深度學(xué)習(xí)，從學(xué)生的提問(wèn)開(kāi)始

趙勁松

摘要：《圓的周長(zhǎng)》一課教學(xué)的框架是讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由猜測(cè)到驗(yàn)證的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程。但是，要注意過(guò)于順暢的環(huán)節(jié)推進(jìn)是否遮掩了學(xué)生可能萌生的問(wèn)題，讓其涌動(dòng)的思維成為靜默的暗流。深度學(xué)習(xí)，理應(yīng)從學(xué)生的提問(wèn)開(kāi)始。本節(jié)課的教學(xué)可以分為五個(gè)環(huán)節(jié)：對(duì)課題提問(wèn)，確定方向，初步解決;對(duì)數(shù)據(jù)提問(wèn)，直面困惑，大膽推測(cè);對(duì)方法提問(wèn)，基于困惑，走進(jìn)歷史;對(duì)結(jié)論提問(wèn)，質(zhì)疑批判，追根尋底;對(duì)全課提問(wèn)，回顧總結(jié)，存疑拓展。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí) 學(xué)生提問(wèn) 圓周率 《圓的周長(zhǎng)》

聽(tīng)過(guò)幾節(jié)《圓的周長(zhǎng)》的課，教學(xué)框架基本相同：先出示兩（幾）個(gè)圓，請(qǐng)學(xué)生比較哪個(gè)圓的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些，思考周長(zhǎng)與什么有關(guān)，猜測(cè)周長(zhǎng)是直徑的幾倍;進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)總是直徑的三倍多一點(diǎn);在此基礎(chǔ)上給出定論，介紹圓周率及其歷史;最后，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)公式并運(yùn)用。

這個(gè)框架總體上沒(méi)有問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)由猜測(cè)到驗(yàn)證的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程。然而，過(guò)于順暢的環(huán)節(jié)推進(jìn)是否遮掩了學(xué)生可能萌生的問(wèn)題，讓其涌動(dòng)的思維成為靜默的暗流呢？比如：猜測(cè)周長(zhǎng)是直徑的幾倍時(shí)，學(xué)生考慮的是特殊的、具體的圓，還是普遍的、抽象的圓？用“誤差”就可以消除學(xué)生對(duì)“倍數(shù)不相等”的疑惑了嗎？對(duì)于作為文化點(diǎn)綴的“割圓術(shù)”，學(xué)生的理解又是怎樣的“自以為然”？學(xué)生對(duì)“圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”有懷疑嗎？……

有人說(shuō)，改變世界的不是答案，而是問(wèn)題。我深以為然。深度學(xué)習(xí)，理應(yīng)從學(xué)生的提問(wèn)開(kāi)始。

一、教學(xué)實(shí)踐

（一）對(duì)課題提問(wèn)，確定方向，初步解決

師（板書(shū)課題：圓的周長(zhǎng)）看到這個(gè)課題，你想到了哪些問(wèn)題？

生圓的周長(zhǎng)怎么算？

生圓的周長(zhǎng)怎么量？

生圓的周長(zhǎng)與直徑、半徑有什么關(guān)系？

師（逐一板書(shū)學(xué)生的問(wèn)題）下面我們就來(lái)研究這些問(wèn)題。把你已經(jīng)有的想法在小組里說(shuō)一說(shuō)，同時(shí)聽(tīng)一聽(tīng)同伴的思考。

（學(xué)生小組交流。）

師請(qǐng)各小組匯報(bào)能夠解決的問(wèn)題。

生用一根繩子圍著圓繞一周，再拉直，就可以量出圓的周長(zhǎng)。

生還可以把圓放在尺子上滾一周，看滾了多遠(yuǎn)，就是圓的周長(zhǎng)。

師（分別用課件演示兩種方法）其實(shí)剛才兩種方法都做了一件事情，把圍成圓的曲線——

生拉直了。

師好，我們解決了怎么量的問(wèn)題。還能解決什么問(wèn)題？

生我們認(rèn)為，圓的半徑或直徑越長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)就越長(zhǎng)。

師你們發(fā)現(xiàn)了周長(zhǎng)和直徑、半徑有關(guān)系，具體是什么關(guān)系呢？

生我覺(jué)得，圓的周長(zhǎng)比兩條直徑要長(zhǎng)。上半部分是一條曲線，比直徑長(zhǎng);下半部分也是一條曲線，也比直徑長(zhǎng)。

師真好，有理有據(jù)！比兩條直徑長(zhǎng)，換句話說(shuō)就是——

生圓的周長(zhǎng)比直徑的兩倍要多。

師（出示一個(gè)直徑5厘米的圓）你認(rèn)為這個(gè)圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍？

生2倍多，大約2.5倍。

師（出示一個(gè)直徑40厘米的圓）這個(gè)圓呢？

生也是2.5倍。

師有不同想法嗎？

生我認(rèn)為，兩個(gè)圓的周長(zhǎng)都是直徑的3倍。

生我認(rèn)為，兩個(gè)圓的周長(zhǎng)都是直徑的5倍。

生我認(rèn)為，應(yīng)該都是3倍多一點(diǎn)。

師盡管剛才幾位同學(xué)猜測(cè)的倍數(shù)不同，但是他們的猜測(cè)有一個(gè)共同的地方——

生兩個(gè)的倍數(shù)關(guān)系是一樣的。

師有不同想法嗎？

生我想說(shuō)，你們的眼力怎么可能這么好，一眼就看出來(lái)是幾倍。我認(rèn)為，倍數(shù)關(guān)系不可能完全一樣。

生一個(gè)圓的周長(zhǎng)變大，直徑也會(huì)變大，所以我認(rèn)為，倍數(shù)是一樣的。

師聽(tīng)明白了，你們認(rèn)為倍數(shù)相同，靠的不僅僅是眼睛的觀察，還有大腦的分析。兩位同學(xué)都很棒，請(qǐng)堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)。假如這個(gè)倍數(shù)是固定的，黑板上有一個(gè)問(wèn)題就可以解決了——

生用直徑乘倍數(shù)就可以算出周長(zhǎng)。

師如果是不一樣的，還能這樣計(jì)算嗎？

生不能。

師看來(lái)，這個(gè)倍數(shù)是不是固定的，很值得研究。怎么研究呢？

生量出幾個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑，計(jì)算倍數(shù)，比一比，看看到底一樣不一樣。

（學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)，填寫(xiě)表1。其中，兩個(gè)小組的圓相同，由教師提供;其他小組的圓自備。）

（二）對(duì)數(shù)據(jù)提問(wèn)，直面困惑，大膽推測(cè)

生（一個(gè)小組匯報(bào)）……我們發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)是不固定的。

師各小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是這樣的嗎？有什么問(wèn)題嗎？

生按理說(shuō)應(yīng)該是一樣的啊，為什么結(jié)果卻是不一樣的？

生我知道這個(gè)倍數(shù)是3.14，但為什么我們通過(guò)做實(shí)驗(yàn)得不到？

師是我們前面的“感覺(jué)”出問(wèn)題了嗎？

生不是。盡管我們測(cè)量得到的倍數(shù)不一樣，但這是因?yàn)槲覀儧](méi)有專業(yè)的測(cè)量工具，所以測(cè)量是有誤差的。

生你怎么知道我們的測(cè)量有誤差呢？

生只要測(cè)量就會(huì)有誤差。

（兩位學(xué)生爭(zhēng)執(zhí)不下。）

師（出示持相同學(xué)具的兩個(gè)小組填寫(xiě)的表格）兩個(gè)小組測(cè)量同樣的圓，結(jié)果卻不一樣，意味著什么？

生意味著有誤差。

師（出示持不同學(xué)具的兩個(gè)小組填寫(xiě)的表格）盡管有誤差，但我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)大小差距這么大的圓，倍數(shù)卻也差不多。這又意味著什么呢？

生說(shuō)明這個(gè)倍數(shù)可能是固定的。

生我不同意。有誤差，所以倍數(shù)不一樣，但也不能說(shuō)明，沒(méi)有誤差，就一定一樣。你們只是在推測(cè)，我還是感覺(jué)倍數(shù)不完全一樣，除非你們用“真理”來(lái)推翻我。

生我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家早就算出來(lái)這個(gè)倍數(shù)在3.1415926到3.1415927之間。

師“真理”來(lái)了，你服氣嗎？

生不服氣，這個(gè)數(shù)是怎么得來(lái)的??？

（三）對(duì)方法提問(wèn)，基于困惑，走進(jìn)歷史

師我們的祖先在很早的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)，圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)。就和同學(xué)們一樣，通過(guò)測(cè)量得出了一個(gè)大約的結(jié)論：周三徑一。1700多年前，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明了一種新的研究圓的周長(zhǎng)的方法——割圓術(shù)。你有什么想問(wèn)的嗎？

生割圓術(shù)是把圓分割成很多個(gè)扇形嗎？

生割完了要不要量？

師（課件演示將圓周平均分割成六份，連接六個(gè)點(diǎn)形成正六邊形）這個(gè)正六邊形很特殊，你看出它特殊在哪里了嗎？

生正六邊形的邊長(zhǎng)和圓的半徑相等。

生正六邊形的周長(zhǎng)是圓的直徑的3倍。

師正六邊形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)比較呢？

生圓的周長(zhǎng)比正六邊形的長(zhǎng)，所以應(yīng)該是直徑的3倍多。

師（課件演示將圓周繼續(xù)分割，得到正十二邊形、正二十四邊形……）正多邊形的周長(zhǎng)越來(lái)越怎么樣？

生接近圓的周長(zhǎng)。

師劉徽正是用這種方法一直分割到正192邊形，求得了3.14這個(gè)數(shù)值。

生劉徽怎么能把圖形畫(huà)得那么標(biāo)準(zhǔn)呢？

生到了正192邊形的時(shí)候，圓周上能點(diǎn)下那么多點(diǎn)嗎？

師同學(xué)們問(wèn)得很好！確實(shí)很難畫(huà)出。假設(shè)真的畫(huà)出了正192邊形，你認(rèn)為接下來(lái)會(huì)怎么做？會(huì)用尺子來(lái)測(cè)量一條邊的長(zhǎng)度再乘192嗎？

生不會(huì)，太麻煩了。

師僅僅是麻煩嗎？

生還因?yàn)橹灰獪y(cè)量，就會(huì)有誤差。

師所以，這樣看來(lái)，你們認(rèn)為劉徽真的把正192邊形畫(huà)出來(lái)了嗎？

生可能沒(méi)有吧。但又是怎么得到3.14的呢？

師割圓術(shù)之所以能得到更精確的結(jié)果，是因?yàn)榉椒ǖ母淖?。它是一種根據(jù)半徑來(lái)計(jì)算多邊形邊長(zhǎng)的方法。具體如何算，你們要到中學(xué)才能理解。割圓術(shù)讓我們確定了圓的周長(zhǎng)相對(duì)于直徑的倍數(shù)是一個(gè)固定的數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)叫作——

生圓周率。

（四）對(duì)結(jié)論提問(wèn)，質(zhì)疑批判，追根尋底

師又過(guò)了大約200年，數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步發(fā)展了割圓術(shù)，分割到了正24576邊形，把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后七位，領(lǐng)先世界1000多年。當(dāng)然，國(guó)外的數(shù)學(xué)家在這方面的研究成果同樣非常偉大，他們又發(fā)明了新的研究方法。到了近代，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后面很多很多位。（出示下頁(yè)圖1）你看到了什么？

生看到?jīng)]有規(guī)律的無(wú)限小數(shù)。

生就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

師他們看到了無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。有向他們提問(wèn)的嗎？

生如果繼續(xù)往后算，可能會(huì)到頭吧？會(huì)算到有限的吧？

生到后面可能會(huì)循環(huán)吧？因?yàn)槭÷蕴?hào)后面是未知的。

師我喜歡你們提出的問(wèn)題！你們現(xiàn)在還堅(jiān)信它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生不確定了。

師但是，現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后數(shù)十萬(wàn)億位，都沒(méi)發(fā)現(xiàn)循環(huán)。

生不管算到多少，后面只要還有，就有可能循環(huán)。

師我欣賞你的堅(jiān)持！就像這樣算下去，能讓我們安心地認(rèn)為它就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生永遠(yuǎn)都不能。

師是的，除非用另一種方法來(lái)證明。200多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特就用數(shù)學(xué)的方法證明了它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。對(duì)此，大家到高中會(huì)再接觸。

（教師引導(dǎo)學(xué)生歸納公式，解決問(wèn)題。）

（五）對(duì)全課提問(wèn)，回顧總結(jié)，存疑拓展

師今天我們研究的主角是——

生圓周率。

師關(guān)于它，你了解了什么？

生是周長(zhǎng)相對(duì)于直徑的倍數(shù)。

生是一個(gè)固定的數(shù)。

生是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

生用π表示。

生一般取近似值3.14。

師從“3”到“3.14”，再到“3.1415926”，最后到無(wú)窮無(wú)盡，在逐步走向精確、走向完美的過(guò)程中，又蘊(yùn)含了多少古今數(shù)學(xué)家畢生的心血啊！在這節(jié)課中，老師特別欣賞你們的敢于提問(wèn)、敢于質(zhì)疑，特別佩服那位讓大家用“真理”來(lái)說(shuō)服她的同學(xué)！學(xué)到這兒，對(duì)于圓的周長(zhǎng)，你還有什么問(wèn)題呢？

生一個(gè)圓的周長(zhǎng)到底能不能準(zhǔn)確地得到？

生圓周率為什么一般取值3.14？能不能往后多保留幾位小數(shù)？

生為什么用“π”來(lái)表示圓周率？

師帶著問(wèn)題，我們可以課后繼續(xù)研究。

二、教學(xué)反思

提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。因?yàn)槲覀冎?，提出?wèn)題是對(duì)新知的渴求與探索，是對(duì)已知的質(zhì)疑與批判，往往意味著創(chuàng)造的開(kāi)始。然而，事實(shí)上，我們卻很少讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，更多的是讓他們解決我們提出的問(wèn)題。這背后，是立場(chǎng)的問(wèn)題：教學(xué)應(yīng)該站在知識(shí)的立場(chǎng)，還是站在學(xué)生的立場(chǎng)？

圓周率是本課的中心內(nèi)容。作為一個(gè)內(nèi)涵無(wú)比豐富的概念，如何切入？如何研究？如何確認(rèn)？這是一個(gè)由模糊到清晰的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維會(huì)有怎樣的“暗流涌動(dòng)”？得讓學(xué)生提出自己的問(wèn)題。

實(shí)驗(yàn)一直被看作認(rèn)識(shí)圓周率的關(guān)鍵一環(huán)?？墒?，學(xué)生能通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到圓周率嗎？顯然不能。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)前通過(guò)觀察、推理，猜測(cè)周長(zhǎng)與直徑的商是一個(gè)固定值，而實(shí)驗(yàn)最終得到的比值必將不是一個(gè)固定值，教材的目標(biāo)定位也只是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三倍多一點(diǎn)”。若就此給出定論，學(xué)生會(huì)服氣嗎？課堂上，我印象最深的是一個(gè)女生。在圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是不是一個(gè)固定值的判斷上，她幾乎是孤身一人對(duì)抗整個(gè)班級(jí)。隨后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持了她的觀點(diǎn)，卻被“誤差”的說(shuō)法推翻，但她堅(jiān)持自己的懷疑態(tài)度：“有誤差，所以倍數(shù)不一樣，但也不能說(shuō)明，沒(méi)有誤差，就一定一樣……除非你們用‘真理來(lái)推翻我。”我感動(dòng)于她的堅(jiān)持。這是對(duì)實(shí)驗(yàn)方法的質(zhì)疑、對(duì)所得結(jié)論的質(zhì)疑，也是對(duì)“真理”的渴盼。教學(xué)中，我以兩組相同的學(xué)具得出的不同數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到誤差的存在，再以兩個(gè)大小懸殊的圓所得的倍數(shù)相差不多讓學(xué)生感到倍數(shù)可能是一個(gè)固定的數(shù)?？上驳氖?，她依然不買賬，因?yàn)檫@還不是“真理”。學(xué)生思維的暗流正是通過(guò)提問(wèn)得以攪動(dòng)、洶涌，更精確的研究方法的出場(chǎng)也才成為迫切的需求。

圓周率的研究歷史不能只是文化點(diǎn)綴般的介紹。僅僅拋給學(xué)生一個(gè)“割圓術(shù)”的名稱、一個(gè)“無(wú)限接近圓”的遐想、一個(gè)“領(lǐng)先世界1000多年”的驕傲，都不能擊中學(xué)生的“痛點(diǎn)”，都不是學(xué)生想要的“真理”。割圓術(shù)的意義在于方法的革新。課堂上，學(xué)生不僅僅是聽(tīng)眾，更是思維的參與者、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)者、“歷史”的推動(dòng)者?！笆前褕A分割成很多個(gè)扇形嗎？”“割完了要不要量？”“怎么能把圖形畫(huà)得那么標(biāo)準(zhǔn)呢？”“圓周上能點(diǎn)下那么多點(diǎn)嗎？”“又是怎么得到3.14的呢？”這些問(wèn)題的提出彰顯著學(xué)生的好奇，也暴露出他們的錯(cuò)誤理解。學(xué)生當(dāng)然看不懂割圓術(shù)的算法，但是，最起碼得讓他們知道是怎樣割圓的，特別是割圓之后不是通過(guò)測(cè)量而是通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果的，正是因?yàn)榉椒ǖ谋举|(zhì)改變，所以才能得出固定的、精確的數(shù)值。

圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。想象一下，無(wú)窮無(wú)盡，永不重復(fù)，永遠(yuǎn)不會(huì)被定論，永遠(yuǎn)值得探索。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，一定是十分神奇的。然而，教學(xué)中僅僅是讓學(xué)生發(fā)出一聲驚嘆嗎？驚嘆的背后難道就是輕信、盲從，而沒(méi)有一絲疑惑嗎？這是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)“純天然”的無(wú)理數(shù)。既然是無(wú)限不循環(huán)的，那我們是怎么知道它是無(wú)限的，又是怎么確定它是不循環(huán)的呢？很高興，課堂上學(xué)生發(fā)出了這樣的聲音。

五次讓學(xué)生提問(wèn)，從課始的“是什么”“怎么做”這類最基礎(chǔ)的未知問(wèn)題，明確方向，展開(kāi)研究，到學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)方法、結(jié)論的科學(xué)性大膽質(zhì)疑，敢于懷疑“是真的嗎”，敢于追問(wèn)“為什么”，再到課尾提出新的問(wèn)題，萌發(fā)新的思考，逐漸讓思維向深處漫溯，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

提出問(wèn)題當(dāng)然意味著可以更好地解決問(wèn)題，但其本身就是主動(dòng)學(xué)習(xí)的開(kāi)始，是高階思維的體現(xiàn)，是值得我們?nèi)パ芯康母匾氖虑椤?/p>

*本文系安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目“核心素養(yǎng)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)基于‘真問(wèn)題教學(xué)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：JK19103）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫四周.還原祖沖之——我是如何在中學(xué)講割圓術(shù)的[J].教育研究與評(píng)論，2016（6）.

[2] 張景中.從2談起（典藏版）[M].北京：中國(guó)少年兒童出版社，2011.