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    函數(shù)極限求值的若干方法探究

    2020-05-12 13:03:46陳書(shū)坤
    黑龍江科學(xué) 2020年7期
    關(guān)鍵詞:洛必達(dá)冪級(jí)數(shù)泰勒

    陳書(shū)坤

    (山東青年政治學(xué)院 信息工程學(xué)院,濟(jì)南 250103)

    關(guān)于函數(shù)極限的求解方法,在高等數(shù)學(xué)教材中主要介紹了極限的四則運(yùn)算、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換、洛必達(dá)法則,等等。為了豐富求函數(shù)的極限方法,現(xiàn)總結(jié)介紹幾種高等數(shù)學(xué)教材中不常用的函數(shù)極限求解方法。

    1 利用微分中值定理求極限

    在利用微分中值定理時(shí)需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),而函數(shù)可以通過(guò)觀(guān)察極限的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行合理構(gòu)造。

    其中ξ∈(1-4x2,1-x2)。當(dāng)x→0時(shí),ξ=1

    (說(shuō)明:本題也可用洛必達(dá)法則或泰勒展開(kāi)公式求解。)

    2 利用泰勒展開(kāi)公式求極限

    在求解函數(shù)極限時(shí)有時(shí)需要用到泰勒展開(kāi)公式,尤其是一些初等函數(shù)的麥克勞林公式,如ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)α等。在使用泰勒公式時(shí),至于需要將所展函數(shù)展開(kāi)到第幾項(xiàng)還需要根據(jù)具體情況進(jìn)行相應(yīng)處理。例如,若求解的是分式函數(shù)的極限,則需要根據(jù)分子、分母的冪次來(lái)決定,原則是展開(kāi)后(去掉高階無(wú)窮小)使得分子、分母的最高次冪相等。

    所以原式

    (說(shuō)明:本題也可用洛必達(dá)法則求解,但由于本題分子中含有根號(hào),求導(dǎo)時(shí)會(huì)變得較為繁瑣,而使用泰勒展開(kāi)公式會(huì)更簡(jiǎn)便。)

    3 利用積分中值定理求極限

    利用積分中值定理可以求某些含有定積分表達(dá)式的函數(shù)極限。

    解:由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù),則由積分中值定理可知:

    則有:

    (說(shuō)明:本題從結(jié)構(gòu)上來(lái)看可以使用洛必達(dá)法則求解,但在求解時(shí)遇到了不符合洛必達(dá)法則條件的情況,因此不能使用洛必達(dá)法則。)

    4 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

    當(dāng)在函數(shù)極限出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)條件時(shí),可以考慮根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義表達(dá)式進(jìn)行求解。

    解:由題知

    (說(shuō)明:本題也可以利用洛必達(dá)法則和拉格朗日中值定理求解。)

    5 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求極限

    當(dāng)所求函數(shù)極限中出現(xiàn)諸如ex、sinx、cosx、ln(1+x)等類(lèi)似形式的函數(shù)時(shí),可以考慮將其展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。該方法可以將復(fù)雜函數(shù)表示為簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù),從而便于求出函數(shù)極限。

    (說(shuō)明:該題也可以通過(guò)換元將其變?yōu)榉质胶瘮?shù),然后使用洛必達(dá)法則求解。)

    6 利用函數(shù)與極限的關(guān)系求極限

    有些函數(shù)的求極限問(wèn)題可以根據(jù)函數(shù)與極限的關(guān)系進(jìn)行求解:若limf(x)=A,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=A+α(x),α(x)→0

    于是f(x)=sin2x·[e(5+α(x))·(3x-1)-1]

    而e(5+α(x))·(3x-1)-1~(5+α(x))·(3x-1)(x→0)

    則有:

    (說(shuō)明:本題也可以直接根據(jù)四則運(yùn)算法則及等價(jià)無(wú)窮小代換求解。)

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