經(jīng)歷建模過程，彰顯數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)

李丹

【摘 要】 建立模型的過程，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在實(shí)踐中，要以學(xué)生為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)主動(dòng)建模的意識(shí);從“具體”到“抽象”，從“動(dòng)腦”到“動(dòng)手”中，關(guān)注思維的過程，使學(xué)生形成自主建模的能力;在實(shí)踐中開辟平臺(tái)運(yùn)用模型解決數(shù)學(xué)問題，形成用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，體驗(yàn)有效建模的魅力。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)建模? 問題情境? 數(shù)學(xué)思維

2011年版課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過程，這個(gè)過程有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)問題、解決和分析問題的能力。而數(shù)學(xué)本身就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到建模的過程中，才能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)主動(dòng)建模的意識(shí)

一般來(lái)說，在創(chuàng)設(shè)情境過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解題意，知道講的是什么事件;對(duì)數(shù)學(xué)中的信息進(jìn)行提取、檢索有用的信息;將問題中的生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再提煉出數(shù)學(xué)問題。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注重讓學(xué)生具體的生活情境中，將具體的問題抽象成數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在“具體問題——抽象數(shù)學(xué)模型——解釋并說明模型”這一系列的生活情境中，展開思維，建立初步的模型意識(shí)。

1. 問題情境的創(chuàng)設(shè)，基于以生為本的建模

美國(guó)教育者喬納森指出，情境是利用一個(gè)熟悉的參照物，幫助學(xué)習(xí)者將一個(gè)要探究的概念與熟悉的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)他們利用這些經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋、說明、形成自己的科學(xué)知識(shí)。這樣才能誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)的問題情境，使學(xué)生在熟悉又有現(xiàn)實(shí)意義的情境下，發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、形成模型。

2. 問題情境的創(chuàng)設(shè)，基于學(xué)生自主的建構(gòu)

奧蘇伯爾強(qiáng)調(diào)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，使之在學(xué)習(xí)者已有的舊知和需要學(xué)習(xí)新知之間架起一道橋梁。創(chuàng)設(shè)的情境要有利于學(xué)生充分利用舊知與新知之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我遷移，自我建構(gòu)模型。

二、關(guān)注思維過程，形成自主建模的能力

數(shù)學(xué)模型的建立離不開數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》從數(shù)學(xué)課的實(shí)際情況出發(fā)，將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程為三個(gè)環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”。這表明發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。然后是學(xué)生通過觀察、抽象、概括、選擇等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型?！坝脭?shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”;最后環(huán)節(jié)是通過模型去“求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”。

1. 從“具體”到“抽象”，及時(shí)類化，形成建模

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)中遇到困難，有時(shí)因?yàn)閷W(xué)生對(duì)文字描述理解上有偏差，難以理解或把握不住要點(diǎn)，無(wú)法形成準(zhǔn)確鮮明的表象。這時(shí)，可以借助形象的力量，把文字描述的、所要揭示的或所要表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)用圖示、圖形、圖表等方式表達(dá)出來(lái)，給抽象的數(shù)學(xué)形象化。

如，《倍的認(rèn)識(shí)》教學(xué)片段：給出三個(gè)圖片，讓學(xué)生說說蘋果的個(gè)數(shù)是橘子的幾倍。

第一組：橘子有3個(gè)，蘋果有9個(gè)。

第二組：橘子有3個(gè)，蘋果有12個(gè)。

第三組：橘子有3個(gè)，蘋果有24個(gè)。

第一、二組題目學(xué)生能通過圈一圈直觀得出幾倍。而第三組題目課件在出示蘋果的個(gè)數(shù)不方便圈一圈、分一分。你還能知道蘋果的個(gè)數(shù)是橘子的幾倍嗎？

你是怎樣知道的呢？引導(dǎo)學(xué)生說出算式：24÷3=8。

學(xué)生說思考方法：24里面有（________）個(gè)3。

算式中的每個(gè)數(shù)分別表示什么意思？

第一、二組，學(xué)生可以通過圈一圈，直接求“倍”。而第三組，在“變式結(jié)構(gòu)”模型中，隱藏了實(shí)物只出現(xiàn)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注的對(duì)象從實(shí)物的比較過渡到數(shù)之間的比較，使學(xué)生真正做到從物體中抽象出數(shù)學(xué)的量。由于第一組和第二組的正遷移，學(xué)生會(huì)很自然的過渡到“數(shù)”。用蘋果個(gè)數(shù)不全的圖“逼迫”學(xué)生想到用除法計(jì)算，對(duì)倍的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。從而求出蘋果的個(gè)數(shù)是橘子的幾倍。這樣，逐步抽象，由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)，講倍的意義和算法捆綁的更加密切，學(xué)生比較容易的理解了“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”可以通過列算式計(jì)算，從而建立“倍”的直觀模型，理解倍的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了讓學(xué)生經(jīng)歷概括知識(shí)過程的重要性。學(xué)生對(duì)概念的理解是讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，通過對(duì)學(xué)習(xí)材料的認(rèn)識(shí)加工，從而抽象出他們的共同特征。形成“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”等數(shù)學(xué)模型。所以概念建模的教學(xué)不應(yīng)把精力集中在對(duì)個(gè)別詞語(yǔ)的理解，并試圖強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷建模的過程和培養(yǎng)概括的能力。

2. 從“動(dòng)腦”到“動(dòng)手”，關(guān)注體檢，感受建模

“智慧出自手指尖上?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，很多幾何概念的建?？梢酝ㄟ^各種測(cè)量工具和直觀材料進(jìn)行操作。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在操作活動(dòng)過程中學(xué)習(xí)建立模型，尋求數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性和學(xué)生思維形象性之間找到平衡點(diǎn)。在教學(xué)過程中，教師要精心設(shè)計(jì)和組織操作活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中建立模型。

三、處理數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)有效建模的魅力

鼓勵(lì)學(xué)生用自己發(fā)現(xiàn)、歸納、概括出的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析解決問題，拓展學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的思維，讓學(xué)生從多角度思考解決問題，在解決問題的過程中形成解決問題的策略，簡(jiǎn)潔的解決問題。

例如，一年級(jí)上冊(cè)的解決問題，為了靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，有如下看圖解決問題的題型。

求總量看圖解決問題。

① 汽車上已經(jīng)坐了5人，還有3個(gè)人沒有上車，一共有多少人乘車？

② 第一次上車有5人，第二次上車有3人，一共有多少人上車？

③ 已經(jīng)有3人下車，還有5人沒下車，原來(lái)車上一共有多少人？

在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，學(xué)生感受到了模型建立的基礎(chǔ)和引用的必要性，感受到模型運(yùn)用的價(jià)值，從而形成用數(shù)學(xué)模型解決問題的意識(shí)和能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)的建模，不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)結(jié)論，而是讓學(xué)生有效經(jīng)歷自主建模的過程，從而養(yǎng)成用“模型”處理數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，真正感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。