通過(guò)連續(xù)多次課堂實(shí)驗(yàn)開(kāi)展博弈論教學(xué)

金誠(chéng)杰 王昊 陳峻

摘要：通過(guò)課堂實(shí)驗(yàn)進(jìn)行博弈論教學(xué)，能夠有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。但在以往的實(shí)踐中，此類實(shí)驗(yàn)通常只進(jìn)行一次，效果不夠顯著。因此嘗試在連續(xù)幾周的課堂上開(kāi)展博弈論實(shí)驗(yàn)，并在每次實(shí)驗(yàn)之間講解前一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)學(xué)生進(jìn)行集體訓(xùn)練。連續(xù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，第一次實(shí)驗(yàn)不可能達(dá)到納什均衡點(diǎn)，但在三周實(shí)驗(yàn)之后，學(xué)生的集體選擇會(huì)逐漸接近均衡點(diǎn)，并且如果繼續(xù)重復(fù)下去，最終可以達(dá)到目標(biāo)。這一過(guò)程有效地強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)博弈論原理的認(rèn)識(shí)。同時(shí)通過(guò)博弈論知識(shí)的學(xué)習(xí)，交通專業(yè)的學(xué)生也進(jìn)一步加深了對(duì)交通分配中Wardrop第一和第二原理本質(zhì)的理解。

關(guān)鍵詞：博弈論;課堂實(shí)驗(yàn);納什均衡;Wardrop原理

中圖分類號(hào)：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2020）15-0378-04

一、引言

博弈論是研究理性人互動(dòng)的理論。1928年，馮-諾依曼證明了博弈論的基本原理，宣告了博弈論的誕生。1944年，他和摩根斯坦合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》將二人博弈的情況推廣到多人博弈結(jié)構(gòu)，并且將博弈論系統(tǒng)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，奠定了這一學(xué)科的理論體系。在1950年，納什用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了均衡點(diǎn)的存在，為博弈論的一般化奠定了基礎(chǔ)。到今天，博弈論已經(jīng)成為社會(huì)科學(xué)的通用方法論，對(duì)于理解各種社會(huì)現(xiàn)象具有非常重要的價(jià)值[1]。

為此，我國(guó)高校中很多專業(yè)都開(kāi)展了博弈論知識(shí)的教學(xué)。由于博弈論的數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，公式和符號(hào)抽象，學(xué)生通常不易理解，因此近年來(lái)很多學(xué)者開(kāi)始在傳統(tǒng)課堂講授的基礎(chǔ)上，引入博弈論實(shí)驗(yàn)的手段[2-6]。這種互動(dòng)的教學(xué)模式更加有趣，有利于學(xué)生理解博弈的基本思想，也有助于活躍課堂氣氛和提高教學(xué)效率，是值得廣泛推廣的。但在以往的博弈論課堂實(shí)驗(yàn)中[2-6]，基本上都只進(jìn)行了一次實(shí)驗(yàn)，內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單。有些學(xué)者在期末考試中引入了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容[7]，它的效果也等同于單次實(shí)驗(yàn)。事實(shí)上在一學(xué)期的連續(xù)多周課程里，完全有條件開(kāi)展連續(xù)多次的重復(fù)課堂實(shí)驗(yàn)，從而更深入地揭示博弈論原理，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果。因此我們針對(duì)這一點(diǎn)展開(kāi)了嘗試，取得了較好的效果，具體過(guò)程將在下文詳述。

二、第1輪實(shí)驗(yàn)：初嘗試

我們?cè)O(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容如下：

在0—100之間選取一個(gè)數(shù)字，當(dāng)所有學(xué)生的數(shù)字收上來(lái)之后，計(jì)算所有數(shù)字的平均數(shù)。選取數(shù)字最接近大家平均數(shù)2/3的學(xué)生是贏家，可以得到10元錢獎(jiǎng)勵(lì)。如果有多個(gè)贏家，則每人都有10元錢獎(jiǎng)勵(lì)。你將如何選擇這個(gè)數(shù)字？

實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：

1.共有42名實(shí)驗(yàn)參與者，均為東南大學(xué)交通學(xué)院一年級(jí)研究生，大部分學(xué)生專業(yè)為交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理，少數(shù)為道路、載運(yùn)、ITS等專業(yè)，均無(wú)相關(guān)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，也從未學(xué)習(xí)過(guò)博弈論知識(shí)。

2.實(shí)驗(yàn)時(shí)間為15分鐘，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不允許和別人交談，也不允許上網(wǎng)查找資料，完全獨(dú)立完成。

3.參與者在白紙上寫上自己的姓名，學(xué)號(hào)，選擇的數(shù)字和理由。

這一實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和文獻(xiàn)[6][7]描述的實(shí)驗(yàn)基本一致，主要區(qū)別在于文獻(xiàn)[7]在期末考試中進(jìn)行，將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)定為試題，而文獻(xiàn)[6]中要求為“數(shù)字最接近大家平均數(shù)1/2的學(xué)生是贏家”。在這次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生非常投入，很多人在時(shí)間結(jié)束時(shí)仍然在反復(fù)思考和推算。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，學(xué)生們對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)表達(dá)出了強(qiáng)烈的興趣，例如下課時(shí)有學(xué)生表示希望能當(dāng)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)場(chǎng)出結(jié)果。

課后我們將42名學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，按照每10個(gè)數(shù)為1個(gè)區(qū)間的方式進(jìn)行劃分，結(jié)果如表1所示。由于沒(méi)有學(xué)生填寫80以上的數(shù)字，所以表格中的最大區(qū)間為（71，80]。在42個(gè)數(shù)字中，最小值為0，最大值為75，平均值為28.53，它的2/3為19.02。由于無(wú)人選擇19，所以最終贏家為2名選擇20的學(xué)生。

這一實(shí)驗(yàn)存在著納什均衡點(diǎn)0或者1，具體的分析和推導(dǎo)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]，本文不再贅述。此處主要討論實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的一些現(xiàn)象：

1.67以上的選擇肯定是非理性的，因?yàn)榧幢闫骄禐?00，它的2/3也只有66.7。本次實(shí)驗(yàn)中仍然有一名學(xué)生填寫了75，并且說(shuō)理由是“我喜歡”，可以看到即便對(duì)于一年級(jí)的工科研究生而言，仍然有少數(shù)人不具備基本的理性思維能力。

2.有的學(xué)生雖然給出了理論上可能的數(shù)值，但理由很不充分，事實(shí)上他們并未進(jìn)行合理的分析。例如一名學(xué)生填寫了61，理由是“我覺(jué)得大部分人會(huì)往黃金分割點(diǎn)靠近”。還有學(xué)生填寫了50或40，理由是“我猜的”。

3.一些學(xué)生努力地進(jìn)行了推理演繹，并且接近了最終的答案。例如在42人中，有多達(dá)10名學(xué)生選擇了22，其中有代表性的理由是：

“如果沒(méi)有假設(shè)條件，平均分布的結(jié)果應(yīng)該是50，則50*2/3=33?？赡艽蠹叶紩?huì)想到這一角度，所以答案平均值會(huì)接近于33，則2/3應(yīng)該為33*2/3=22”。

4.也有學(xué)生在22的基礎(chǔ)上進(jìn)一步演繹，繼續(xù)乘以2/3，并得到了14或者15的結(jié)果。但即便是考慮到了“無(wú)限循環(huán)”的情況，他們也并未選擇更小的數(shù)字（本次實(shí)驗(yàn)中無(wú)人選擇1—10的數(shù)字）。

5.總共有2名學(xué)生選擇了0，他們分析出了納什均衡點(diǎn)，意識(shí)到在“無(wú)限循環(huán)”后，確實(shí)結(jié)果會(huì)趨向于0。但在這次實(shí)驗(yàn)中，寫0事實(shí)上是一種非理性行為，因?yàn)槿绻蠖鄶?shù)人未考慮到這一步的話，平均值必然遠(yuǎn)大于0，寫0的人根本不可能成為最后的贏家。

此處還可以將本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。我們采集了文獻(xiàn)[6]和[7]的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并呈現(xiàn)在圖1中作比較。可以看到當(dāng)選擇的數(shù)字較大（N>30）時(shí)，3次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果非常接近，尤其是N>50時(shí)幾乎完全一樣。在數(shù)字較小時(shí)，本文結(jié)果和文獻(xiàn)[6]的結(jié)果仍然基本一致，但文獻(xiàn)[7]呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)，明顯有較多學(xué)生選擇了0-10這一區(qū)間，即更為接近納什均衡點(diǎn)。另外從平均數(shù)而言，本文實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為19.0，也明顯大于文獻(xiàn)[7]中的平均數(shù)14.6。

通過(guò)分析學(xué)生背景，可以發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[7]中的實(shí)驗(yàn)參與者是選修課邏輯與科學(xué)方法基礎(chǔ)的學(xué)生，并且這一實(shí)驗(yàn)是期末考試中的一道題。此門課程的教師曾經(jīng)以講座的形式給他們講授過(guò)博弈論知識(shí)，所以他們經(jīng)歷過(guò)一定的訓(xùn)練，具備了更強(qiáng)的思維能力。而本文和文獻(xiàn)[6]的實(shí)驗(yàn)參與者，在實(shí)驗(yàn)前并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)博弈論，相對(duì)而言思維能力較弱，所以能考慮到納什均衡點(diǎn)的學(xué)生明顯較少。

三、第2輪實(shí)驗(yàn)：訓(xùn)練的效果

如前文所述，第1輪實(shí)驗(yàn)過(guò)程事實(shí)上與文獻(xiàn)[6][7]幾乎一樣，并無(wú)多少創(chuàng)新之處。為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)博弈論的理解，教師決定接下來(lái)進(jìn)行更多更深入的實(shí)驗(yàn)。

首先，在第2周的課堂上，教師對(duì)第1輪實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行了介紹，包括公布了選擇不同區(qū)間的人數(shù)比例和最終平均值，并且向?qū)W生具體分析了實(shí)驗(yàn)原理，指出選擇0是納什均衡點(diǎn)，但事實(shí)上在第1次實(shí)驗(yàn)中選0不可能成為贏家等等。此時(shí)學(xué)生開(kāi)始對(duì)博弈論有了基本的認(rèn)識(shí)，初步具備了策略性思維的能力，并且學(xué)習(xí)興趣得到了進(jìn)一步加強(qiáng)。

然后，教師立即在課堂上開(kāi)展了第2輪實(shí)驗(yàn)，并且實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、過(guò)程和第1輪完全一樣。但因?yàn)閰⒓訉?shí)驗(yàn)的學(xué)生經(jīng)過(guò)了一次訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，效果必然會(huì)有所不同。這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖2所示■，可以看到在了解了原理之后，大家的選擇普遍更接近于0，平均值比第1次實(shí)驗(yàn)小了很多，并且有更多的學(xué)生（8名）直接選擇了納什均衡點(diǎn)。其中有2名學(xué)生在選擇理由中直接指出，所有人選擇0會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)最優(yōu)，即“這樣每個(gè)人都是贏家，每個(gè)人都可以獲得10元錢獎(jiǎng)勵(lì)”。但與此同時(shí)，仍然有很多人考慮到“參與者不可能絕對(duì)理性，不可能大家都選0”，所以大多數(shù)學(xué)生（24名）選擇了1—10之間的數(shù)字，并且有少數(shù)人（6名）選擇了11—20之間的數(shù)字。這種對(duì)他人的普遍懷疑導(dǎo)致第2輪實(shí)驗(yàn)仍然沒(méi)有出現(xiàn)系統(tǒng)最優(yōu)的結(jié)果，平均值最終為7.76，2/3結(jié)果為5.17，最終贏家為2名選擇5的學(xué)生。

值得一提的是，這次實(shí)驗(yàn)中有一名學(xué)生選擇了數(shù)字100，并且在理由中寫道：“反正我拿到錢的概率很?。ɑ蛘哒f(shuō)沒(méi)有概率），就來(lái)做個(gè)不理性的破壞者吧。”由于他在平時(shí)是一個(gè)做事認(rèn)真細(xì)心、守規(guī)矩、學(xué)習(xí)成績(jī)比較好的學(xué)生，做出這樣的行為可以說(shuō)是令人意外的。但其實(shí)在生活中，我們也經(jīng)常能觀察到類似于“損人不利己”的非理性行為;一個(gè)人在分析過(guò)形勢(shì)之后，感覺(jué)自己完全沒(méi)有勝算，于是選擇和對(duì)手“同歸于盡”，道理上也算是說(shuō)得通。這一情形充分體現(xiàn)出博弈論的一些基本假設(shè)、例如假設(shè)“參與者是絕對(duì)理性的”往往與事實(shí)不符，這一點(diǎn)和前人研究結(jié)論[1，7]一致?？梢哉f(shuō)我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是復(fù)雜人性的一次鮮活的體現(xiàn)。

四、第3輪實(shí)驗(yàn)：接近納什均衡點(diǎn)

在第3周的課堂上，教師首先對(duì)第2周的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了介紹，公布了選擇不同區(qū)間的人數(shù)比例和最終平均值，并對(duì)大家的選擇做了進(jìn)一步分析。學(xué)生們對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果同樣非常感興趣，并且針對(duì)這輪實(shí)驗(yàn)中有人故意選擇100的意外情況展開(kāi)了熱烈的討論。

然后，教師在課堂上開(kāi)展了第3輪實(shí)驗(yàn)，并且實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、過(guò)程和第1第2輪完全一樣。此時(shí)學(xué)生們已經(jīng)意識(shí)到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的最佳策略是所有人合作，全部選擇0，這樣所有人都是贏家，所有人都可以獲得10塊錢獎(jiǎng)勵(lì)。但同時(shí)，由于“前車之鑒”的存在，大家也會(huì)擔(dān)心是否又有人搞破壞。在這兩項(xiàng)因素的綜合作用下，這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果比上一次更加接近于納什均衡點(diǎn)，但并沒(méi)有達(dá)到。具體結(jié)果如表3所示，這次的平均值為3.67，2/3結(jié)果為1.97，最終贏家為4名選擇2的學(xué)生。

在第3次實(shí)驗(yàn)中，雖然有幾名學(xué)生在寫理由時(shí)談到可能會(huì)有人搞破壞，甚至有學(xué)生預(yù)測(cè)說(shuō)“這輪一定有更多的人搗亂，我猜應(yīng)該有5—6個(gè)人”，但最后并沒(méi)有出現(xiàn)這種情形：這次的最大值只有16，并且選擇（11，20]的人只有2名。事實(shí)上正如另一名學(xué)生所預(yù)測(cè)的那樣，“本次會(huì)有更多的人寫得更小，搞破壞的人在一次之后會(huì)覺(jué)得無(wú)聊，不會(huì)增加多少”。

總的來(lái)說(shuō)，通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)我們可以觀察到，系統(tǒng)在逐漸向納什均衡點(diǎn)靠近，但這個(gè)靠近速度是很慢的。例如選擇0的學(xué)生數(shù)量只從8增加到了10，并且有4名上一輪選擇0的學(xué)生基于對(duì)整體的判斷，這次反而選擇了略大一些的數(shù)字。另外，已經(jīng)有很多學(xué)生逐漸意識(shí)到了多輪重復(fù)實(shí)驗(yàn)的意義所在，例如有學(xué)生在理由中分析到“想問(wèn)的是，到底要經(jīng)歷多少次實(shí)驗(yàn)才會(huì)實(shí)現(xiàn)共贏呢”。

五、未進(jìn)行的下一輪實(shí)驗(yàn)：最后的討論

在第4周的課堂上，同樣地，教師首先對(duì)第3周的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了介紹，公布了選擇不同區(qū)間的人數(shù)比例和最終平均值，并對(duì)大家的選擇做了進(jìn)一步分析。雖然學(xué)生仍然對(duì)實(shí)驗(yàn)本身有興趣，但對(duì)于是否還要繼續(xù)重復(fù)相同實(shí)驗(yàn)，已經(jīng)有些爭(zhēng)議。事實(shí)上在第3次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果中，已經(jīng)有不止一名學(xué)生寫到“對(duì)實(shí)驗(yàn)失去興趣”或者“無(wú)法分析”。

顯然，當(dāng)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容失去興趣時(shí)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)就無(wú)法再促進(jìn)教學(xué)了。因此這次課上，教師先請(qǐng)學(xué)生們針對(duì)“是否要繼續(xù)做第4輪實(shí)驗(yàn)”舉手表決，結(jié)果發(fā)現(xiàn)大約80%的學(xué)生都認(rèn)為沒(méi)必要再做，并且大家普遍相信，假如繼續(xù)做下去最終必然會(huì)達(dá)到納什均衡點(diǎn)，所有人都會(huì)寫0。唯一的懸念是還需要幾輪才能達(dá)到，但這一輪數(shù)似乎并不重要。到此時(shí)，博弈論實(shí)驗(yàn)可以說(shuō)圓滿結(jié)束了：通過(guò)連續(xù)4周的學(xué)習(xí)和討論，學(xué)生親身體驗(yàn)了決策過(guò)程，在與集體的互動(dòng)中深刻領(lǐng)會(huì)了博弈論的含義與樂(lè)趣，實(shí)現(xiàn)了較好的教學(xué)效果。

六、與交通工程知識(shí)的聯(lián)系：以Wardrop原理為例

前文所述的幾次博弈論實(shí)驗(yàn)，雖然非常有意義，但和交通工程領(lǐng)域并無(wú)直接聯(lián)系。對(duì)于交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理的學(xué)生而言，還需要學(xué)以致用，能夠?qū)⒉┺恼撝R(shí)用于自己的專業(yè)領(lǐng)域。事實(shí)上很多交通問(wèn)題都屬于博弈論的范疇，只是由于交通參與者通常數(shù)量較多，往往難以使用博弈論直接求解。但使用博弈論的思維方式，仍然可以解釋一些交通現(xiàn)象，加深學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí)。

此處我們以交通分配中的Wardrop原理為例，進(jìn)行簡(jiǎn)單的詮釋。Wardrop第一原理認(rèn)為，網(wǎng)絡(luò)上的交通分布結(jié)果，會(huì)使得所有使用的路線都比沒(méi)有使用的路線費(fèi)用小。Wardrop第二原理認(rèn)為，車輛在網(wǎng)絡(luò)上的分布，使得網(wǎng)絡(luò)上所有車輛的總出行時(shí)間最小。如果交通分配模型滿足Wardrop第一、第二原理，則該模型為平衡模型，并且滿足第一原理的模型稱為使用者優(yōu)化平衡模型（User—Optimized Equilibrium），滿足第二原理的模型稱為系統(tǒng)優(yōu)化平衡模型（System—Optimized Equilibrium）。如果模型不滿足這兩條原理，而是采用了模擬方法，則被稱為非平衡模型。

交通工程教科書上[8]會(huì)指出，非平衡模型在實(shí)際工程中得到了廣泛應(yīng)用，效果良好，但卻沒(méi)有具體說(shuō)明為何平衡模型使用效果不佳，為何Wardrop原理經(jīng)常失效，導(dǎo)致學(xué)生往往并不明白其中原因。但如果結(jié)合博弈論和納什均衡，則可以給出解釋：

Wardrop第一原理基于用戶的理性假設(shè)，認(rèn)為用戶總是盡可能地最小化自己的通行時(shí)間，所有的用戶都如此選擇的結(jié)果形成了用戶均衡。Wardrop第二原理假設(shè)用戶是合作的，最終使得系統(tǒng)總的通行時(shí)間最少。然而從納什均衡的結(jié)果來(lái)看，Wardrop第一和第二原理之間根本不存在關(guān)聯(lián)性，并且很多時(shí)候恰好相反：當(dāng)所有用戶試圖滿足Wardrop第一原理時(shí)，經(jīng)常導(dǎo)致Wardrop第二原理得不到滿足，系統(tǒng)的總時(shí)間會(huì)變大。這在著名的“囚徒困境”中有充分的體現(xiàn)：每個(gè)囚徒都會(huì)選擇坦白，從而導(dǎo)致所有人都坐牢更長(zhǎng)時(shí)間。而在我們的課堂實(shí)驗(yàn)中，會(huì)有很多學(xué)生在認(rèn)真思考后仍然選擇較大的數(shù)字，從而提升整體平均值，延緩系統(tǒng)達(dá)到均衡點(diǎn)的速度。更特殊的是，在少數(shù)時(shí)候，用戶甚至不滿足Wardrop第一原理：例如在我們的課堂實(shí)驗(yàn)中有學(xué)生故意選擇100，干擾大家的結(jié)果。另外即便有教師指導(dǎo)，在大家經(jīng)過(guò)3輪的集體學(xué)習(xí)和訓(xùn)練之后，仍然只是接近、而未達(dá)到系統(tǒng)均衡點(diǎn)，換言之系統(tǒng)的收斂速度沒(méi)有之前想象中快。由此可以看出，要想在現(xiàn)實(shí)中讓交通分配結(jié)果同時(shí)滿足第一和第二原理，根本是不可能的，這也就是非平衡模型更實(shí)用的原因。

當(dāng)我們?cè)谡n堂教學(xué)中分析了這一點(diǎn)之后，學(xué)生普遍感覺(jué)到了學(xué)習(xí)博弈論對(duì)解決交通問(wèn)題的幫助，同時(shí)也對(duì)交通分配方法和Wardrop原理有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

七、結(jié)論

為了提升教學(xué)效果，克服單次實(shí)驗(yàn)的缺陷，本文通過(guò)開(kāi)展連續(xù)多次的課堂實(shí)驗(yàn)進(jìn)行博弈論教學(xué)。結(jié)果表明，第一次博弈論實(shí)驗(yàn)不可能達(dá)到納什均衡點(diǎn)，但在三周實(shí)驗(yàn)之后，學(xué)生的集體選擇會(huì)逐漸接近均衡點(diǎn)，并且如果繼續(xù)重復(fù)下去，最終可以達(dá)到。通過(guò)這一系列的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生充分地了解了博弈論的基本原理，親身體會(huì)了決策過(guò)程，學(xué)習(xí)興趣得到了充分的激發(fā)。另外通過(guò)博弈論知識(shí)的學(xué)習(xí)，交通專業(yè)的學(xué)生也加深了對(duì)交通分配中Wardrop第一和第二原理本質(zhì)的理解。在今后的教學(xué)實(shí)踐中，我們計(jì)劃針對(duì)更多的學(xué)生開(kāi)展類似的實(shí)驗(yàn)，比較各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)博弈論和相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。

注釋：

（1）由于少數(shù)學(xué)生請(qǐng)假和曠課的緣故，第2次實(shí)驗(yàn)只有39名學(xué)生參加，第3次實(shí)驗(yàn)有40名學(xué)生參加，但這種差異對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響基本可以忽略不計(jì).

（2）為保護(hù)隱私，選擇100的學(xué)生姓名并未公布，大家只是知道班里有一個(gè)人做出了這樣的行為.

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