通過探究性學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生向量應(yīng)用意識①

朱勝強

(南京外國語學(xué)校 210008)

1 問題的提出

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一， 它既是代數(shù)研究的對象，也是幾何研究的對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁．自1996年進入高中數(shù)學(xué)課程以來，向量已成為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.為充分發(fā)揮向量的工具作用，2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》將平面向量與三角函數(shù)設(shè)計在一個模塊中.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》則將相應(yīng)內(nèi)容納入必修課程的主題三，名稱上調(diào)整為“平面向量及其應(yīng)用”，進一步強調(diào)了向量的工具作用.

然而，從多年教學(xué)實踐所反映的情況看，學(xué)生對向量工具作用的認識似乎未達預(yù)期.在學(xué)習(xí)了平面向量之后，學(xué)生并沒有具備良好的用向量工具解決問題的意識.在后續(xù)學(xué)習(xí)中，有許多可讓向量發(fā)揮作用的時機，如兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，解析幾何中直線與圓的方程的推導(dǎo)及多種解幾公式的推導(dǎo)，正、余弦定理的推導(dǎo)等等，課堂上每遇這些內(nèi)容的教學(xué)(包括一些公開教學(xué)活動)，任憑教師暗示、點撥，學(xué)生就是想不到向量，所學(xué)向量似乎僅限于在考試中取得相應(yīng)的分數(shù)，這當然不是向量教學(xué)的目的所在.提高學(xué)生對向量工具作用的認識，增強思考問題時自覺運用向量工具的意識，應(yīng)是向量教學(xué)中需要關(guān)注的問題.

回觀向量教學(xué)，以蘇教版教材為例，在介紹向量概念及其運算的同時，也滲透了向量的各種應(yīng)用.既有物理背景的，也有平面幾何、解析幾何背景的.最后，還專門有一小節(jié)介紹向量的應(yīng)用.但由于課時所限，如配套的教學(xué)參考書中，對平面向量一章的建議課時是12課時.學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的主要精力會集中在熟悉向量的各種運算上.等到對向量全貌有了基本認識后，卻又要開始新章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí).因此，學(xué)生的向量應(yīng)用意識的淡薄也就不足為怪了.

要鞏固向量教學(xué)的效果，讓學(xué)生感受到向量有用，自然可以在后續(xù)學(xué)習(xí)中有意識地搭建新知識與向量聯(lián)系的橋梁.不過，這樣做帶有較大的隨意性.除此之外，也可趁熱打鐵，在學(xué)生掌握了基本的向量知識之后，引導(dǎo)學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)活動，讓他們在原有基礎(chǔ)上及時獲得更深刻的體驗.

2 探究問題的設(shè)計

注意到向量兼具代數(shù)與幾何雙重屬性，平面幾何又是學(xué)生具備一定的基礎(chǔ)，且是許多學(xué)生比較感興趣的內(nèi)容.因此，在內(nèi)容的選擇上，可考慮以平面幾何問題為研究載體.雖然某些平面幾何知識可能已淡忘，但對一些典型問題學(xué)生仍會留有印象.比如，在向量章節(jié)例、習(xí)題中涉及三角形重心、垂心、外心等問題時，學(xué)生不僅未感到陌生，而且覺得比其它問題更有趣.所以，從向量的角度對三角形的“四心”進行研究，既可顧及學(xué)生的現(xiàn)有基礎(chǔ)，契合他們的興趣愛好，也是對向量應(yīng)用的一種自然地拓展延伸.

學(xué)生只有切實感受到向量工具的長處，才能提高應(yīng)用的自覺性.初中平面幾何屬于歐氏幾何，解決問題時只依據(jù)基本的邏輯原理(同一律、矛盾律、排中律等)，從基本事實(公理)出發(fā)，通過演繹推理，建立幾何關(guān)系.因此，它給出的幾何論證十分嚴謹，但往往無規(guī)律可循，存在較大思考難度.用向量工具研究幾何問題，則是建立了向量運算(運算律)與幾何圖形之間的關(guān)系，對圖形的研究借助代數(shù)運算來實現(xiàn).

向量工具解決問題的第一個優(yōu)點是所依據(jù)的定理法則少.高中階段，向量法解決問題的基本法則只有4點:

法則2向量數(shù)乘的意義和運算律，特別是可以用數(shù)乘一個向量來表示和它平行或共線的向量；

法則3向量的內(nèi)積(數(shù)量積)的意義和運算律，特別是互相垂直向量的內(nèi)積為0；

法則4平面向量基本定理:如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對平面內(nèi)任一向量a，存在唯一的實數(shù)對λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

向量工具解決問題的第二個優(yōu)點是思考方式有章可循.用向量方法解決平面幾何問題，通常遵循如下“三步曲”:

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

(3)把運算結(jié)果 “翻譯”成幾何關(guān)系.

從學(xué)生的角度看，向量的線性運算、數(shù)量積運算及平面向量基本定理都是他們已經(jīng)掌握了的.解決平幾問題“三步曲”中，學(xué)生最擅長的是第二步，向量運算.較為困難的是第一步，即用向量表示幾何元素.因此，在進行探究問題設(shè)計時，應(yīng)著力于學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié).

由此，考慮到了將探究問題設(shè)計側(cè)重于用向量表示三角形的四心，進而提出如下問題:

3 探究過程與結(jié)果

設(shè)計的探究問題在進行“向量的應(yīng)用”教學(xué)時給出，供學(xué)生課外研究.學(xué)生可以自由組合，也可以獨立研究.可以選擇三角形“四心”中的某一個心，也可以對所“四心”展開思考.約定好時間在班級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)群中交流探究成果.

問題給出后，學(xué)生意識到，依據(jù)平面向量基本定理，與三角形四個心所對應(yīng)的向量應(yīng)該能用基底表示.但具體怎么表示？都覺得問題并不像教材例、習(xí)題中類似問題那樣簡單，有一定的挑戰(zhàn)性.

探究的過程中，有些學(xué)生遇到難以逾越的障礙，教師給予適當?shù)闹更c，并提出一些建議.在截止時間到來的時候，參與探究的學(xué)生公布了各自研究的成果.

最后，學(xué)生推舉出了幾位代表對集體探究成果做進一步加工、整理，形成了如下大家認可的探究結(jié)論.

3.1 重心的向量表示

圖1

因為G是AD，BE的交點，

3.2 垂心的向量表示

圖2

=(m-1)a+nb，

=ma+(n-1)b.

因為AHCB，BHAC，

這是一個關(guān)于m，n的二元一次方程組，可解得

可以看出，

為此考慮

[(b2-a·b)a+(a2-a·b)b]·(b-a).

由于

[(b2-a·b)a+(a2-a·b)b]·(b-a)=

(b2-a·b)(a·b-a2)+(a2-a·b) (b2-a·b)

=0，

3.3 內(nèi)心的向量表示

圖3

= (m-1)a+nb.

由向量共線定理可得

同理

所以由向量共線定理可得

考慮關(guān)于m，n的二元一次方程組

所以

即CI是∠C的平分線.

所以，三角形三條角平分線交于一點.

3.4 外心的向量表示

圖4

因為O為△ABC的外心，設(shè)外接圓半徑為r，

所以 |(m-1)a+nb| =r；

|ma+(n-1)b| =r；|ma+nb|=r.

將上面三式兩邊分別平方，可得

(m-1)2a2+2(m-1)na·b+n2b2=r2；

①

m2a2+2m(n-1)a·b+(n-1)2b2=r2；

②

m2a2+2mna·b+n2b2=r2.

③

③-①得 (2m-1)a2+2na·b=0；

③-②得 2ma·b+(2n-1)b2=0.

得關(guān)于m，n的二元一次方程組

所以

4 探究成果的再應(yīng)用

開展本次探究性學(xué)習(xí)的目的在于發(fā)展學(xué)生的向量應(yīng)用意識，因此，獲得探究結(jié)論并不是活動的終極目標.對結(jié)果與結(jié)果產(chǎn)生的過程進行再思考，有利于進一步深化學(xué)生對于向量工具作用的認識.

從獲得的探究結(jié)果看，三角形的每個心所對應(yīng)的向量確實都能用給定的基底表示，盡管有些結(jié)果獲得的過程需經(jīng)過一定量的運算，但這些運算的思路都是明確的.這可從一定層度上消除學(xué)生對于平面向量基本定理的神秘感.認為定理只是理論上可行，實踐上怎么操作并不清楚.會用基底表示向量，便開啟了向量工具應(yīng)用之門，可有效提升學(xué)生利用向量工具的自信心.

從解決問題的過程看，所涉及的向量知識只局限于線性運算、數(shù)量積運算及相應(yīng)的運算律，平面向量基本定理.且對于三角形不同的心，解決問題的思路也基本一致.

(1)將三角形某心對應(yīng)的向量用基底線性表示，其中帶有待定的參數(shù)；

(2)利用三角形某心的幾何特征，得到關(guān)于參數(shù)的方程組.這里的幾何特征主要是三點共線、互相垂直、角的相等、距離相等這些最基本的、簡單的幾何關(guān)系；

(3)解方程組，求出參數(shù)，實現(xiàn)將三角形某心對應(yīng)的向量用基底表示.

在用基底表示出重心、垂心、外心后，還順便用向量法驗證了這些心分別是三角形的三條中心、高線、角平分線的交點.所涉及的向量知識依舊是向量共線、向量垂直等簡單知識.從向量應(yīng)用的角度對探究過程進行剖析，可以讓學(xué)生切實體會到用向量在解決問題過程中的優(yōu)勢所在.

上述探究活動也可以作為深入開展探究性學(xué)習(xí)的新起點.當三角形的“四心”用基底表示后，可以很方便地研究一些與“四心”有關(guān)的問題，也可能激發(fā)學(xué)生主動提出一些新的問題.