探討高中數(shù)學圓錐曲線解題中構(gòu)造法的應(yīng)用

林春花

[摘 要]高中數(shù)學圓錐曲線試題計算繁瑣，難度較大，是各類測試中失分較為嚴重的題型。部分圓錐曲線試題技巧性較強，需要學生掌握靈活的解題方法。其中，構(gòu)造法是一種常用的解題方法，在圓錐曲線解題中的應(yīng)用往往獲得意想不到的效果。因此，在教學中，應(yīng)做好構(gòu)造法相關(guān)知識講解，并結(jié)合自身經(jīng)驗，優(yōu)選經(jīng)典例題，為學生詳細講解每種構(gòu)造法的具體應(yīng)用，使學生熟練掌握不同構(gòu)造法，明確構(gòu)造法的應(yīng)用技巧，不斷提高圓錐曲線解題水平與解題能力，在測試中獲得理想分值。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學;圓錐曲線;構(gòu)造法;應(yīng)用

應(yīng)用構(gòu)造法時需要學生深入理解題設(shè)條件，迅速調(diào)動頭腦中相關(guān)的數(shù)學知識，構(gòu)建參數(shù)間的關(guān)系，實現(xiàn)順利解題的目的。構(gòu)造法對學生的解題經(jīng)驗、分析、解答問題的能力要求較高，因此，要想熟練掌握并非易事。教學中，應(yīng)充分了解學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識，將構(gòu)造法知識滲透至教學中，結(jié)合圓錐曲線試題講解各種構(gòu)造法的應(yīng)用，使學生了解構(gòu)造法的具體應(yīng)用過程，以拓展其解題思路，啟發(fā)其更好地解答圓錐曲線試題。

一、構(gòu)造圖形在解題中的應(yīng)用

所謂構(gòu)造圖形指結(jié)合題干描述，通過靈活運用所學繪制相關(guān)的數(shù)學圖形，將一些參數(shù)或隱含的參數(shù)關(guān)系直觀地加以展現(xiàn)，以找到解題突破口的解題方法。實踐表明，將構(gòu)造圖形應(yīng)用在圓錐曲線解題中，可簡化解題步驟，提高解題效率，因此，掌握這一構(gòu)造方法，對提高學生的解題能力具有良好的促進意義。為使學生掌握這一構(gòu)造法，教師在教學中，一方面要為學生講解圓錐曲線試題中常用的構(gòu)造方法，包括構(gòu)造圓形、直角三角形以及添加各種輔助線等。同時，引導(dǎo)學生推導(dǎo)構(gòu)造圖形時的相關(guān)結(jié)論，在解答圓錐曲線的選擇題或填空題時直接應(yīng)用，提高解題效率。另一方面，除講解構(gòu)造圖形理論知識外，還應(yīng)注重優(yōu)選經(jīng)典例題，講解構(gòu)造圖形的具體應(yīng)用，使學生感受構(gòu)造圖形給解題帶來的便利，掌握構(gòu)造圖形的方法，為其靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

分析：該題目以橢圓為背景出題，考查的知識點較多，包括橢圓的定義、離心率以及點與點的對稱等知識。解答該題目時如不構(gòu)造圖形，不少學生感覺一頭霧水，無從下手。事實上，根據(jù)題意通過構(gòu)造對應(yīng)的圖形，根據(jù)學生所學的橢圓知識以及題干給出的等式關(guān)系，并不難求解。

二、構(gòu)造命題在解題中的應(yīng)用

構(gòu)造命題是指：在解答圓錐曲線試題時，題中沒有明確的依據(jù)，需要通過推導(dǎo)、總結(jié)相關(guān)命題，而后運用命題進行解題的一種構(gòu)造方法。采用構(gòu)造命題法解答圓錐曲線試題時，保證命題的正確性尤為關(guān)鍵，需要學生在日常學習注重推導(dǎo)與積累相關(guān)命題。為使學生能夠靈活運用該種方法解答圓錐曲線試題，教師在教學中，一方面要結(jié)合圓錐曲線教學內(nèi)容，與學生一起推導(dǎo)相關(guān)的命題，使學生掌握研究圓錐曲線的方法，鼓勵學生多進行思考，課下嘗試著進行推導(dǎo)，積累更多正確、有用的結(jié)論。另一方面，為了提高學生運用構(gòu)造命題解答圓錐曲線試題的能力，教師要圍繞具體例題進行講解，使學生體會構(gòu)造命題法的應(yīng)用，提高學生運用構(gòu)造命題解題的意識，使學生逐漸養(yǎng)成運用構(gòu)造命題解答圓錐曲線試題的習慣。

三、構(gòu)造方程在解題中的應(yīng)用

構(gòu)造方程指通過認真讀題，找到題干中已知參數(shù)與未知參數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造對應(yīng)方程已達到解題目的的構(gòu)造方法。學生對方程并不陌生，但在圓錐曲線試題中，構(gòu)造合理的方法難度較大，需要學生認真學習相關(guān)技巧，并加強訓(xùn)練，逐漸積累構(gòu)造方程的方法與技巧。為提高學生構(gòu)造方法解答圓錐曲線試題的能力，教學中一方面，由于圓錐曲線中構(gòu)造方程一般需要進行較為繁瑣的計算，因此，為提高學生計算的正確性，應(yīng)注重多對學生進行訓(xùn)練。如計算直線與橢圓、雙曲線、拋物線聯(lián)立后的方程，要求學生認真觀察，掌握相關(guān)的規(guī)律，做到高效、正確計算。另一方面，優(yōu)選、精講代表性較強的題型，為學生進行深入分析，認真板書構(gòu)造方程的具體過程，鼓勵學生多進行反思，總結(jié)構(gòu)造方程時應(yīng)注意的問題，如明確定義域范圍。

四、構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用

學生對函數(shù)并不陌生，尤其在高中階段進行了較為系統(tǒng)的學習。在解答圓錐曲線試題時，注重構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，尤其借助函數(shù)的性質(zhì)研究參數(shù)的最大值、最小值，是最為常用的方法。因此，使學生掌握這一重要的構(gòu)造方法尤為重要。教學中，一方面，教師要為學生深入講解圓錐曲線中常用的函數(shù)以及函數(shù)性質(zhì)，包括函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)最值的求解等，讓學生練好基本功，為在解題中順利構(gòu)造出所需函數(shù)做好鋪墊。另一方面，構(gòu)造函數(shù)解答圓錐曲線具有一定技巧性，為使學生切實掌握這一方法，樹立解題的自信，教學中仍應(yīng)注重講解相關(guān)例題，與學生一起分析，并給學生做好指引，幫助學生尋找解題的突破口，使學生都能順利解題，獲得構(gòu)造函數(shù)解答圓錐曲線的成就感，更加積極、主動地投入到圓錐曲線知識學習中。

五、構(gòu)造不等關(guān)系在解題中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學的重要知識點，不僅較為抽象，而且涉及較多知識點，常作為解答大題的工具。眾所周知，圓錐曲線試題中，部分試題需要求解參數(shù)的取值范圍，運用不等式知識可獲得事半功倍的良好效果，因此，教學中應(yīng)注重構(gòu)造不等式在解圓錐曲線試題中的應(yīng)用。一方面，教師為學生系統(tǒng)、深入地講解圓錐曲線試題中常用的不等式關(guān)系，包括基本不等式以及相關(guān)的不等式結(jié)論，尤其應(yīng)用基本不等式知識時，要求學生認識參數(shù)范圍，保證等號成立的條件在取值范圍內(nèi)。另外，解題中無法使用基本不等式知識時，可考慮使用函數(shù)知識進行討論。另一方面，由于構(gòu)造不等式較為靈活，因此，教師在教學中做好所講例題的篩選，講解優(yōu)秀、經(jīng)典題目， 詳解介紹每一步的推導(dǎo)依據(jù)，啟發(fā)學生通過構(gòu)造不等式解答圓錐曲線題目時應(yīng)保證推導(dǎo)的合理性、嚴謹性。

分析：（1）中橢圓方程已經(jīng)給出，根據(jù)所學的知識不難求解出橢圓離心率，這里不再贅述。（2）因為題干中給出的A點的坐標比較特殊，而且B點在方程已知的橢圓C上，因此，可通過設(shè)出兩個點的坐標，根據(jù)OA⊥OB，找到兩點坐標之間的關(guān)系，而后根據(jù)直線長度的坐標計算方法進行化簡，構(gòu)造不等式關(guān)系，即可求解出其AB長度的最小值。

總之，構(gòu)造法是解答高中數(shù)學試題的常用方法，應(yīng)用于解題中可明顯提高解題效率。但其對學生各項能力要求較高，因此，要想使學生牢固掌握，靈活運用并不容易，尤其將構(gòu)造法應(yīng)用于解答圓錐曲線題目中，難度進一步增加。為使學生切實掌握這一解題方法，教學中教師要多下功夫，做好構(gòu)造法在解答圓錐曲線試題中的應(yīng)用研究。本文通過研究得出以下結(jié)論：

1.構(gòu)造法的應(yīng)用基于對高中數(shù)學基礎(chǔ)知識的牢固掌握，因此，教學中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識講解，嚴把學生理解關(guān)。同時，向?qū)W生講解構(gòu)造法相關(guān)知識，加深學生對構(gòu)造法的認識，以便更好地應(yīng)用于圓錐曲線解題中。

2.結(jié)合圓錐曲線解題教學經(jīng)驗，做好常用構(gòu)造法的總結(jié)，尤其針對每一種構(gòu)造法通過具體例題講解其具體應(yīng)用，使學生總結(jié)相關(guān)圓錐曲線特點，掌握不同構(gòu)造法的應(yīng)用規(guī)律，尤其通過鼓勵學生在課下加強訓(xùn)練，及時鞏固所學知識，牢固掌握，不斷提高圓錐曲線試題的解題水平與能力。

參考文獻：

[1]彭曉霞.高中數(shù)學圓錐曲線復(fù)習策略探究[J].數(shù)學學習與研究，2019，（10）.

[2]劉志勇.巧用圓錐曲線定義妙解高中數(shù)學競賽題[J].中學數(shù)學教學參考，2019，（13）.

[3]李勇，周會娟.從高考題看高中數(shù)學圓錐曲線解題技巧[J].數(shù)學學習與研究，2019，（04）.

[4]陸有榮.高中數(shù)學圓錐曲線教學現(xiàn)狀及其研究分析[J].中國校外教育，2018，（30） 5.

（責任編輯 陳始雨）