一元二次方程應(yīng)用題的教法探究

摘?要：一元二次方程在初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中扮演著很重要的角色，是中考的必考點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，教師在傳授一元二次方程重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上以典型案例為學(xué)習(xí)的核心，教會學(xué)生學(xué)會做有關(guān)的應(yīng)用題，在不斷地練習(xí)中總結(jié)出自己做題的一套思路和策略，以此來提高自己的數(shù)學(xué)水平以及實(shí)際應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：一元二次方程;策略;應(yīng)用題

一、 背景

“一元二次方程”的內(nèi)容按照國家要求的教學(xué)大綱是被安排在人教版九年級上冊第二章，接觸過本章內(nèi)容后，各位老師的感受是雖然知識點(diǎn)看起來不難相對來說還算簡單，與之前學(xué)習(xí)的一元一次方程有一定的聯(lián)系，思維縝密，講解知識點(diǎn)的時候?qū)W生多數(shù)是可以理解的，但是當(dāng)把該知識點(diǎn)帶入應(yīng)用題中的時候，大部分學(xué)生表示很難，就像沒有學(xué)習(xí)過一樣。其實(shí)不僅僅是學(xué)生對于一元二次方程的內(nèi)涵思想缺乏理解，很多老師的教學(xué)方法大多存在一定的問題，對知識內(nèi)容的模糊認(rèn)識;針對此類問題，本文針對開展“一元二次方程”深度教學(xué)研究的科研活動，目的在于幫助教師更加科學(xué)地分析該教學(xué)的知識，有效地提高對學(xué)生的教學(xué)，眾所周知有效的教學(xué)不僅對老師學(xué)生產(chǎn)生積極的影響，對于家長學(xué)校也是一種很好的倡導(dǎo)方式。

二、 教法研究

（一）概念及內(nèi)容

1. 概念

方程中只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程式。必須同時滿足這兩個條件的方程式才是一元二次方程。

2. 內(nèi)容

（1）特點(diǎn)：①有且只有一個未知數(shù);②該未知數(shù)最高次為2;③整式方程。

課堂上教師給出幾個方程形式，讓同學(xué)們判斷是否為一元二次方程，就根據(jù)上面的條件進(jìn)行判斷。

（2）一般形式：ax2+bx+c=0

其中a，b，c均為常數(shù)，且a不可以等于0。

（3）一般解法：分為四種，分別為直接開方法、配方法、公式法、分解因式法。

（4）判斷一元二次方程根的方法

根據(jù)判斷式b2-4ac來判斷，當(dāng)b2-4ac>0時，說明該方程有兩個不相同的實(shí)根，當(dāng)b2-4ac=0時方程的兩個實(shí)根相等，這種情況下一般舍去其中一個，也就是說只有一個實(shí)數(shù)根。b2-4ac<0不存在實(shí)數(shù)根。

公元628年在印度的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為一個求根公式。在阿拉伯阿爾，花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，二元一次方程是在一元一次方程的前提下，為了很好地解決一些實(shí)際問題所提出來的方程式，是模擬一個現(xiàn)實(shí)世界有效解決問題的數(shù)學(xué)模型，一般情況下，為了實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中所不能滿足的現(xiàn)象，科學(xué)家或者研究者們會采取一定的必要措施與現(xiàn)實(shí)相連接，其核心本質(zhì)是符合要求的：包括方程基本思想、類比之前的定理思想、觀察模型與比較方法;理性的開發(fā)教師以及學(xué)生的能力，合理豐富學(xué)生形式的轉(zhuǎn)變來適應(yīng)學(xué)習(xí)的條件，通過反思、比較、監(jiān)督等手段在督查學(xué)生，積極地影響學(xué)生，使得同學(xué)們正確認(rèn)識到本章知識在現(xiàn)實(shí)生活中所占據(jù)的重要地位，從而提高學(xué)習(xí)興趣。

難點(diǎn)：對于一元二次方程的內(nèi)涵與表達(dá)，特別是當(dāng)遇到題目比較長，題目形式比較少見的時候，心理活動就會很慌張，不知道從何下手，完全忘記模型的建立。

教師在上該節(jié)課之前就應(yīng)該給學(xué)生們普及一下相關(guān)信息，一方面可以提高學(xué)生對于現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用，另外一方面也可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

（二）教學(xué)問題分析

認(rèn)知理論：關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)部加工的系列過程。比如說獲取信息資源等達(dá)到一定目的的心理學(xué)理論。該理論的核心代表人物為瑞士的皮亞杰，美國的布魯納和奧蘇泊爾。雖然彼此間還是存在著一定的差異，但是當(dāng)我們?nèi)∷渲嘘P(guān)于學(xué)習(xí)的這一部分的時候還是有很多的共同之處，一是有機(jī)體學(xué)習(xí)的是知覺和認(rèn)知的學(xué)習(xí)的形成和變化，變化是唯一不會改變的東西;二是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是有機(jī)體內(nèi)部存在的一定的有組織有邏輯的結(jié)構(gòu)，其中主要影響學(xué)習(xí)的因素是刺激情緒，改變學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)當(dāng)前的任務(wù)的標(biāo)準(zhǔn)、突然間得來的靈感或者理解，然后是有意義的取得發(fā)現(xiàn)并且接受這個現(xiàn)實(shí)，學(xué)習(xí)并不見得簡單，包括認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，注意力，心向，所有由此可以看出認(rèn)知理論對于解釋較高級的學(xué)習(xí)的狀態(tài)相對比較合適。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：學(xué)生按照自己對腦袋里面所擁有的數(shù)學(xué)知識深度的理解，結(jié)合自己的知覺、聯(lián)想、理解、特點(diǎn)等因素組成的一個自身內(nèi)部的一個整體結(jié)構(gòu)。現(xiàn)代研究科技人員告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的這個過程就是本身對于數(shù)學(xué)認(rèn)知的認(rèn)識過程，在這個過程中學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，將課本知識轉(zhuǎn)變?yōu)樽约捍竽X里面的知識，并保持大腦像一個容器一樣，當(dāng)學(xué)生需要該知識的時候就從大腦里面取出來加以利用。由于個體之間本就存在著差異，所以每個學(xué)生對于知識的理解與掌握程度也會有所差異，表現(xiàn)在個體對于出現(xiàn)的問題的處理方式的不同，最直接的表示就是成績的顯示。比如大部分學(xué)生在聽教師上課的內(nèi)容的時候他們是聽得懂的，但是當(dāng)教師給同學(xué)們一個與剛才提醒相似，參數(shù)卻不同的時候有些學(xué)生很輕松就可以模仿教師解出答案，但是一部分“數(shù)學(xué)化”能力不強(qiáng)的學(xué)生卻需要一定的轉(zhuǎn)化，模式的切換，即需要翻看相類似題型然后多看多分析才能勉勉強(qiáng)強(qiáng)做出答案一樣。對于這部分學(xué)生，他們“抽象”思維比較弱，教師需要結(jié)合一元二次方程與上次課學(xué)習(xí)的一元一次方程對該部分學(xué)習(xí)踐行講解，并分類是說明，先求什么，再求什么，對其慢慢地引導(dǎo)，一步一步解出答案。

疑難點(diǎn)：找準(zhǔn)未知數(shù)、根據(jù)題意列舉方程、方程的應(yīng)用。

問題分析：對于應(yīng)用題型，分析至關(guān)重要。近年來，考查一元二次方程的題型基本上可以歸納為幾個大類，即解決增長率問題、銷售等問題、求取面積等問題、數(shù)字采取問題、握手問題以及傳染問題。首先，當(dāng)我們拿到題目的時候，看一下可以歸納到哪一類問題上，如果是屬于上面列舉的這幾類，那下一步就是先把需要用到的公式寫在題目的旁邊，接下來就是尋找未知量，一般情況下我們都是設(shè)未知量為x，接下來就逐個尋找公式里面的參數(shù)，這里需要提醒的是有些信息是被隱藏在題意里面的，同學(xué)們在做題的時候要細(xì)心尋找，找完參數(shù)以后基本上就解決了，接下來就是解方程。如果遇上的題目不屬于上面所說的幾大類，那也不要慌張，步驟與你的老師教會你的方法是一樣的，你可以先不靠其他的幫助分析分析然后嘗試著自己求取一下結(jié)果。

三、 教法指導(dǎo)方法

（一）方法

本文根據(jù)一元二次方程知識點(diǎn)，重難點(diǎn)提供了三種合適的教學(xué)方法，針對不同難度層次的題型采取不同的解決方案。

1. 聯(lián)系概念→提取一元二次方程特點(diǎn)→模擬概念→模擬特點(diǎn)→組織與應(yīng)用

這種方法比較直接、簡單，但是也算符合認(rèn)知理論的要求的，考慮到學(xué)生們才剛開始接觸一元二次方程這種相對于比較抽象的純數(shù)學(xué)化知識，教師應(yīng)該具體問題具體分析，第一是學(xué)習(xí)概念，然后保證學(xué)生掌握了一元二次方程的特點(diǎn)以后給出常見的題型，然后將這個題模擬成為學(xué)習(xí)一元二次方程的形式，使得題型與概念合二為一然后找到題目下模擬出來的方程的具體特點(diǎn)，這樣將題目轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠痰男问诫m然可能不適合全部學(xué)生，但是對于部分學(xué)生還是有幫助的。只是不適合學(xué)生接受多數(shù)題型的特點(diǎn)，這種方法只適合少數(shù)不太常見的問題。

2. 構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問題→建立模型→轉(zhuǎn)變一元二次方程的一般形式→解題

這種方法比較偏向于概括性，在學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念以及相關(guān)內(nèi)容以后，教師總結(jié);然后直接給出實(shí)際的例子給學(xué)生慢慢摸索，留給學(xué)生一定的時間，時間結(jié)束后，教師帶著學(xué)生分析他們之前建立的模型，并根據(jù)模型學(xué)生可以很快地發(fā)現(xiàn)自己的錯誤的地方，在教師的講解下，學(xué)生可以很快地改正錯誤，那么接下來就是不斷地練習(xí);這個方法就比較適宜，因?yàn)閿?shù)學(xué)最關(guān)鍵就在于多練習(xí)，熟能生巧，考試的時候自然就可以做到下筆如有神一樣。這種方法適合用于大多數(shù)的題，有利于學(xué)習(xí)與長期使用。

3. 經(jīng)典題型→建立模型→應(yīng)用→思考模型中的概念→還原一元二次方程一般形式→總結(jié)

這種方法一開始的時候與第二種方法相似，不同的是不用做那么多的題，只是需要靠學(xué)生自己總結(jié)。當(dāng)教師給定一個比較經(jīng)典的例子給學(xué)生練習(xí)時，學(xué)生需要根據(jù)一元二次方程的內(nèi)容解答出題目的答案，然后專注于該題目，總結(jié)出題目與知識點(diǎn)的聯(lián)系，然后將自己解答出來的答案對應(yīng)題目提取出一元二次方程得一般表達(dá)式，因?yàn)樵诮鉀Q這一類得應(yīng)用題的時候都是根據(jù)方程得一般表達(dá)式來解答的，教師很好地利用了驅(qū)動關(guān)系將問題與所需要學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)聯(lián)系在一起，這個過程中即可以學(xué)習(xí)也在復(fù)習(xí)，關(guān)鍵在于還可以應(yīng)用，真正地做到融會貫通，舉一反三，通過一個例子就可以把整章的知識都學(xué)了一遍。所以，在很多學(xué)校，這種方法是教師一直以來非常常用的教學(xué)方法，這樣可以間接地提高學(xué)生自主獨(dú)立思考的能力。

（二）案例結(jié)合分析

本文通過結(jié)合上面（一）中提到的幾大類型題目來教學(xué)。

第一類增長率問題，根據(jù)增長率公式建立數(shù)學(xué)模型，再具體分析模型，找到有關(guān)的參數(shù)帶入公式求取答案。第二類銷售等問題，銷售問題涉及時間問題，這種類型在題目中有些參數(shù)是隱藏的，所以需要注意，一般設(shè)未知數(shù)與找對應(yīng)數(shù)字之間的關(guān)系即可。第三類求取面積問題根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，采取構(gòu)建三角形，再利用三角形的基本特征進(jìn)行求解。最后的數(shù)字采取問題握手問題以及傳染問題同樣采取建立模型的方式，提取一元二次方程的一般形式來求解。

四、 反思與總結(jié)

如果說一元二次方程在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，那么教師高效地傳授知識給學(xué)生是讓學(xué)生繼承一元二次方程的必要途徑，所以教師教學(xué)扮演著不可替代的作用，明確有效的準(zhǔn)備策略，提高學(xué)生對于一元二次方程的掌握程度是教師的重要功課，學(xué)習(xí)的過程中，不管是什么樣的知識點(diǎn)，都會有不會的學(xué)生，當(dāng)然，學(xué)生本身也有責(zé)任跟義務(wù)學(xué)習(xí)好教師教的內(nèi)容，一份優(yōu)秀完美的學(xué)習(xí)計(jì)劃往往比得上上了多年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，所以，對于教師來說，課后做好充分的教學(xué)準(zhǔn)備同樣很重要。

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作者簡介：

仲國梁，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅省臨夏州和政縣第五中學(xué)。