從“簡(jiǎn)單”到“多元”的數(shù)形結(jié)合

陳 云

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，我們稱(chēng)之為“數(shù)形結(jié)合”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合在各個(gè)領(lǐng)域都有滲透，特別是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)、解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)，要經(jīng)歷由易到難、由簡(jiǎn)到繁的發(fā)展變化，從“簡(jiǎn)單易變”到“對(duì)應(yīng)穩(wěn)定”，再到“多元豐富”，一步步走向成熟。

一、簡(jiǎn)單易變——數(shù)形結(jié)合的初級(jí)形式

嚴(yán)格意義上的數(shù)形結(jié)合應(yīng)該是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”的完美結(jié)合。事實(shí)上，在小學(xué)階段（特別是小學(xué)低段）我們對(duì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用多半著力于“借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系”，這固然是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，但這一方法與嚴(yán)格意義上的“數(shù)形結(jié)合”方法在內(nèi)涵上是不一致的。

例如：在學(xué)生學(xué)習(xí)“3+4=7”時(shí)，必定要借助具體的實(shí)物讓學(xué)生感受“加”的意義。教師的操作可能是這樣的：先拿出3個(gè)蘋(píng)果，再拿出4個(gè)蘋(píng)果，問(wèn)學(xué)生現(xiàn)在講臺(tái)上有幾個(gè)蘋(píng)果？

也可能是這樣的：左手拿著3根小棒，右手拿著4根小棒，兩只手并攏到一起，問(wèn)學(xué)生兩只手上一共有幾根小棒？

還有可能是這樣的：左邊畫(huà)4個(gè)圓，右邊畫(huà)3個(gè)圓，問(wèn)學(xué)生黑板上一共有幾個(gè)圓？

……

這里借助蘋(píng)果、小棒、圓形都十分簡(jiǎn)單，是學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)中的東西，不需要學(xué)生重新認(rèn)識(shí)和加以理解。所以，這些實(shí)物或圖形加上教師的操作就能夠較為輕松地幫助學(xué)生理解加法的算理。但是，這里的實(shí)物和圖形并不能算作數(shù)形結(jié)合的“形”，因?yàn)樘O(píng)果有大有小，還可以換成梨子；小棒有紅有綠，換成彈珠也未嘗不可；圓形變成三角形同樣不影響學(xué)生的理解。甚至于，有教師提出，在最初借助實(shí)物或圖片幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念時(shí)，借用的實(shí)物或圖片不能始終保持不變，以免學(xué)生形成思維定勢(shì)，好比一直用靜止的水果圖片表示3+4的意思，再換成活動(dòng)的羊群，學(xué)生就不知道怎么辦了。所以這里的實(shí)物和圖片并不是數(shù)形結(jié)合中的“形”，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小、具體實(shí)物的性質(zhì)和狀態(tài)，并沒(méi)有賦予圖片和實(shí)物本身形狀和大小量化的特征，運(yùn)用各種不同的材料都能起到相同的作用。因此，這里的“數(shù)形結(jié)合”還只是一種“雛形”，算是“數(shù)形結(jié)合”的初級(jí)形式——簡(jiǎn)單易變。

二、對(duì)應(yīng)穩(wěn)定——數(shù)形結(jié)合的高級(jí)形式

當(dāng)“數(shù)學(xué)結(jié)合”在課堂中演變?yōu)橛脭?shù)軸、線段圖、正方形、圓、圖像等抽象的“形”來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)、數(shù)量關(guān)系時(shí)，就是真正的以形助數(shù)了。教師在引導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題的過(guò)程中，要注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考查，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，把“數(shù)”和“形”建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，以達(dá)到化難為易，獲得解決問(wèn)題簡(jiǎn)便、易行的成功方案。

例如：直線、線段在教學(xué)中的運(yùn)用。從低年級(jí)開(kāi)始就會(huì)借助直線認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，從認(rèn)識(shí)整數(shù)（如圖1）到認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)（如圖2），再到高年級(jí)的畫(huà)線段圖幫助學(xué)生理解實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系（如圖3）。這里的每一條線、每一個(gè)點(diǎn)、每一份間距都有特定的含義，如在認(rèn)識(shí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的數(shù)軸中，指向“0”的點(diǎn)都是一個(gè)起點(diǎn)，而在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的數(shù)軸上，指向“0”的點(diǎn)很顯然只是一個(gè)分界點(diǎn)，一端為正，則另一端為負(fù)。再如圖3的線段圖，表示楊樹(shù)棵數(shù)的線段長(zhǎng)度由表示柳樹(shù)棵數(shù)的線段長(zhǎng)度所決定，而且這里即便不是楊樹(shù)、柳樹(shù)，換成紅花、綠花；男生、女生……只要數(shù)量關(guān)系不變，線段圖都不變。這就實(shí)現(xiàn)了把抽象的數(shù)的概念和數(shù)量關(guān)系與圖中的點(diǎn)、線緊密結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)，簡(jiǎn)潔、直觀、易懂。

圖1

圖2

圖3

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，“數(shù)”和“形”有著對(duì)應(yīng)穩(wěn)定關(guān)系的內(nèi)容還有很多，學(xué)生比較熟悉的除上面提到的還有用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問(wèn)題。如角度、周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算，一個(gè)小正方形、一個(gè)小正方體都是一個(gè)特定的計(jì)數(shù)單位；通過(guò)計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，可以知道它是什么樣的三角形等等都是“以數(shù)解形”的較好運(yùn)用。至于平面直角坐標(biāo)系，雖然在小學(xué)階段還只是滲透，應(yīng)用得比較淺顯，但位置、正反比例關(guān)系圖像等內(nèi)容，能很好地幫助學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，成為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。再有統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)圖表把抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來(lái)，便于分析和決策。這些才是真正意義上的數(shù)形結(jié)合，就是讓“數(shù)”與“形”之間具備了某種特定的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生看到某個(gè)“形”就能想到某些特定的“數(shù)”或“數(shù)量關(guān)系”，看到某些“數(shù)”或“數(shù)量關(guān)系”就能畫(huà)出特定的“形”，其實(shí)就是從所給問(wèn)題的情境中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，這稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合思想的高級(jí)形式。

三、多元豐富——數(shù)形結(jié)合思想的理想形式

數(shù)形結(jié)合思想在問(wèn)題解決中比較困難的就是根據(jù)對(duì)象的屬性和問(wèn)題的特點(diǎn)將“數(shù)”與“形”巧妙對(duì)應(yīng)，也就是把“數(shù)”對(duì)應(yīng)的“形”或與“形”對(duì)應(yīng)的“數(shù)”找出來(lái)，利用“數(shù)”與“形”的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。但是任何一種思想方法都不是孤立和固定不變的，我們的數(shù)學(xué)課堂不必太過(guò)“中規(guī)中矩”，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，我們還可以給學(xué)生更多的自由，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神留出更大的空間，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新求變意識(shí)，更廣泛地挖掘教學(xué)素材和生活素材，使“數(shù)”的理解更寬泛、“形”的表達(dá)更多元，這正是我們?cè)凇皥D解數(shù)學(xué)”過(guò)程中希望達(dá)到的理想境界。

例如：有這樣一道兩步計(jì)算的簡(jiǎn)單問(wèn)題：“圖書(shū)館故事書(shū)和童話書(shū)共借走72本，其中故事書(shū)比童話書(shū)多借走12本，兩種書(shū)分別借走了多少本？”我們似乎很期望得到如圖4這樣的“標(biāo)準(zhǔn)”的數(shù)形結(jié)合方式，但事實(shí)上我們還能看到圖5、圖6、圖7，其實(shí)每一種想法都是一種特別難得的思路，像這樣一些“非標(biāo)準(zhǔn)”畫(huà)法，反而給其他同學(xué)提供了更多的變式思路，如果我們引導(dǎo)學(xué)生從這些“異樣”的“形”中找出“變”與“不變”，就能夠很好地凸顯知識(shí)核心、問(wèn)題本質(zhì)——萬(wàn)變不離其宗。

圖4

圖5

圖6

圖7

雖然數(shù)形結(jié)合總體來(lái)說(shuō)還是會(huì)趨向?qū)?yīng)穩(wěn)定，但在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們沒(méi)有必要過(guò)早給學(xué)生“定勢(shì)”的表達(dá)，可以讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的關(guān)系變化中去感悟不變的本質(zhì)，因?yàn)椴煌男问酵鶗?huì)生成不同的內(nèi)容，產(chǎn)生不同的效果，有利于處在不同層次上的學(xué)生的心智結(jié)構(gòu)都能得到完善。