談兒童數(shù)學教育視角下“模型思想”建立的策略

張秋爽

【摘 ? 要】兒童數(shù)學教育視角下“模型思想”的建立，首先要厘清概念，合理把握小學數(shù)學模型思想的定位;然后在數(shù)學教學過程中要有意識挖掘，并在課堂教學中大膽嘗試和滲透，關(guān)注學生的體驗和參與建模的全過程，重要的是應用模型解決問題。具體策略是：教師要挖掘可以滲透模型思想的素材，做到有意識;學生要參與數(shù)學建模的全過程，做到有感悟，以及在解決問題中應用模型，做到善提取、巧對接。

【關(guān)鍵詞】模型思想;挖掘;有意識;有感悟;能提取;巧對接

數(shù)學有三大基本思想：抽象思想、推理思想和模型思想。很多教師感到困惑：模型思想到底是什么？數(shù)學建模、數(shù)學模型和模型思想三者的關(guān)系是什么？如何在教學中進行實踐和有意識地融入模型思想？

一、合理把握小學數(shù)學模型思想的定位

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識?！?/p>

數(shù)學模型方法是指將具體的數(shù)學問題情境化，建立相應的數(shù)學模型，并解決問題的一種思想方法;模型思想是模型方法的理論升華，它強調(diào)對實際問題情境的抽象和概括，即把實際問題抽象簡化為由各種數(shù)學符號組成的普通表達式、公式、運算法則、已知定理等數(shù)學模型;數(shù)學建模是一個過程，從具體的情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立數(shù)學模型，進一步驗證和完善數(shù)學模型，最后應用數(shù)學模型。

所以教師在教學中要立足學生實際，讓學生參與建模的全過程，進一步促進學生對概念的理解，提高學生解決問題的能力。

二、數(shù)學模型思想建立的策略

（一）挖掘可以滲透模型思想的素材，做到有意識

小學數(shù)學教材中有很多內(nèi)容都可以滲透模型思想。張奠宙先生說：“廣義地講，數(shù)學中各種基本概念和基本算法都可以叫作數(shù)學模型，加、減、乘、除都有各自的現(xiàn)實原型，它們都是以各自相應的現(xiàn)實原型作為背景抽象出來的?！币虼耍鳛榻處熞鶕?jù)教學內(nèi)容有意識地挖掘模型思想，并在教學實踐中以恰當?shù)姆绞郊右月鋵?，而不僅僅局限于讓學生記憶概念、掌握解題方法，更應提高學生運用所學知識方法解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識，增強他們用數(shù)學的思維來觀察世界和解決問題的能力。

如十進制計數(shù)法是表示整數(shù)和小數(shù)的基本模型;整數(shù)四則運算是數(shù)學運算的基本模型，其基礎(chǔ)是運算意義和位值思想;常見的量是表述數(shù)量單位的基本模型，其核心是度量，體現(xiàn)的是計量單位和個數(shù)之間累加的結(jié)果;平均分派物品的數(shù)學模型是分數(shù)，比、分數(shù)和除法的模型就是“份”。

小學階段有兩個基本的數(shù)量關(guān)系，也是兩個典型的模型“路程=速度×時間”“總價=單價×數(shù)量”，它們的基礎(chǔ)都是乘法意義和四則運算之間的關(guān)系。

用字母表示數(shù)是代數(shù)學的本質(zhì)，也是代數(shù)學的基本模型。天平從本質(zhì)上說是等量關(guān)系的“直觀模型”，方程是表示一類等量關(guān)系的模型;正、反比例是表示一類具有變量關(guān)系的模型。

點、線、面、體是幾何圖形的基本模型，認識圖形從圖形的大小、形狀、位置和方向四個方面進行;刻畫圖形有兩個維度，一個是特征的維度，一個是度量的維度。

圖形位置的模型是維度和坐標系，前、后、左、右、上、下是一年級學習表示位置的詞語。一維空間的刻畫需要三對詞語中的一對，如前、后;二維空間的刻畫需要三對詞語中的兩對，如前、后、左、右;三維空間的刻畫需要三對詞語。學生借助坐標軸和方向標，辨別東、南、西、北、東南、東北、西南、西北八個基本方位。在小學高年級，學習在方格紙上用數(shù)對表示位置，這實際上就是解析幾何的模型;方格紙和數(shù)對，從本質(zhì)上說是表示事物數(shù)量、位置、大小和數(shù)量關(guān)系的直觀模型。

統(tǒng)計圖表是收集和整理數(shù)據(jù)的工具，是表述數(shù)據(jù)分布情況的模型，統(tǒng)計量是分析和描述數(shù)據(jù)特征的模型，數(shù)據(jù)統(tǒng)計包括數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和決策全過程。平均數(shù)是小學階段統(tǒng)計量數(shù)學模型學習的開始。

烙餅問題、沏茶問題是對策論問題，田忌賽馬問題屬于運籌學問題，其模型是“做事情的順序問題”;雞兔同籠問題直接體現(xiàn)了假設(shè)和方程的思想;植樹問題討論的是“點—間隔”之間的關(guān)系。“植樹問題”“路燈問題”“排隊問題”“鋸木問題”“爬樓問題”“敲鐘問題”等都有著相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)，可以歸為同一個數(shù)學模型，也就是間隔問題，即點和間隔依次重復出現(xiàn)，而且間隔長度不變。凡是屬于這樣的情況就是植樹問題。單循環(huán)賽問題、握手問題就是數(shù)線段的模型;七橋問題就是“一筆畫”問題的模型等。

不論是概念的學習、規(guī)律的探索，還是實際問題中解決問題策略的習得，抑或法則的得出、圖形的抽象、知識的應用、數(shù)據(jù)的分析等內(nèi)容，都有數(shù)學模型。換句話說，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領(lǐng)域都有數(shù)學模型，而綜合與實踐更符合數(shù)學建模的過程，都要讓學生在情境中參與，在實際操作中探索和經(jīng)歷模型的建立過程，有意識做好數(shù)學模型思想的融入與滲透，使學生知其然又知其所以然。

（二）參與數(shù)學建模的全過程，做到有感悟

一般情況下，學生參與的數(shù)學建模要經(jīng)歷創(chuàng)設(shè)情境—提出假設(shè)—建立模型—求解模型—驗證模型—應用模型的全過程。吳正憲老師在教學乘法《乘法分配律》一課時，圍繞三個核心問題展開教學。

問題1：如何從現(xiàn)實中激活模型的生活化意義？

教師給學生提供多個生活原型：求紅花和黃花一共有多少朵？求種花的總面積是多少平方米？求客廳瓷磚的總面積是多少平方米？

問題2：如何從例證中體驗模型的抽象化意義？

教師讓學生列舉多道等式，從乘法意義出發(fā)，體驗模型的抽象化意義。

一般傳統(tǒng)的課堂中，教師往往僅通過一個實際問題引出等式，而且出示實際問題的目的僅僅是為了讓學生得到等式，便于學生進行模仿;但是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題”才是真實數(shù)學建模過程的首要環(huán)節(jié)。吳正憲老師的課堂從具體情境出發(fā)，給出了兩個例子，她不急于讓學生得出規(guī)律，而是借助情境和現(xiàn)實，拉長了學生對等式生活意義的體驗過程，學生在充分的體驗中激活了已有生活經(jīng)驗，對于等式中間蘊藏的規(guī)律在頭腦中越來越清晰。在初步形成猜想后，下面的舉例其實就是學生對其猜想的初步驗證。

問題3：如何表征才能凸顯模型的形式化意義？

教師選擇學生中出現(xiàn)的典型的五種想法，有序地呈現(xiàn)出來。

學生通過不同的表征方法，建構(gòu)模型的形式化意義。教師有層次地展示學生作品，讓每個學生都能在黑板上找到自己的影子并積極地參與討論，不斷澄清認知的偏差，在自我否定、補充完善中，抽象出數(shù)學模型，感悟數(shù)學建模的過程。

聽完吳正憲老師的課，筆者豁然開朗。教師上課一般只進行到第二個核心問題，新課就結(jié)束了，教師會留出更多的時間讓學生大量地做習題，以鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能。通過對比，我們發(fā)現(xiàn)，讓學生經(jīng)歷模型建立的全過程，有利于學生對數(shù)學的進一步理解，探究問題中隱含的數(shù)學關(guān)系。

（三）在解決問題中應用模型，做到善提取、巧對接

數(shù)學模型的本質(zhì)是從現(xiàn)實數(shù)學問題或現(xiàn)象中抽象出普適性的數(shù)學模型，進而應用數(shù)學模型解決實際問題。

學生在學習了線段、射線和直線之后，開始學習數(shù)線段問題。通過分類，可以得出圖1中一共有6條線段“AB、BC、CD、AC、BD和AD”，既可以連線，也可以計算，算式：1+2+3=6。

而數(shù)角和數(shù)三角形都屬于同一個數(shù)學模型，都是先數(shù)出有幾個基本圖形，然后從1開始依次加到幾。圖2一共有6個角，圖3一共有6個三角形。

當學生把數(shù)線段、數(shù)角和數(shù)三角形都看成具有相同結(jié)構(gòu)的模型之后，還需要到現(xiàn)實生活中應用模型解決問題;其中的橋梁就是學生能面對新情境新問題對接所學概念、所建立的模型，從腦中提取出來。只要善提取、巧對接就解決了90%的問題。

面對數(shù)圖形這類問題，現(xiàn)實生活中的情境還有：

（1）鼴鼠鉆洞一共有（ ? ? ）條路線。

（2）有4個好朋友寒假聚會，每個人要握一次手，一共需要握幾次？

（3）有1，2，3，4四個數(shù)，從中挑兩個數(shù)作為乘法算式的兩個因數(shù)，可以得到幾個不同的積？

（4）有4支籃球隊，要進行單循環(huán)賽，一共需要賽幾次？……

其中鼴鼠鉆洞的4個洞口，抽象成4個點，洞與洞相接的地方抽象成線，這樣就變成了數(shù)線段問題。我們要求學生在解決問題時能寫一寫、畫一畫，就是想讓他們把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型。這四個問題，其中鼴鼠鉆洞的4個洞口、4個好朋友、4個數(shù)和4支球隊就是線段上的4個端點;而所求問題鼴鼠鉆洞的路線條數(shù)、握手的次數(shù)、幾個不同的積和單循環(huán)賽的場次就是數(shù)線段模型，都是用1+2+3=6;這里的“3”就是三條基本線段，“2”是指兩條相鄰的線段組成的比較長的線段有2條;“1”是指三條基本線段組成的一條最長的線段。

三、課堂教學中建立模型思想的建議

模型思想的建立需要一個循環(huán)往復的過程，需要從大量的問題情境或生活實例（具體形象、舊知識）中抽象出概念、法則、運算定律，再用自己的方式表達，最后用自己的方式解讀。這也是一個建構(gòu)和解構(gòu)的過程，這兩個過程缺一不可，共同承擔學生建立模型思想的全過程。

教材中有很多內(nèi)容屬于模型思想，如植樹問題、雞兔同籠及一些基本的數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等，建議大家進一步挖掘，做到前有孕伏，后有照應，加強學生對數(shù)學概念的理解，提升他們思考和做事的能力，尤其是在新情境下能夠解決富有挑戰(zhàn)性的問題。

教學中要讓學生感悟模型無處不在，我們應從低年級起，恰到好處地結(jié)合日常教學對學生進行模型意識的滲透，體會建立模型、研究模型、應用模型是數(shù)學的本質(zhì)。

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（北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心 ? 101300）