鍍金屬薄膜和敏感膜長周期光纖光柵復(fù)特征方程求解

亢利軍，李東紅，鄧傳魯，魏加尚

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0 引言

長周期光纖光柵（LPFG）自問世來，便引起科技工作者極大興趣，因其卓越性能，在傳感及通信領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。近年，通過在LPFG上鍍敏感薄膜或復(fù)折射率薄膜，以此優(yōu)化提高LPFG的傳輸特性，成為熱點(diǎn)研究方向之一。

復(fù)折射率薄膜可分為兩類：弱吸收薄膜和金屬膜，目前，鍍這兩種薄膜的LPFG都得到了一定的研究。徐艷平和Ignacio Del Villar[1-2]研究了鍍?nèi)跷毡∧さ鸟詈咸攸c(diǎn)和透射特性，為這種LPFG的實(shí)際應(yīng)用提供了一定的理論支持。早期，很多研究聚焦通過LPFG的金屬鍍層的溫度及應(yīng)變調(diào)節(jié)效應(yīng)，促使寫諧，通過振波長漂移，但沒有給出深入的理論分析；通過金屬鍍層LPFG復(fù)特征方程的求解，可探知其諧振波長的漂移特性，為此應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)；更進(jìn)一步地理論研究了金屬鍍層LPFG傳感器的耦合特性及透射特性，進(jìn)一步推動了此種金屬鍍層LPFG傳感器的實(shí)用化[3-4]。

本文建立了具有鍍金屬膜和敏感膜兩種膜類LPFG的復(fù)特征方程，并且針對求解復(fù)特征方程復(fù)根所處現(xiàn)的問題，對鍍金屬膜及敏感膜的五層結(jié)構(gòu)LPFG復(fù)特征方程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，經(jīng)驗(yàn)證所求得的復(fù)根較好復(fù)合復(fù)特征方程函數(shù)值的變化規(guī)律。

1 復(fù)特征方程的建立

鍍有金屬膜及敏感膜五層結(jié)構(gòu)的LPFG結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，其中，芯層折射率為n1=1.4681，半徑為r1=4.15μm；包層折射率為n2=1.4628，半徑為r2=62.5μm；金屬膜折射率N3，半徑為r3=r2+h1；敏感膜折射率為n4=1.57，半徑為r4=r3+200μm；空氣環(huán)境折射率為n5=1.0。

根據(jù)平面光波導(dǎo)的相關(guān)理論可知，帶有金屬鍍層的平面光波導(dǎo)與一般介質(zhì)涂層的光波導(dǎo)其特征方程的形式結(jié)構(gòu)是相同的[5-6]?；诖藱C(jī)理，嚴(yán)格建立其包層模復(fù)特征方程并解得復(fù)根，這對建立五層結(jié)構(gòu)LPFG

復(fù)特征方程提供了理論借鑒。其復(fù)特征方程可以寫成式（1）～（4）的形式。

J代表第一類貝塞爾函數(shù)，Y代表第二類貝塞爾函數(shù)，K代表第二類變態(tài)貝塞耳函數(shù)，dj，dy，dk分別為上述三類貝塞爾函數(shù)的求導(dǎo)。

2 復(fù)特征方程求解

復(fù)特征方程的求解方法為，首先，求解零級解時(shí)，忽略ε3的虛部，直接求得實(shí)根neff；然后，考慮ε3的虛部的影響，設(shè)復(fù)數(shù)根neff=neff，r+ineff，i，通過改變兩個參量（neff，r，neff，i），可使復(fù)特征方程的實(shí)部和虛部都為零。為便于求解，令f（neff，r，neff，i）=0，引入：

在1550nm附近，一些典型金屬如金、銅、鋁、鎳等其折射率虛部相對較大，運(yùn)算中會產(chǎn)生Inf（無限大）和溢出問題。

2.1 Inf問題的處理方法

當(dāng)貝塞爾函數(shù)的復(fù)宗量較大時(shí)，必須對貝塞爾函數(shù)進(jìn)行改寫，第一類及第二類貝塞爾函數(shù)的近似表達(dá)式可寫為：

以求解金屬鍍層五層結(jié)構(gòu)LPFG的模式HE12為例，圖2給出了y(neff，r，neff，i)=0 復(fù)根附近的分布情況，計(jì)算所采用的光纖參數(shù)為N3=0.559+i*9.81，計(jì)算得到HE12的復(fù)根實(shí)部為為1.462565855223，虛部為4.5048347×10-6，忽略N3的虛部求解得到零級解為1.462567423373，和復(fù)根實(shí)部比較得知兩者差別很小。

2.2 溢出問題的解決方法

對于鍍鋁膜和鎳膜的光纖光柵，貝塞爾函數(shù)值將出現(xiàn)溢出問題，原因在于，金屬的復(fù)折射率的實(shí)部和虛部數(shù)值較大，貝塞爾函數(shù)復(fù)宗量虛部較大，貝塞爾函數(shù)本身或者計(jì)算當(dāng)中由于函數(shù)值非常大，計(jì)算機(jī)無法識別，從而產(chǎn)生溢出問題[7-8]。由此，復(fù)特征方程可以改寫如下：

其中，A是根據(jù)數(shù)值大小所確定的一個共同因子。式中每一項(xiàng)的貝塞爾函數(shù)都除以共同因子，即滿足縮放的要求。

圖3給出了鍍鋁膜五層結(jié)構(gòu)LPFG模式HE13的y(neff，r，neff，i)， 在 復(fù) 平 面 上 第 五 包 層 模 式 HE13復(fù)根附近的函數(shù)值圖形，計(jì)算采用的光纖參數(shù)為計(jì)算得到HE13的復(fù)根為（nel=1.462278831016-i*1.0993666×10-5），經(jīng)計(jì)算忽略N3的虛部求出的零級解為1.462271473229，兩者復(fù)合較好。

3 結(jié)論

本文提出鍍金屬膜和敏感膜兩種膜類五層結(jié)構(gòu)的LPFG的理論模型，建立了此種LPFG復(fù)特征方程。針對求解鍍金屬薄膜LPFG的復(fù)根會產(chǎn)生Inf問題或溢出問題，分別對貝塞爾函數(shù)進(jìn)行改寫和縮放，并求得復(fù)根，為求解此類鍍金屬膜的復(fù)特征方程奠定了理論基礎(chǔ)。