立足生活常識(shí) 導(dǎo)向核心素養(yǎng)

楊亞軍

【摘 要】 近兩年，高考試題已清晰地從圍繞知識(shí)、能力的命題向素養(yǎng)立意下的圍繞育人目標(biāo)的命題進(jìn)行轉(zhuǎn)變。如何在課堂教學(xué)及日常訓(xùn)練中落實(shí)，這是一個(gè)全新的課題。本文立足生活常識(shí)，從設(shè)計(jì)編制培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的“問(wèn)題”這個(gè)角度做了一點(diǎn)探索與實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng)? 數(shù)學(xué)抽象? 幾何模型

新課程標(biāo)準(zhǔn)從政策層面、高考從評(píng)價(jià)選拔層面都要求教育要指向?qū)W生的核心素養(yǎng)，要注意發(fā)展學(xué)生的高階思維能力。這就要求我們要盡快從過(guò)去的一味訓(xùn)練學(xué)生“解題”，轉(zhuǎn)向啟發(fā)、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“解決問(wèn)題”。要做好這個(gè)轉(zhuǎn)變，對(duì)我們教師而言，很重要的一點(diǎn)就是要學(xué)會(huì)立足生活、立足學(xué)生實(shí)際，給學(xué)生設(shè)計(jì)或編制有價(jià)值的“問(wèn)題”。

“山路彎彎”，不論是“千峰疊翠萬(wàn)重?zé)?，清風(fēng)索繞十二盤(pán)”的青海十二盤(pán)坡，還是318線上的怒江七十二道拐，這些盤(pán)山公路之所以有這么多彎、這么多拐，這其中是有科學(xué)道理的。下面，我就立足這一生活中的現(xiàn)象和常識(shí)，在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間角的計(jì)算之后，給學(xué)生提出這樣一個(gè)對(duì)學(xué)生而言既熟悉又陌生的“問(wèn)題”——同學(xué)們?cè)囍鴳?yīng)用我們所擁有的知識(shí)與方法，重點(diǎn)從數(shù)學(xué)的角度，給出“在陡峭的山坡上修公路，為何都修成了盤(pán)山公路”的道理之所在（記為“探索性問(wèn)題”）。

學(xué)生幾乎都能說(shuō)出修成盤(pán)山公路，路就不太陡，車(chē)就容易上去。還有學(xué)生可能會(huì)從機(jī)動(dòng)車(chē)爬坡的安全性與能力，甚至有學(xué)生可能從道路交通設(shè)計(jì)等方面，搜索到修路時(shí)對(duì)路面所在斜坡坡度（或坡比）最大值的政策規(guī)定（如不同車(chē)速的公路，車(chē)速由高到低其道路的最大坡度從3%到10%，積雪寒冷地區(qū)的最大坡度推薦值不大于6%）。

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生挖掘此問(wèn)題的本質(zhì)原因：為什么修成盤(pán)山路后路面的坡度就能變?。吭趯?shí)際施工中，如何根據(jù)坡度的限定值，規(guī)劃路線呢？（初步“具體化了的問(wèn)題”）。教師適時(shí)、恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，設(shè)法把這個(gè)問(wèn)題理想化、數(shù)學(xué)化、模型化。路要修在山坡上，山坡很陡峭。從數(shù)學(xué)的角度，這里涉及到數(shù)學(xué)中的什么角呢？——二面角——水平面與山坡的坡面所成的二面角。若咱們?cè)侔焉铰方厝∫粋€(gè)片段，山路在我們的眼中就不是彎的，而是直的了。自然地，學(xué)生會(huì)想到，把山路的坡角看成直線與水平面所成的線面角。至此，這個(gè)“具體化了的問(wèn)題”通過(guò)理想化，與學(xué)生熟悉的立體幾何中的二面角、線面角建立了聯(lián)系。這時(shí)，剛才的“問(wèn)題”可以進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，成為一道“具體的數(shù)學(xué)題”——已知二面角的大小，在其中一個(gè)半平面內(nèi)確定一條與二面角的棱相交的直線，使得該直線與另一個(gè)半平面所成的角為給定的值。

至此，實(shí)現(xiàn)了把“實(shí)際問(wèn)題”數(shù)學(xué)化，這一過(guò)程中有分析判斷，有數(shù)學(xué)抽象。

接下來(lái)，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，應(yīng)該是輕車(chē)熟路了。在立體幾何中，我們有研究解決這種二面角與線面角的幾何模型。如圖，在二面角M-l-N中，用半平面M代表山坡的一段坡面，用半平面N代表水平面，AB代表山路的一個(gè)片段。在圖中作BC⊥平面N于點(diǎn)C，作CO⊥l于點(diǎn)O，連結(jié)BO，則BO⊥l. 從而∠BOC是二面角M-l-N的平面角，∠BOC的大小就表示該段山坡的陡峭程度.而∠BAC是直線AB與平面N所成的線面角，其大小就表示這段山路的坡角大小。

顯然∠BAC<∠BOC（∵BA>BO），這就是為什么要修盤(pán)山路的數(shù)學(xué)解釋。

事實(shí)上，這里用到了立體幾何中一個(gè)很重要的模型：四個(gè)面都是直角三角形的四面體（三棱錐）。這個(gè)模型可以幫助解釋“直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是該直線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的”（∵cos∠BAO=cos∠BAC·cos∠OAC，這就是特殊三面角公式，它給出了線面角定義的合理性和科學(xué)性：為什么把一條直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角定義為該直線與該平面所成的角——該角的最小性、唯一性）。這一過(guò)程中有模型，有推理，也有計(jì)算。

教師亦可在這兒提一下一般三面角公式，提醒有興趣的同學(xué)下去研究或查閱有關(guān)資料，了解其具體表達(dá)式及含義。

上面的模型（圖中的四面體BAOC）也是研究正棱錐的“標(biāo)本”，它包含了正棱錐幾乎所有的基本量及其關(guān)系。視點(diǎn)B為正棱錐的頂點(diǎn)，則點(diǎn)C為正棱錐底面正多邊形的中心，從而B(niǎo)A為正棱錐的側(cè)棱，BO為正棱錐的斜高，AO為正棱錐底面正多邊形一條邊長(zhǎng)的一半。

通過(guò)這樣的“問(wèn)題解決”，學(xué)生不僅能深刻理解線面角與二面角的概念及其計(jì)算，還能應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，研究解釋生活中現(xiàn)象。在此過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值也有了更深入地認(rèn)識(shí)，同時(shí)也較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算等）。自然地，這也是訓(xùn)練、發(fā)展學(xué)生分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造這些高階思維的一個(gè)很好的素材。

參考文獻(xiàn)

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