嵌入式拓展型課程應用于數學網課的實踐

李德寶 朱培培

摘 ? ?要：嵌入式拓展型課程既是義務教育階段數學課程的基礎性、普及性、發(fā)展性的整體要求，又是數學課程內容“綜合與實踐”這一短板的有效彌補;既能促進教師專業(yè)發(fā)展的與時俱進、知效合一，又能實現“促進學生全面而有個性的發(fā)展”的課改總目標的高效實施.

關鍵詞：嵌入式;拓展型課程;網課

受新冠肺炎疫情影響，教育部于2020年1月底下發(fā)通知，要求2020年春季學期延期開學，并于2月12日與工信部聯(lián)合印發(fā)通知，對“停課不停學”工作提出明確意見.原本書聲瑯瑯的校園、熱鬧的班級授課暫停腳步，取而代之的是居家網課的紅火上演.作為培養(yǎng)公民素質的基礎課程數學教育也不甘落后.網課直播之初，教師過多關注“互聯(lián)網+教育”下的技術、設備、平臺、時長、教學環(huán)節(jié)、應用效果等.隨著網課教學的深入，思考重心轉向網課課程類型、網課內容設計、教師專業(yè)發(fā)展取向與評價、師生之間因材施教的教和學生個性發(fā)展的學等教育本質問題.日常的學校教學絕大多數是基礎性課程，近期的居家學習則為嵌入式拓展型課程的開展與實施提供了時機和平臺.

一、嵌入式拓展型課程的形成

早在一年前，在中國教師智慧與文化研究院的指導下，嵌入式拓展型課程的研究被引入杭州師范大學教師發(fā)展合作項目中[1]，其中對數學學科教學進行了深入的探究，形成比較成熟的實踐操作體系，為應對此次疫情影響下的教學打下良好的基礎.

（一）何謂嵌入式拓展型課程

為實現“促進學生全面而有個性的發(fā)展”課改總目標，浙江省在課改指導意見中，把義務教育數學課程從教育功能的角度分成“基礎性課程”和“拓展性課程”兩大類.基礎性課程主要培養(yǎng)學生終身發(fā)展和適應未來社會所需要的基礎知識，對于數學課程可具體為“四基”.拓展型課程是拓展性課程的表現形式，主要滿足學生的個性化學習需要，開發(fā)和培育學生的潛能和特長，培育學生的自我認知和自我選擇能力，對于數學課程可具體為“四能”和“三會”等學科素養(yǎng).基礎性課程和拓展性課程原本是培養(yǎng)和發(fā)展全面而有個性的學生的兩個相輔相成的課程，是以學習為中心的課程總要求.嵌入式源自于計算機專業(yè)的名詞，即嵌入式系統(tǒng)是軟件和硬件的綜合體，拓展型課程無縫鑲嵌有機融入基礎性課程，并共同促進學生正向發(fā)展和素養(yǎng)形成，即為嵌入式拓展型課程.

（二）嵌入式拓展型課程呈現時機

基礎性課程和拓展性課程本是同根生，基礎性課程是拓展性課程的基礎和保障，拓展性課程是基礎性課程的提高和發(fā)展，也是下一個基礎性課程的基礎和保障，兩者相輔相成，共同圍繞學生的學習為中心，離開或忽視哪一個課程，都會導致學習課程的不完整.二者的關系致使嵌入式拓展型課程呈現時常常為一節(jié)課的下半部分，也常順延出現在一節(jié)基礎課的下一節(jié)課，有時因教學內容、教學課時、教學環(huán)境等因素的影響，拓展性課程也可不定時、間隙式呈現.

（三）嵌入式拓展型課程在居家網課教與學中的優(yōu)勢

從課程的完整性和數學育人的功能來看，教師在日常教學活動中，應交替運用基礎性課程和拓展性課程來實施教學.由于教學環(huán)境和教師自身因素等方面的影響，大多數教師在課堂上展示的較多是基礎性課程，拓展性課程展示則處于低頻或無頻狀態(tài).在“停課不停學”的時勢之下，開展嵌入式拓展型網課教學個人認為有以下優(yōu)勢：

1.彌補平時學校教學拓展性課程安排不足的弊端，實現基礎課與拓展課相輔相成合力促學育人的目標.

2.利于因材施教教學原則的有效貫徹，培養(yǎng)全面而有個性且富有創(chuàng)造性的學生群體.

3.利于貫徹落實“停課不停學”的倡議精神，如倡議要求“非畢業(yè)班網課不上新課、網課時間不宜過長、開發(fā)模塊化教學、優(yōu)化教學資源”等.

4.利于學生在數學網課教學中有較多時間用于思考或實踐操作活動，避免因長時間看屏造成的身心、視覺等方面的影響.

5.利于教師結合學情進行信息技術與教學活動深度融合，避免照搬別的資源硬加給自己的學生，體現數學四個理解中“理解技術”的價值作用.

二、嵌入式拓展型網課的設計

嵌入式拓展型網課的設計要一如既往地遵循“內容依據學情、形式自由多樣、緊扣課程標準、落實核心素養(yǎng)、實現育人育才目標”的要求.數學網課通常沿襲常規(guī)課的形式，有分課型和混合型兩種，分課型就是將一個單元時間分為基礎性大課30分鐘或拓展性小課20分鐘，混合型就是在一節(jié)課中靈活融入基礎課和拓展課.下面舉幾個網課中嵌入式拓展課的設計實例，側重就教材內容進行探討.

（一）算理法則的嵌入拓展

七年級學生在進行有理數加法運算時，好多教師常把技巧性方法計算作為講解的重點，而不進行算理和法則滲透.雖然教師對學生進行了大量的計算練習，但是學生仍然是算理不清，法則不明，數學嚴謹思維訓練不足.如能在基礎課的基礎上嵌入如下算理和法則的拓展內容，數學味的訓練價值自會出現.

如計算6÷[（- [12]）+[13] ]時，問：能否寫成6÷（- [12]）+6÷（- [12]）？除法可有分配律？若想運用分配律你如何改編這道題？有意設置算理和法則的問題，這樣看似簡單的計算，如此拓展設計，寓法則和算理于其中，趣味和思維俱在，利于學生數學學科核心素養(yǎng)的形成.

（二）文化視野的嵌入拓展

對于勾股定理《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”，教師可在基礎課“已探索出勾股定理并做簡單的應用”的基礎上作如下嵌入式拓展設計.

拓展問題一：勾股定理至今已有近500種證明方法，自己搜集3～5個你認為比較經典的方法，嘗試著去發(fā)現這些證明方法背后的人文故事和思路的相同點.

【設計意圖】培養(yǎng)學生自主學習、自主閱讀的習慣和獨立思考、判斷分析問題的能力，無痕滲透數學文化：歐幾里得原本、趙爽弦圖、畢達哥拉斯、加菲爾德等.感悟數學兩大最本質的思想方法——轉化和構造.

拓展問題二：勾股定理也稱畢達哥拉斯定理或百牛定理，號稱千古第一定理，聯(lián)系你所學習的前后數學知識，你認為勾股定理的價值何在？（可寫成數學小論文）

【設計意圖】學生通過拓展課的學習 ，知道學習勾股定理不僅要了解“直角三角形”這個前提條件及理解“兩直角邊平方的和等于斜邊的平方”這個結論.而且要應用聯(lián)系的、發(fā)展的、整體的數學眼光來認知勾股定理.一般的三角形三邊之間僅存在不等量關系，等腰三角形（包含等邊三角形）僅存在定義所帶來的表層等量關系，而勾股定理則建立直角三角形三邊深層的等量關系;從勾股定理的結論不難發(fā)現：已知直角三角形的任意兩邊便可求出第三邊，假如沒有勾股定理，已知兩邊和一直角可由全等三角形的知識知道第三邊一定是確定的，而勾股定理讓這種確定性走向具體的值.

拓展問題三：當直角三角形三邊長為正整數時，實際上是建立了三個正整數之間的二次等量關系，退位思考三個正整數的一次等量關系普遍存在，進位思考三個正整數是否存在類似結構的三次等量關系.

【設計意圖】通過此內容的設計培養(yǎng)學生類比思想、回歸原點找尋本質、拓展變式高階思維等數學思想方法，同時滲透費馬定理等數學文化.

拓展問題四：定理為真命題包含題設和結論兩部分，如果把勾股定理的題設改為任意三角形結論如何？若對勾股定理的結論作形式的遷移你會聯(lián)想到什么？

【設計意圖】由直角三角形的勾股定理延伸至一般三角形的結論“余弦定理”，拓展學生的知識視野和思維廣度，由勾股定理的平方和等于斜邊平方的形式遷移到三角函數中任意角正弦和余弦的平方和等于1的形式.尋求數學問題的生長源和生長路徑，讓知識點結成知識網.

上述嵌入式拓展型網課四個問題的內容設計，意圖在于拓寬學生的數學視野、挖掘數學本質、滲透數學文化、增加思考維度、深度開展教學，從而實現數學拓展課程的價值，對數學教育的同人起拋磚引玉的作用.

（三）綜合實踐問題的嵌入拓展

義務教育各學段安排了四個部分的課程內容：“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”，其中“綜合與實踐”這部分課程內容常常處于擱淺狀態(tài)，近期居家網課學習中，正是把這部分內容作為嵌入式拓展型課程的選材內容的時機，一是彌補綜合與實踐課被忽視的遺憾和缺失，二是綜合和實踐課程也匹配時勢之下的網課教學模式.如基礎課《旋轉》之后可嵌入《硬幣的滾動問題》這個拓展課.

問題設置：一個一元硬幣沿另一個一元硬幣無滑動地滾動一周，它自身自轉的圈數是多少？

實驗環(huán)節(jié)：一元硬幣沿直線滾動→一元硬幣沿正三角形滾動→一元硬幣沿正方形滾動→一元硬幣沿正六邊形滾動……

跟進環(huán)節(jié)：分別計算一元硬幣滾動的路程與自身周長的比值.

歸納猜想：一元硬幣沿任意多邊形滾動自身轉動的圈數有何結論？一元硬幣沿圓形滾動自身轉動的圈數又有何結論？

說理論證：對上述猜想的結論說明理由.

結論延伸：把上述結論應用于日常生活中相關現象的解釋.

【設計意圖】通過此類綜合與實踐拓展課程的設計，培養(yǎng)學生動手操作的實驗能力、觀察分析處理數據的能力、由特殊到一般的歸納推理能力，增強數學學習興趣，積累數學活動經驗，建立對生活現象的正確理解，形成如下結論“一元硬幣沿另一個一元硬幣無滑動地滾動一周，它自身自轉了兩周”;“硬幣沿封閉圖形外側滾動一周，硬幣自轉的圈數等于封閉圖形的周長÷硬幣的周長+1”;“齒輪轉動的圈數=多邊形的周長÷齒輪的周長 +1”.

正如波利亞所說： 數學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹的科學，另一方面，創(chuàng)造過程中的數學看起來卻像一門實驗性的歸納科學.

（四）推理能力的嵌入拓展

作為數學核心素養(yǎng)之一的邏輯推理常被側重于演繹推理能力的培養(yǎng)，忽視合情推理的滲透，而歸納推理又是初中數學特別是代數方面應用較多的合情推理形式.網課教學甚至日常教學中若能適時嵌入合情推理的內容作為拓展課的選材，無疑利于學生完整推理能力的培養(yǎng).

問題設置：1.找規(guī)律填數：①7，10，16，22，__… ②3，6，12，__，130，732…

2.說出你填數的具體思路.這種思考問題的方法屬于數學中的什么推理？

3.你認為歸納推理與演繹推理比較有何優(yōu)勢？（從特殊、個別可知一般結論）有何弊端？（有時結論出錯）如何更好地運用才能發(fā)揮優(yōu)勢，克服弊端？（大膽猜想、小心論證）

4.搜集數學史中經典的運用歸納推理的事例.

【設計意圖】通過此類拓展課的設計，培養(yǎng)學生邏輯推理的完整性，了解合情推理的合理性和弊端，鼓勵學生大膽運用歸納推理，去發(fā)現結論，結合演繹推理小心嚴謹論證，了解近期借助大數據分析研判疫情發(fā)展趨勢的數學原理，滲透費馬數等數學文化.

三、嵌入式拓展型網課的評價

拓展性課程和網課應該被教育者知曉，嵌入式拓展型課程與網課的深度融合不應成為應急之需的一時產物，而應成為數學教育者長期關注開發(fā)的資源，對嵌入式拓展型網課的評價，不能僅從居家學習這一個角度，而應綜合考慮數學學科的育人功能、學生的長期成長、教師的專業(yè)發(fā)展等因素.

從教師專業(yè)發(fā)展的角度來看，要想走出迷惑看清問題，必須站在更高的維度.比如要想搞明白城市的平面輪廓，如果擁有三維的高度視角，問題就太簡單了.為此我們結合杭州師范大學劉堤仿教授開發(fā)的教師六維度微觀評價表來綜合考評教師專業(yè)發(fā)展.六維度指的是教材認知、教學認知、學生認知、專業(yè)素養(yǎng)、專業(yè)職責、專業(yè)效能六個方面 [2].

從教材認知角度來看，嵌入式拓展型網課很好地落實了義務教育課程總目標中數學思考、問題解決、情感態(tài)度這三方面的目標.讓學生自主經歷、體驗、探索，在主動操作中體會數學學習的美好過程.這彌補了平時在基礎性課程中過多關注知識技能目標的短板.另外，“綜合與實踐”這部分的課程內容意在培養(yǎng)學生的動手、探究、創(chuàng)造能力，嵌入式拓展型網課正好彌補了這一教學內容的缺失.

從教學認知角度來看，若教師的拓展內容僅是習題演練結合變式應用，沒有數學文化的滲透、沒有創(chuàng)新型問題的設置、沒有前后知識本質的關聯(lián)、沒有學生自主學習的引導，說明教師對教材認知還停留在知識和技能的雙基層面，對教學認知還僅僅是流程操作.教學過程中，我們應設計一些讓學生親自動手、動腦的數學活動，讓學生去探究，使他們變被動接受學習為主動自主學習.

對學生認知來說，從學生的角度考慮，不應急功近利被一時的分數所蒙蔽，要從利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來考量.網課不應只是教授書本上的基礎知識，否則學生的學習會變得枯燥乏味， 課程的內容要設計活動，要有學生的思考，既要有個人獨立思考的過程，也要有動手實踐、小組合作的任務.學生不應停留在被動接受的層面，而要有自主學習個性發(fā)展，從而實現長遠的終身學習.

從教師專業(yè)素養(yǎng)來看，嵌入式拓展型網課充分展示了教師的專業(yè)智慧和文化，在課程中無不滲透著數學文化、科學知識等等.如《勾股定理》這一課設計中，通過學生自己搜集了解勾股定理的人文故事和證明方法，體會勾股定理的價值所在，從而滲透數學文化.通過類比，尋找問題本質，探索并了解費馬定理，從而培養(yǎng)學生的數學思考能力.《旋轉》這一課，通過學生實驗操作，動手觀察滲透生活中的實驗科學.

教師的專業(yè)職責是傳道、授業(yè)、解惑的融合統(tǒng)一.所謂“授之以魚不如授之以漁”，嵌入式拓展型網課充分調動學生的積極性，通過實驗、探索、體驗，慢慢地發(fā)現數學之美的過程.

對專業(yè)效能來說，學生通過綜合實踐活動，探索得到數學結論，才能更好地內化為自身的知識，完善認知結構，對知識的掌握程度、應用能力都會有所提升.

總之，設計開發(fā)應用嵌入式拓展型網課，既是義務教育階段數學課程的基礎性、普及性、發(fā)展性的整體要求，又是數學課程內容“綜合與實踐”這一短板的有效彌補;既能促進教師專業(yè)發(fā)展的與時俱進、知效合一，又能實現“促進學生全面而有個性的發(fā)展”課改總目標的高效實施;既是時勢之下的應急之需，也是教師“互聯(lián)網+教育”下專業(yè)發(fā)展之需，更是學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)之需.目前這種課程資源相對匱乏，仍有大片處女地等待數學同人去開發(fā).

參考文獻：

[1]徐建華，朱培培，劉堤仿.兩化一制：教師群體專業(yè)發(fā)展新常態(tài)[J].中小學教師培訓，2015（9）：27-28.

[2]徐建華，涂英.教師群體專業(yè)發(fā)展新格局[M].北京：光明日報出版社，2019（3）：1-5.