玫臓顟B(tài)下聽講，有利于提高教學(xué)效率。

（二）自主探究，發(fā)展自學(xué)能力

探究式課堂是新課改重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的教學(xué)模式，它能充分發(fā)揮學(xué)生的主人公作用，提高學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)的參與度，讓學(xué)生在“真槍實(shí)戰(zhàn)”中掌握知識(shí)，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的記憶和理解，同時(shí)可以提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，有效培養(yǎng)學(xué)生的探究精神。因此，教師在實(shí)際的教學(xué)過程中，應(yīng)該創(chuàng)造探究式的課堂氛圍，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行自主探究活動(dòng)。

比如，筆者在教學(xué)“橢圓的定義和概念”時(shí)，就給學(xué)生提供了豐富的教具，要求學(xué)生利用細(xì)繩、紙板、圖釘、鉛筆等自行繪制橢圓，測(cè)量出橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和，并測(cè)量出此時(shí)細(xì)繩的長(zhǎng)度，然后探究二者之間的關(guān)系，并且根據(jù)發(fā)現(xiàn)的關(guān)系來介紹橢圓的概念。通過自主探究，不僅加深了學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解和掌握，而且極大地發(fā)展了學(xué)生的自學(xué)能力，有利于提高教學(xué)質(zhì)量。

（三）合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)合作精神

所謂合作學(xué)習(xí)，就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，結(jié)合成科學(xué)合理的小組，然后共同完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)的教學(xué)模式。小組合作學(xué)習(xí)的效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于個(gè)人學(xué)習(xí)的效率，有利于加快教學(xué)進(jìn)度，并且能有效培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)、人際交往能力等，得到了廣大教師的認(rèn)可和青睞。教師在教學(xué)圓錐曲線的知識(shí)時(shí)，也可以采取合作學(xué)習(xí)的模式，從而促進(jìn)教學(xué)效率的提高。

比如，筆者在教學(xué)“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”時(shí)，就要求學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，明確分工，組內(nèi)成員分別研究橢圓的定義、雙曲線的定義和拋物線的定義，重點(diǎn)關(guān)注平面內(nèi)的點(diǎn)到某一定點(diǎn)F和某一定直線l的距離之比——常數(shù)e的取值發(fā)生變化時(shí)，這些點(diǎn)的軌跡會(huì)有何變化，然后組內(nèi)進(jìn)行分析討論，得出結(jié)論。同學(xué)們迅速得到了圓柱曲線的統(tǒng)一定義，并且總結(jié)出當(dāng)e的取值范圍為01時(shí)，這些點(diǎn)的軌跡形成雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)，這些點(diǎn)的軌跡形成拋物線。通過合作學(xué)習(xí)，不僅顯著提升了教學(xué)效率，而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊(duì)意識(shí)，有利于他們走出校門后更好地適應(yīng)社會(huì)。

三、 圓錐曲線題目的解題技巧

（一）重視曲線定義，巧妙解決最值問題

學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的知識(shí)，第一步就是學(xué)習(xí)圓錐曲線的定義，很多學(xué)生認(rèn)為定義很簡(jiǎn)單，不值得推敲，卻不知最簡(jiǎn)單的最容易被忽略，也容易成為出題人的?？純?nèi)容，很多看似復(fù)雜的最值問題利用定義就可以巧妙地解決。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視定義，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)。

【例1】 已知橢圓x2/16+y2/4=1上某一點(diǎn)Q到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之積為q，求q的最大值，并求此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：此題求Q點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積，根據(jù)橢圓的第一定義和不等式的基本性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)距離之和，進(jìn)而求解。

解：設(shè)橢圓x2/16+y2/4=1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2。

則|QF1|+|QF2|=2a=8，q=|QF1||QF2|≤（（|QF1|+|QF2|）/2）2=16

當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|=|QF2|時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)Q為短軸的端點(diǎn)。

所以此時(shí)Q的坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2），m能夠取到的最大值為16。

題目考查了圓錐曲線的最值問題，再加上出現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)，所以應(yīng)該迅速想到應(yīng)用圓錐曲線的定義。題目所求為動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積，就應(yīng)該聯(lián)想到距離之和為定值，再利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以成功地解決這道問題。

（二）運(yùn)用設(shè)而不求法，解決弦中點(diǎn)問題

在圓錐曲線的運(yùn)算中，經(jīng)常設(shè)出一些量卻并不解出這些量，只是發(fā)揮它們的過渡作用從而解決一些較為復(fù)雜的問題，這種方法就是“設(shè)而不求法”了。對(duì)于圓錐曲線與直線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，采用設(shè)而不求法能起到出人意料的效果。

【例2】 已知雙曲線x2+y2/2=1，過點(diǎn)A（4，2）的直線與該雙曲線相交于兩點(diǎn)M1和M2，已知線段M1M2的中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程。

分析：采用設(shè)而不求法，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)（x1，y1）和（x2，y2）并分別代入方程，然后相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系和斜率公式，消參求解。

解：設(shè)M1（x1，y1），M2（x2，y2），分別代入得到x21+y21/2=1，x22+y22/2=1

兩個(gè)方程相減，得到（x1+x2）（x1-x2）-1/2（y1+y2）（y1-y2）=0

又設(shè)中點(diǎn)M（x，y），于是x1+x2=2x，y1+y2=2y，得到2x-y*（（y1-y2）/（x1-x2））=0，（x1≠x2）

又k=（y1-y2）/（x1-x2）=（y-2）/（x-4）

將其代入得到2x2-y2-8x+2y=0

當(dāng)x1=x2，即弦M1M2的斜率不存在時(shí)，M（4，0）也滿足上述方程。

因此所求軌跡方程為2x2-y2-8x+2y=0

此題求M的軌跡方程，而M是弦M1M2的中點(diǎn)，于是迅速反應(yīng)過來這是一道弦中點(diǎn)問題，只要按部就班地按照設(shè)而不求法的步驟，設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，并將端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，作差后產(chǎn)生弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系，再結(jié)合實(shí)際問題，充分運(yùn)用題目條件即可求解。本題值得注意的是斜率不存在的情況，考查了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

（三）引進(jìn)參數(shù)方程知識(shí)，進(jìn)行三角代換

教學(xué)大綱對(duì)圓錐曲線參數(shù)方程知識(shí)的要求是達(dá)到理解的程度即可，然而，眾所周知，圓錐曲線的題目解題過程復(fù)雜，計(jì)算困難，在實(shí)際的教學(xué)過程中，如果教師能適時(shí)引入?yún)?shù)方程的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生利用參數(shù)方程解題，不僅可以開闊學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的解題思路，還能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效用。

【例3】 已知橢圓x2/36+y2/25=1，求該橢圓內(nèi)接矩形的面積的最大值。

分析：看到最值兩個(gè)字，我們可以很容易地聯(lián)想到三角函數(shù)，因?yàn)槿呛瘮?shù)是有界的，無形中給我們求最值帶來了便利，進(jìn)而聯(lián)想到應(yīng)用參數(shù)方程的知識(shí)，進(jìn)行三角代換。

解：設(shè)橢圓x2/36+y2/25=1的內(nèi)接矩形在第一、二、三、四象限內(nèi)的頂點(diǎn)分別為A、B、C、D，線段AB與y軸的交點(diǎn)為E，線段AD與x軸的焦點(diǎn)為F。

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)A的坐標(biāo)為（6cosα，5sinα），其中α的取值范圍為0<α<π/2。

設(shè)內(nèi)接矩形的面積為S，于是S=4|AE||AF|=4*6cosα*5sinα=2*6*5*sin2α≤60

當(dāng)且僅當(dāng)α=π/4，等式成立，此時(shí)α存在。

因此面積S的最大值為60。

看到這道題，很多學(xué)生知道要設(shè)出坐標(biāo)求解，于是他們不假思索地把坐標(biāo)設(shè)為（x，y），結(jié)果發(fā)現(xiàn)越向下計(jì)算就越困難，逐漸失去耐性。其實(shí)，只要換個(gè)角度，將坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，就可以直接利用三角函數(shù)的有界性，迅速得到最終答案。

綜上所述，作為身處一線的高中數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該毫不懈怠，采取靈活多樣的教學(xué)方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的積極性，同時(shí)在教學(xué)中適時(shí)滲透有效的解題思路和技巧，與學(xué)生共同攻克圓錐曲線難題，為提高學(xué)生的高考成績(jī)，促進(jìn)學(xué)生的未來發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

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作者簡(jiǎn)介：

湯鳳，福建省福州市，福建省福州第七中學(xué)。