構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)求解中的應(yīng)用探尋

林麗珍

摘要：在對高中生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，其導(dǎo)數(shù)教學(xué)就占有較大比例，同時導(dǎo)數(shù)問題也是歷年高考的必考題。因此，如何對學(xué)生進(jìn)行有效導(dǎo)數(shù)教學(xué)，提升學(xué)生的導(dǎo)數(shù)求解能力已成為所有高中數(shù)學(xué)教師重點研究的教學(xué)問題?；诖耍疚膶?gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)求解中的應(yīng)用進(jìn)行探尋，希望可以為提升學(xué)生的導(dǎo)數(shù)求解能力提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)法;高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)求解

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2020）04-0-01

想要提升學(xué)生的導(dǎo)數(shù)求解能力，就需要學(xué)生熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及各種運算法則，因此就需要高中數(shù)學(xué)教師能夠在對學(xué)生進(jìn)行導(dǎo)數(shù)教學(xué)時融入構(gòu)造函數(shù)法，不但能夠增強(qiáng)學(xué)生的記憶，以及了解公式的重要性，同時還能夠幫助學(xué)生找到正確求解導(dǎo)數(shù)問題的方法，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

一、構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)選擇題以及填空題求解中的應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)公式構(gòu)造函數(shù)

高中生在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會遇到這樣一道題：f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數(shù)，g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為偶函數(shù)，如果x<0，那么就存在f（x）g（x）+f（x）g（x）>0;同時已知g（-3）=0，最后讓學(xué)生求f（x）g（x）<0的解集。當(dāng)高中數(shù)學(xué)教師在這道題進(jìn)行講解使，可以引導(dǎo)學(xué)生從f（x）g（x）+f（x）g（x）>0以及推導(dǎo)出的f（x）g（x）<0入手，通過對導(dǎo)數(shù)乘法公式進(jìn)行聯(lián)想構(gòu)造出函數(shù)h（x）=f（x）g（x），最后結(jié)合函數(shù)的奇偶性就可以求出最后的結(jié)果為{x|x<-3或0

如果將上面的題進(jìn)行變式，變?yōu)椋篺（x）是R的一個可導(dǎo)函數(shù)，如果x≠0，那么就會有f（x）+>0，最后求g（x）=f（x）+1/x有多少個零點。當(dāng)高中數(shù)學(xué)教師在對這道變式題進(jìn)行講解使，依然可以引導(dǎo)學(xué)生采用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解，首先由題意可以推導(dǎo)出f（x）+=，通過對這個式子進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造函數(shù)為h（x）=xf（x），那么就可以得到h（x）在（-∞，0）上時應(yīng)該為減函數(shù)，h（x）在（0，+∞）上時應(yīng)該為增函數(shù)，那么就可以輕松得到其在x=0時是唯一極小值，即g（x）的零點就是h（x）的解，也就是說h（x）=xf（x）=-1，所以最后可得g（x）=f（x）+1/x有2個零點[1]。

2.利用所求直接構(gòu)造函數(shù)

在求解導(dǎo)數(shù)選擇題或者填空題時，除了利用導(dǎo)數(shù)公式構(gòu)造函數(shù)以外，還可以直接用所求構(gòu)造函數(shù)。例如有這樣一道函數(shù)問題：函數(shù)f（x）在的定義域是R，并且這個函數(shù)在定義域上滿足條件f（1）=3，已知f（x）的導(dǎo)數(shù)為f（x）<2x+1，最后求不等式f（2x）<4x2+2x+1的解集是什么。

由于數(shù)學(xué)教師已經(jīng)教會了學(xué)生在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解時可以利用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解，學(xué)生在進(jìn)行這道題求解時就會直接將f（2x）-（4x2+2x+1）設(shè)為h（x），進(jìn)而求出導(dǎo)數(shù)h（x）的公式為2[f（2x）-（2×2x+1）]，最后由已知f（x）<2x+1可以得到h（x）<0，h（1/2）=0，最終求解的結(jié)果為{x|x>1/2}。但是，這種方式并不是最簡單的求解方式，因此數(shù)學(xué)教師在對這道題進(jìn)行講解時應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行正確引導(dǎo)，通過對導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)行詳細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，已知題干中提到的f（1）=3和f（x）<2x+1更具有代表性，可以據(jù)此構(gòu)成一個特殊函數(shù)：h（x）=x2+2，然后將這個函數(shù)帶入到所要求解的不等式中。這時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這種方式比自己求解時所用的方式更簡單。也就是說，數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解教學(xué)時，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行仔細(xì)觀察，并且能夠掌握小題小做的解題方式[2]。

二、構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)解答題求解中的應(yīng)用

上面講解了構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)擇題以及填空題求解中的應(yīng)用，下面探尋關(guān)于該種方式在導(dǎo)數(shù)解答題求解中的應(yīng)用。解答題不同于選擇題和填空題，在對其進(jìn)行求解的過程中需要根據(jù)解答題的需求進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，因此在實際教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對導(dǎo)數(shù)解答題進(jìn)行觀察和分析，進(jìn)而為接下來進(jìn)行求導(dǎo)做好鋪墊;同時數(shù)學(xué)教師也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、聯(lián)想和歸納，比如關(guān)于x以及l(fā)nx運算就是常用的構(gòu)造函數(shù)法，也就需要學(xué)生能夠在求解過程中不斷掌握技巧和重點。

例如，學(xué)生在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)解答題求解時，會遇到這樣一道題：假如L是曲線C：y=在點（1，0）處的切線，最后需要學(xué)生求出L的方程以及對曲線C除（1，0）外在直線L下方進(jìn)行證明。在解題的時候，學(xué)生可以根據(jù)題意輕松求得L的方程，即y=x-1。但是在進(jìn)行證明時卻出現(xiàn)了分歧，有的學(xué)生選擇直接構(gòu)造函數(shù)，即令h（x）=x-1-f（x），依據(jù)題意可以得到h（x）>0，而且h（x）滿足h（1）=0，據(jù)此可以求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，也就能夠求出h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到h（x）>h（1）=0（x>0，x≠1），從而得到證明;有的學(xué)生是在等價變形之后進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，也就是將h（x）>0變形成x2-x-lnx>0，并記成t（x）=x2-x-lnx，也就可以求出t（x）的導(dǎo)函數(shù)為2x-1-1/x，進(jìn)而求出當(dāng)01的時候，t（x）>0，所以t（x）在區(qū)間（1，+∞）上應(yīng)該是單調(diào)遞增函數(shù)，也就是t（x）>t（1）=0[3]。

面對這種情況數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行正確指導(dǎo)，使學(xué)生明白兩種求解方式的差異，進(jìn)而幫助學(xué)生養(yǎng)成在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解時“處處化簡”的思維習(xí)慣，進(jìn)而有效提升學(xué)生的做題效率。

結(jié)語

利用構(gòu)造函數(shù)法對學(xué)生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)，不但能夠幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)問題不同層次的含義，同時還能夠激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想能力、引申能力以及活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生找到正確的解決數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的幫助，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生逐步提升自身解決問題的能力，推動學(xué)生更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

[1]孫云濤.解析構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019

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[2]鄧啟龍.構(gòu)造函數(shù)法在與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（07）：8-10.

[3]何婷.構(gòu)造函數(shù)求解高中數(shù)學(xué)問題[J].科學(xué)咨詢（科技·管理），2018

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