中小學生數(shù)學創(chuàng)造力的測量與培養(yǎng)①
——以一題多解為進路

趙 弘 杜夢雅

(大連大學教育學院 116622)

創(chuàng)造力作為一種高階思維能力，被很多國家和國際組織列入了21 世紀核心素養(yǎng)框架之中.將創(chuàng)造力的培養(yǎng)落實在數(shù)學教學中，其前提是數(shù)學創(chuàng)造力的測量問題.研究發(fā)現(xiàn)，中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力具有動態(tài)特征，如果得不到及時而客觀的測量或評價，其教學的意義就會被最小化[1].這就意味著，要充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造潛能，評價數(shù)學課程或教學的有效性，就迫切需要切實可行的測評學生數(shù)學創(chuàng)造力的工具.

數(shù)學創(chuàng)造力是從創(chuàng)造力定義中衍生而來的一個概念.自20世紀50年代吉爾福德(Guilford)提出“創(chuàng)造力是普通人都具有的一種能力，幾乎所有的人都會有創(chuàng)造性行動[2]”以來，心理學家對創(chuàng)造力這一心理特征的研究取得了突破性進展，如將流暢性、靈活性、獨創(chuàng)性等作為創(chuàng)造力的主要內(nèi)容[3]，以發(fā)散思維為指標開展創(chuàng)造力的測量等，這些研究結(jié)果至今仍影響著數(shù)學創(chuàng)造力的研究[4].近些年來，數(shù)學創(chuàng)造力的研究以中小學生為研究對象，圍繞數(shù)學創(chuàng)造力的概念界定、測評和培養(yǎng)等問題，進行了較為深入的探討[5].

本文在綜述數(shù)學創(chuàng)造力研究文獻、評論數(shù)學創(chuàng)造力測量方法的基礎上，介紹以色列數(shù)學教育研究者萊金(Leikin)設計的一項中小學生數(shù)學創(chuàng)造力測量模型.

1 中小學生數(shù)學創(chuàng)造力(mathematical creativity)的特點

數(shù)學創(chuàng)造力是一個多側(cè)面的現(xiàn)象，為數(shù)學創(chuàng)造力下一個廣為接受的定義非常困難.為了研究中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力，研究者力圖從不同角度揭示其特征.

1.1 相對性(relative)

中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力不同于數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造力，數(shù)學家擁有的是絕對創(chuàng)造力(absolute creativity)，這是一種“產(chǎn)生前所未有成果、明顯地擴展或綜合了數(shù)學知識體系，或為其他數(shù)學家開辟了思考問題途徑的能力[6]”.雖然中小學生一般不會創(chuàng)造舉世矚目的數(shù)學成果，卻可以提出，相對于學生已經(jīng)學過的數(shù)學和已經(jīng)解決的問題而言，新的見解或解決方案，這是一種相對創(chuàng)造力(relative creativity)[7]，即一個特定的人在一個特定的參考群體中的發(fā)現(xiàn).克魯杰茨基認為，中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力是“對簡單數(shù)學問題的獨特表述、找到解決問題的方法和途徑、發(fā)明定理的證明方法、獨立推導公式，或者尋找解決非標準問題的原始方法等[8]”.

既然中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力具有相對性，那么參照其以往的經(jīng)驗或者其他具有相似教育背景學生的表現(xiàn)，測量或評價數(shù)學創(chuàng)造力是可行的.

1.2 領(lǐng)域特殊性(domain specific)

不同領(lǐng)域的創(chuàng)造力需要不同的創(chuàng)造成分與認知技能，在某一領(lǐng)域具備創(chuàng)造力并不意味著在其他領(lǐng)域也具備相應的創(chuàng)造力[9].中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力，作為數(shù)學這一具體學科領(lǐng)域的創(chuàng)造力，必須涉及數(shù)學和創(chuàng)新兩個方面[10].例如，羅密伊(Romey)將數(shù)學創(chuàng)造力定義為“能夠以一種新的方式組合數(shù)學的思想、技能或方法”[11]，顯然，頭腦中擁有的數(shù)學概念、思想越多，產(chǎn)生的組合也越多，獲得成功創(chuàng)造的可能性也越大；埃爾文克(Ervynck)認為數(shù)學創(chuàng)造力是高水平數(shù)學思維的重要組成部分，是個人在以往經(jīng)驗的基礎上，向新的方向邁出一步[12].

以上定義表明數(shù)學創(chuàng)造力具有數(shù)學領(lǐng)域的特殊性，即數(shù)學創(chuàng)造力根植于數(shù)學知識的積累，以對數(shù)學知識的理解、直覺和洞察為基礎，因而在評價或測量數(shù)學創(chuàng)造力的過程中，應該充分考慮到學生對數(shù)學知識的深度理解和掌握.

1.3 發(fā)散性(divergent)

中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力常常體現(xiàn)在解題過程(process)的靈活性或結(jié)果(product)的發(fā)散性[13]上，例如，在數(shù)學情境中提出與因果相關(guān)的假設(hypotheses concerning cause and effect)、將一般數(shù)學問題分解為子問題、打破思維定勢(Einstellung)，以及在必要的時候，脫離模式化的刻板解法突破現(xiàn)有的框架[14].

鑒于發(fā)散性產(chǎn)品的可測性，加之發(fā)散思維本質(zhì)上是一種開放性思維，常常能夠克服心理定勢，從而導致新方法的產(chǎn)生[15]，發(fā)散思維測驗常常被研究者用來開展中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力測量.

發(fā)散思維通常要求學生給出問題的多種解決方案，一些研究者將考查中小學生數(shù)學創(chuàng)造力的首要標準確定為“一題多解”能力，即“對于一個數(shù)學問題給出多種解法的能力[15]、提出不止一種可行的而且非同尋常的解決問題方案的能力[16]；針對文字、圖片以及表格等真實的數(shù)學情境，能夠提出多種不同且適用的數(shù)學問題[17]等.

萊金則以一題多解為任務，設計了一套數(shù)學創(chuàng)造力測量的模型.本文將在以下篇幅闡述該模型的使用方法和步驟.

2 中小學生數(shù)學創(chuàng)造力的測量

一題多解任務(A Multiple-Solution Task，簡稱MST)指的是答案唯一而解法多樣的數(shù)學問題[18]，這樣的問題在數(shù)學教學中大量存在.為了較為準確地測量數(shù)學創(chuàng)造力，模型首先界定了數(shù)學創(chuàng)造力的結(jié)構(gòu).

2.1 數(shù)學創(chuàng)造力的結(jié)構(gòu)

2.1.1數(shù)學創(chuàng)造力的成分

霍蘭茲(Hollands )提出中小學生在學習數(shù)學過程中的創(chuàng)造性表現(xiàn)在以下分為五個方面：靈活性 (flexibility)，表現(xiàn)為改變方法或提出各種不同的方法；精致化(elaboration)，表現(xiàn)為方法的擴展或改進；流暢性(fluency)，表現(xiàn)為在短時間內(nèi)產(chǎn)生許多想法；獨創(chuàng)性(originality)，表現(xiàn)為嘗試新穎或不尋常的方法；敏感性(sensitivity)，表現(xiàn)為對標準方法的建設性批判[19].

西佛爾(Silver)認為，經(jīng)由問題解決，提升學生的數(shù)學創(chuàng)造力的具體做法是，通過對一個問題產(chǎn)生多個答案(如果存在的話)、探索各種情況和提出多個想法來發(fā)展流暢性(fluency)；當至少有一個解法的時候，再提出新的關(guān)聯(lián)解法來提高，此乃靈活性(flexibility)；新穎性(novelty)是通過當已經(jīng)有許多解法時，再提出一個新的解法來提高的[20].

曼恩(Mann) 建議數(shù)學創(chuàng)造力有五個成分，即在托倫斯提出的創(chuàng)造力流暢性(fluency)、靈活性(flexibility)、新穎性(novelty)和精致性四個成分的基礎上，增加“打破舊習(iconoclasm)”這一成分[21].

參照以上研究，萊金(2007)將學生在MST中表現(xiàn)出的數(shù)學創(chuàng)造力分為三個組成部分，分別是流暢性(fluency)、靈活性(flexibility)和獨創(chuàng)性(originality).其中流暢性由學生給出正確解法的個數(shù)確定，靈活性(flexibility)由學生解法所屬不同類型的情況確定，獨創(chuàng)性由學生所提出解的稀有性確定[22].

2.1.2數(shù)學創(chuàng)造力的水平

埃爾文克(Ervynck)針對學生在MST中產(chǎn)生的多種解法，將其數(shù)學創(chuàng)造力分成了三個等級的水平.[22]

第一級是運用固定程序的解法(algorithmic solution)的水平，該等級的表現(xiàn)是利用現(xiàn)成的公式解題.例如通過加減消元法或代入消元法解二元一次方程組.

第二級是借助模型(modelling a situation)的水平，該等級的表現(xiàn)是利用在數(shù)學解題中普遍適用的方法解決當前的問題.例如用畫線段圖或者做表格的方法解答應用題.

基于以上研究，萊金(2009)將數(shù)學創(chuàng)造力的三個組成部分與三種水平的劃分相結(jié)合，提出了以下以MST為工具的數(shù)學創(chuàng)造力測量模型.[24]

2.2 測量模型

2.2.1獨創(chuàng)性

分為兩種情況.

第一種情況：對于10人以下小組，依據(jù)學生解法的常規(guī)性或者頓悟(insight)水平，將獨創(chuàng)性分為三級并采取十分制評分.

第一級：Ori=10，運用基于頓悟的或者非常規(guī)的解法.

第二級：Ori=1，運用某種模型的或者部分非常規(guī)的解法.

第三級：Ori=0.1，運用基于固定算法的常規(guī)解法.

第二種情況：對于10人以上小組，根據(jù)有相同解法的人數(shù)占小組總?cè)藬?shù)的百分數(shù)，將獨創(chuàng)性分為三級并采取十分制評分.

第一級：Ori=10 ，低于15%；

第二級：Ori=1 ，在15%與40%之間；

第三級：Ori=0.1 ，高于40%.

獨創(chuàng)性采用十進制的計分法，可以明顯看出解題者運用了多少種解法，以及每種解法的獨創(chuàng)性情況.例如，一名解題者的獨創(chuàng)性總分Or=21.3，表明共運用了6(=2+1+3)種解法，其中2種非常規(guī)解法，1種部分非常規(guī)解法和3種常規(guī)解法.

2.2.2靈活性

根據(jù)解法所運用策略所屬的類型，將靈活性分為三級并采取十分制評分.

第一級：Flxi=10，在某種類型中第一次出現(xiàn)的解法，或者非第一次出現(xiàn)但是與以前出現(xiàn)的解法屬于不同類型的解法.

第二級：Flxi=1，與以前出現(xiàn)過的解法運用了同一類型解題策略，且兩者有明顯的細微區(qū)別的解法.

第三級：Flxi=0.1，與以前出現(xiàn)過的解法幾乎完全相同的解法.

靈活性與獨創(chuàng)性采用十進制積分法，原因與獨創(chuàng)性類似.

2.2.3流暢性

該模型沒有對流暢性進行分級，只要解法正確即得1分，依次累加.正確解法的總數(shù)等于流暢性總分.筆者認為，之所以如此計分，是因為在發(fā)散性思維中，流暢性處于較低層次，僅僅體現(xiàn)了思維發(fā)散在數(shù)量方面的特點.

2.2.4數(shù)學創(chuàng)造力

每一個正確解法的數(shù)學創(chuàng)造力得分，等于該解法的獨創(chuàng)性得分與靈活性得分的乘積，即Cri=Flxi×Ori.筆者認為，之所以如此計分，是因為在發(fā)散性思維中，靈活性和原創(chuàng)性均處于較高層次，其中靈活性表現(xiàn)了思維發(fā)散的變通性，為思維開拓了新的思路，產(chǎn)生新的解法；獨特性居于創(chuàng)造力的最高層次，表現(xiàn)在思維突破常規(guī)解法的束縛，產(chǎn)生新穎獨創(chuàng)的成果.

萊金通過兩例對以上模型進行進一步的說明.

例如，某學生只采用了一種解法，這種解法是小組中獨一無二的解法，這種解法的創(chuàng)造力是滿分.按照計分規(guī)則，因為是獨一無二的解法，說明運用了非常規(guī)解法，獨創(chuàng)性Ori=10；因為是第一次出現(xiàn)的解法，靈活性Flxi=10，則創(chuàng)造力Cri=10×10=100.

如果這名學生經(jīng)過思考，又獲得了一個在小組中與其他人不同的解法，不過這種解法與他自己前面得到的解法存在相似之處，那么，這種新解法的創(chuàng)造力分數(shù)就會下降.按照計分規(guī)則，雖然獨創(chuàng)性Ori=10，但由于該解法與其他解法之間的相似性，靈活性Flxi=1或0.1，那么創(chuàng)造力得分就是Cri=10×1=10，或者10×0.1=1.

2.3 模型舉例

下面依據(jù)MST模型，對兩名小學六年級資優(yōu)生(生甲、生乙)解答一道應用題時，各自得到的多種解法進行計分，具體說明如何運用模型測量學生的數(shù)學創(chuàng)造力(見下表).為了保證原創(chuàng)性和靈活性計分的信度，筆者與另外一名數(shù)學教育研究者同時打分，并利用 SPSS統(tǒng)計軟件對評分者一致性進行了檢驗，相關(guān)性達到0.875*.對于評分有差異的部份，又各自提出說明，最后提出討論后共識的分數(shù)，如表1.

生甲得到了4個正確解法，生乙得到了5個正確解法，其中兩名學生有相同的解法，兩人共提出6個不同的正確解法，本文將解法分為四類，各個解法及兩名學生的數(shù)學創(chuàng)造力計分情況見表1.

表1 數(shù)學創(chuàng)造力計分表

生甲和生乙產(chǎn)生的四種類型，共六個解法中每個解法的靈活性根據(jù)解法所屬的類型來確定，每種類型中第一次出現(xiàn)的解法計10分，再次出現(xiàn)的解法計1分.

對每種解法的獨創(chuàng)性做以下說明：

第一類包括兩種解法(解法1-1，1-2).

兩種解法均采取了量率對應的解題策略，雖然兩種解法在教材和課堂上常用的解法，解法1-1嚴格按照學習過的解題方法和步驟，采用的是常規(guī)解法，解法1-2對于題意進行了一定的轉(zhuǎn)換，視為部分非常規(guī)解法，故解法1-1的獨創(chuàng)性計0.1分，解法1-2的獨創(chuàng)性計1分.

第四類包括兩種解法(解法4-1，4-2).

圖1 補足對等法

圖2 補足對應法

兩種解法均巧妙利用了晝長、夜長之間的數(shù)量關(guān)系，視為非常規(guī)解法，兩種解法的獨創(chuàng)性得分均為10分.

從表1可以看出，生甲由于采用的解法數(shù)量較少，解法的流暢性與靈活性上得分較低，而且沒有采用新穎的解法，故原創(chuàng)性得分也較低.而生乙采用的解法數(shù)量多于生甲，且找到了題目隱含的數(shù)量關(guān)系，且采用了非常規(guī)的解法，故流暢性、靈活性和獨創(chuàng)性三個要素的得分均高于生甲，因而得到了遠遠高于生甲的數(shù)學創(chuàng)造力分數(shù).兩名學生的數(shù)學創(chuàng)造力分數(shù)說明，生甲雖然只比生乙少用了一種解法，而兩人的創(chuàng)造性水平差距卻比較大，生甲提出的解法缺少獨創(chuàng)性是主要原因.

3 對中小學生數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)的啟示

創(chuàng)造力是人類進步的動力，因此數(shù)學創(chuàng)造力的培養(yǎng)是值得數(shù)學教育領(lǐng)域重視的課題.數(shù)學創(chuàng)造力教學中，教師的作用至關(guān)重要，表現(xiàn)在不僅要設計合適的教學任務引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，還須識別和評價學生的創(chuàng)造性表現(xiàn)，并使用恰當?shù)慕虒W方法和手段，激發(fā)學生的數(shù)學創(chuàng)造力.本文就教師在一題多解任務中的數(shù)學創(chuàng)造力教學提出以下四點建議，希望對我國的中小學生數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)提供些許啟發(fā).

3.1 鼓勵多種解法 發(fā)展思維的流暢性

一題多解任務在中小學數(shù)學教學中廣泛存在，許多數(shù)學題目如果深入探究都有著不止一種解法.然而，許多教師在教學中，往往因為趕進度，有了解答就結(jié)束了該題的解題活動，忽略了一題多解的互動可以引發(fā)學生們的頭腦風暴，錯過了激發(fā)學生提出更多解題方法的機會.一題多解不僅有助于不同思維層次的學生都尋找到適合自己的解決問題方法，還有助于調(diào)動學生的創(chuàng)造潛能.本文中提到的生甲和生乙，能夠提出解法3-1，以及4-1和4-2，就是在研究者提示“請再想想，盡可能多地提出解法”后，得到的創(chuàng)新解法.因此教師在教學時，一方面要給予學生充分的思考時間；另一方面，給予不同能力水平的學生充分的探究機會.對于能力較強的學生，鼓勵他們盡可能多地提出解法，對于能力較低的學生，只要他們能夠找到一個解法就應該肯定他們的成就，同時鼓勵他們繼續(xù)探究更多的解法，這樣才可能產(chǎn)生多種解法，學生也才有表現(xiàn)出較高數(shù)學創(chuàng)造力的可能.如果課堂時間不夠用，應留給學生課后思考或創(chuàng)造的作業(yè).

3.2 鼓勵溝通不同解法的連接 啟發(fā)思維的靈活性

是否能在一題多解任務中培養(yǎng)學生思維的靈活性，教師不僅要提供給學生創(chuàng)新求異的機會，要鼓勵學生敢于勇于開拓，引導學生多角度、多方位地靈活地思考問題，更要鼓勵學生在不同解法之間建立連結(jié)，如能融會貫通，將有助于學生達到解題的靈活性.本文中提到生乙能夠提出解法4-1和4-2，是他在研究解法1-1和1-2的圖形基礎上，多次嘗試將晝長和夜長之間的數(shù)量關(guān)系在圖形上進行變化，最后用補足的策略，發(fā)現(xiàn)了晝長和夜長之間新的數(shù)量關(guān)系，進而獲得了新的解決問題途徑.生甲是在解法1-1和1-2的基礎上，將晝長和夜長的分數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為份數(shù)關(guān)系，獲得了3-1的解法.

3.3 鼓勵自創(chuàng)解法 促進思維的獨特性

在MST模型中，獨創(chuàng)性居于最重要的地位，是數(shù)學創(chuàng)造力三個組成部分中最重要的要素.而Leikin在使用MST教學時發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一題多解的教學，學生的靈活性和流暢性顯著提高，而隨著這兩個要素得分的提高，解題方法因為整體受試者答對率提高，原創(chuàng)性得分會相對下降.這就意味著，當學生的靈活性增加時，更多的學生在小組中產(chǎn)生更多的解法，則產(chǎn)生唯一的或者獨特的解法就變得非常困難[25].因此，獨創(chuàng)性是一種“洞見”，洞察問題的結(jié)構(gòu)，此“自己所見，他人未必能見”的功夫，較難產(chǎn)生卻最值得培養(yǎng).因此，在教學中，教師不必強求學生解法的獨一無二，應鼓勵學生不要只有因循公式，盡可能采用自己獨創(chuàng)的方法解題，從而提升數(shù)學課堂教學中創(chuàng)造性的文化，進而產(chǎn)生出更多創(chuàng)造性的成果.

3.4 鼓勵轉(zhuǎn)換解法 提倡非常規(guī)解法

在數(shù)學教學上，教師為了鼓勵學生解題，最好先鼓勵學生大膽嘗試，用自己的方法求解，不應為了節(jié)省時間用自己的解答代替學生解題，否則解答一旦曝光，學生就失去了解題的機會，也失去了發(fā)展創(chuàng)造力的機會.不僅如此，提倡學生采用非常規(guī)解法，使學生解題的獨創(chuàng)性有機會體現(xiàn)出來了.以本文中兩個學生為例，通過努力，兩人均提出了多種解法，表現(xiàn)出一定的數(shù)學創(chuàng)造力.而生甲的數(shù)學創(chuàng)造力得分低于生乙很多，主要是少了非常規(guī)的解法(獨創(chuàng)性)，以至于創(chuàng)造力的總分拉大了.生乙提出的解法4-1和解法4-2兩種解法，解題步驟是多于1-1或1-2，卻是非常規(guī)的解法.教師不應因為做法繁瑣，簡單地用解題使用了幾步來判斷優(yōu)劣.而應鼓勵學生靈活及轉(zhuǎn)換方法，一旦發(fā)現(xiàn)學生有良好的解法，鼓勵發(fā)表和分享，以激勵學生的數(shù)學創(chuàng)造力.