關(guān)于型函數(shù)方程的求解研究

周德春

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

而g(g(x))=x恒成立，

所以(c2+ad)x+cd+bd

=(ac+ab)x2+(ad+b2)x恒成立，

又由于(☆)式左端的分母不為0，

由于ac+ab=cd+bd?ac+ab-cd-bd=0

?(b+c)(a-d)=0.

于是當(dāng)b=-c時,顯然②成立，

當(dāng)b≠-c時，為了滿足②，則a=d=0，

綜上所述有，b+c=0且ad-bc≠0．

而g(g(g(x)))=x恒成立，

=x(※)恒成立，

所以(c3+2acd+abd)x+c2d+ad2+bcd+b2d

=(ac2+abc+a2d+ab2)x2+(acd+2abd+b3)x恒成立，

又由于(※)式左端的分母不能為0，所以有

由于②ac2+abc+a2d+ab2

=c2d+ad2+bcd+b2d=0

于是當(dāng)a=0時，由①得b=c≠0，再根據(jù)②得d=0，所以g(x)=x(舍去).

當(dāng)d=0時，由①得b=c≠0，再根據(jù)②得a=0，所以g(x)=x(舍去).

當(dāng)b2+c2+bc+ad=0時，顯然②是成立的；

而為了考察此時④是否成立，則考察

此式已經(jīng)成立，所以④成立.

綜上所述b2+c2+bc+ad=0且ad-bc≠0．

g(g(g(g(x))))=x，

那么b2+c2+2ad=0且ad-bc≠0.

證明令g(g(x))=k(x)，

則由g(g(g(g(x))))=x可得k(k(x))=x.

因為g(g(x))=x除外，所以k(x)=x除外.

這樣根據(jù)定理1知道，

于是由g(g(x))=k(x)可得

(注：容易驗證此式中隱含著b+c≠0).

綜上所述，b2+c2+2ad=0且ad-bc≠0.

為了幫助大家更清楚地理解題3中的迭代規(guī)律，這里給出一個函數(shù)列：

(k∈N).

由此可知，{gn(x)}是一個周期為4的函數(shù)列，而且題3中的g(x)是此函數(shù)列中的第1個函數(shù)，所以迭代次數(shù)是3；同時根據(jù)這個周期函數(shù)列，還可以編制下列同類題目：

利用定理1或定理2的結(jié)論可證明該定理(證明過程略).

同前面一樣，為了幫助大家更清楚地理解題1、題2和題4中的迭代規(guī)律，這里也給出一個函數(shù)列：

由此可知，{gn(x)}是一個周期為6的函數(shù)列，而且題1、題2和題4中的g(x)分別是此函數(shù)列中的第3、第2和第1個函數(shù)，所以它們的迭代次數(shù)分別是1、2和5；同時根據(jù)這個周期函數(shù)列，還可以編制下列同類題目：