“雨中行”的無(wú)風(fēng)模型

劉曉曼 保繼光

(北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 100052; 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

“雨中行問(wèn)題”來(lái)源于我們的生活實(shí)際，具體表述如下：下雨天在沒(méi)有帶任何雨具的情況下，人從一處到另一處，如何行走(此處把跑也看作行走的一種形式)才能減少淋雨量呢？在這種情況下，人們確實(shí)會(huì)選擇快速行走的方式到達(dá)目的地，但越快淋雨量就越少嗎？

1 已有的模型

1972年，Deakin在[1]中把人看成長(zhǎng)方體，利用三維向量借助相對(duì)雨速的分解建立了有風(fēng)時(shí)的雨中行模型.第二年，他與Schwartz對(duì)之前的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了修改[2]，糾正了原模型中的一個(gè)技術(shù)性錯(cuò)誤，并簡(jiǎn)化和拓展了已有的結(jié)論，認(rèn)為當(dāng)順風(fēng)行走時(shí)，雨從背后吹來(lái)，當(dāng)風(fēng)的速度大于某一值時(shí)，以風(fēng)在人行走方向上的分速度行走最佳，其他情況都應(yīng)該”行走的越快淋雨量越少”.1976年，Bell也對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)分速度建立了有風(fēng)時(shí)的雨中行模型，并得出類(lèi)似的結(jié)論[3].在20世紀(jì)九十年代中期，此問(wèn)題廣泛得到了氣象界的關(guān)注和研究[4]，其結(jié)果被總結(jié)為：當(dāng)順風(fēng)行走時(shí)，以風(fēng)在人行走方向上的分速度行走最佳；當(dāng)雨迎面而來(lái)時(shí)，行走的越快越好.2002年，Bailey對(duì)此結(jié)論提出了質(zhì)疑，認(rèn)為上面逆風(fēng)時(shí)結(jié)論是正確的，而順風(fēng)時(shí)要考慮風(fēng)速度的大小，其通過(guò)分類(lèi)討論的方法并結(jié)合案例說(shuō)明了，當(dāng)風(fēng)速較強(qiáng)時(shí)以風(fēng)在人行走方向上的分速度行走最佳，但當(dāng)風(fēng)速較弱時(shí)，應(yīng)該是行走的越快越好[5].此觀點(diǎn)本質(zhì)上是1973年Deakin和Schwartz結(jié)論的重述，都認(rèn)為順風(fēng)且風(fēng)速大于某一速度時(shí)以風(fēng)在人行走方向上的分速度行走最佳，其他情況都應(yīng)該越快淋雨量越少.

2000年，李志業(yè)在[6]中利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度合成理論得出“行走的越快淋雨量越少”.隨后很多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，并且從不同的角度建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，得出了一些定性或者定量的結(jié)論.文[7]利用常微分方程分析得出“淋雨總量的多少與人的體型、雨速、行走距離有關(guān)系，胖人比瘦人淋雨多，高的比矮的淋雨多，并不是行走的越快淋雨越少，有時(shí)可能反而越多”這一定性結(jié)論.文[8]利用函數(shù)的單調(diào)性和極限得出與文[2]一致的結(jié)論.文[9]對(duì)人無(wú)風(fēng)行走、逆風(fēng)行走、順風(fēng)行走以及雨線方向和行走方向不在一個(gè)平面四種情況分別做了不同的分析，也得出了與文[2]一致的結(jié)論，只是研究思路上從特殊到一般且具體的分析了每種情況，呈現(xiàn)形式上更加適合中學(xué)生.

上述研究盡管方法和結(jié)論有些不同，但是在假設(shè)上同質(zhì)性很高，大都對(duì)此現(xiàn)實(shí)問(wèn)題做了以下假設(shè).

假設(shè)1人在行走的過(guò)程中，雨始終以相同的速度和方向落向地面.

假設(shè)2人始終以恒定速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，行走了固定距離D.

假設(shè)3人近似的看成是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中人體的正面寬度l，側(cè)面寬度d.

無(wú)風(fēng)的情況是最簡(jiǎn)單、最理想的情況，上述研究中只有文[9]將其單獨(dú)研究，其余都是作為有風(fēng)時(shí)的特例沒(méi)有進(jìn)行特殊說(shuō)明.無(wú)風(fēng)時(shí)雨是垂直落向地面的，淋雨總量等于降雨強(qiáng)度c(即單位時(shí)間單位面積的降雨量)、淋雨時(shí)間以及淋雨面積三者的乘積.人在無(wú)風(fēng)的情況下行走時(shí)，淋雨區(qū)域只有人身體的上面，此時(shí)容易得到淋雨總量

(1)

由上述表達(dá)式,Q是一個(gè)關(guān)于v的反比例型函數(shù)，隨著v的增加Q是減少的，也就是說(shuō)“無(wú)風(fēng)情況下人在雨中行走時(shí)，跑得越快淋雨量會(huì)越少”.

值得關(guān)注的是，2009年，Hailman與Torrents把淋雨者假設(shè)成橢球體模型，得出：順風(fēng)時(shí)如果雨水從背面吹來(lái)，人最佳的行走速度要略大于雨在人行走方向上的水平分量，并說(shuō)明了人體形狀在研究此問(wèn)題時(shí)的重要性，同時(shí)說(shuō)明了盡管都是橢球體模型，但人的體態(tài)也影響最佳行走速度[10].2015年，Seongtaek分別考慮了長(zhǎng)方體、橢球體、圓柱體三種立體傾斜時(shí)的情形，利用其與雨的正交投影面積建立模型，找到人的最佳行走速度[11].

2 模型的優(yōu)化

《流言終結(jié)者》(MythBusters)是一個(gè)美國(guó)的科普電視節(jié)目, 針對(duì)各種廣為流傳的謠言和傳奇進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 在探索頻道(Discovery Channel)播出. 2003年9月, 在第一集《雨中行(Who Gets Wetter)》中就通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出“行走得越快未必淋雨量就越少”. 參見(jiàn)https://v.qq.com/x/page/g0650smwg4p.html?fromvsogou=1.

本文對(duì)無(wú)風(fēng)雨中行的情形進(jìn)行優(yōu)化. 我們注意到, 假設(shè)3反映的是人在雨中一動(dòng)不動(dòng)的情景(比如人在敞篷車(chē)上站立不動(dòng))，因此上述模型的水平投影面積是保持不變的. 實(shí)際上根據(jù)人們的生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)人運(yùn)動(dòng)時(shí)水平投影面積是變化的，并且隨著速度的增加，擺動(dòng)的幅度都會(huì)增加，投影面積從而也會(huì)增加，因此我們做出假設(shè)4.

假設(shè)4在行走時(shí)，人的水平投影面積S與行走速度v的關(guān)系設(shè)為

(2)

其中S0是人靜止時(shí)的水平投影面積，k是一個(gè)待定常數(shù)，v0為人行走速度的一個(gè)上限.

此時(shí)無(wú)風(fēng)時(shí)的總淋雨量

對(duì)Q關(guān)于v求導(dǎo)得

下面我們將近似確定S0、k，以期具體分析無(wú)風(fēng)時(shí)淋雨總量Q隨v的變化情況，探索人在雨中行的最佳策略.

1983—1987年，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化主管部門(mén)開(kāi)展了我國(guó)人體的測(cè)量工作，在全國(guó)東北、華北、西北、東南、華中、華南、西南等地區(qū)內(nèi)共測(cè)量了11164名男子樣本和11150名女子樣本，并根據(jù)測(cè)量結(jié)果頒布了《中國(guó)成年人人體尺寸》(GB10000—1988)下表是人體水平尺寸中最大肩寬和胸厚的部分?jǐn)?shù)據(jù)[12].

圖1 最大肩寬與胸厚示意圖

表1 中國(guó)成年人人體尺寸

注：所列數(shù)值代表從事工業(yè)生產(chǎn)的法定中國(guó)成年人，男18～60歲，女18～55歲.

為了計(jì)算的簡(jiǎn)化，我們采用矩形來(lái)刻畫(huà)人體靜止時(shí)的水平投影面積，投影面積為人體胸厚與最大肩寬的乘積.通過(guò)計(jì)算并保留四位小數(shù)可得下表.

表2 中國(guó)人靜止時(shí)水平投影面積

由表2可知，中國(guó)成年男性靜止時(shí)的水平投影面積最大分布范圍為0.0674～0.1268m2，中國(guó)成年女性靜止時(shí)的水平投影面積最大分布范圍為0.0552～0.1191m2.綜合可知，中國(guó)成年人靜止時(shí)的水平投影面積最大分布范圍為0.0552～0.1268m2.這就是S0的分布范圍.

由表1可知，中國(guó)成年男性胸厚尺寸的第1百分位數(shù)為0.176m，第99百分位數(shù)為0.261m，相差0.085m，而第10百分位數(shù)為0.191m，第90百分位數(shù)為0.237m，相差0.046m. 因此數(shù)據(jù)中存在個(gè)別偏大或者偏小的數(shù)據(jù)，所以我們可以利用第50百分位數(shù)，也就是原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)來(lái)刻畫(huà)中國(guó)成年男性胸厚尺寸.同理利用第50百分位數(shù)來(lái)刻畫(huà)中國(guó)成年男性最大肩寬尺寸，兩者的乘積作為中國(guó)成年男性靜止時(shí)水平投影面積的平均水平，即為0.0914m2，同理中國(guó)成年女性靜止時(shí)水平投影面積的平均水平為0.0790m2.在下面的研究中我們可以將其作為(2)式中的S0.

下面確定(2)式中的系數(shù)k.由于人運(yùn)動(dòng)時(shí)水平投影面積的數(shù)據(jù)獲得途徑較少，所以我們進(jìn)行了個(gè)案研究，以此獲得k的數(shù)據(jù).結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)資料可知[13]，人正常走路的速度平均為0.8m/s～1.5m/s，慢跑的速度平均為1.5m/s～4m/s.本文以正常行走和慢跑速度的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行模擬.

在此模擬測(cè)量中，為了方便，我們?nèi)≌Ｗ呗返乃俣葹関1=1m/s，慢跑的速度為v2=3m/s進(jìn)行模擬.代入上述關(guān)系式中，求出k1與k2的平均值作為此志愿者的比例系數(shù)k，綜合下面四名志愿者的比例系數(shù)作為本文假設(shè)4的系數(shù)k.

表3 模擬測(cè)量的數(shù)據(jù)

注：其中S0，S1，S2的單位為m2，v1，v2單位為m/s.

由上表志愿者數(shù)據(jù)可知，成年男性運(yùn)動(dòng)時(shí)水平投影面積的變化系數(shù)k的平均值為0.0422，成年女性運(yùn)動(dòng)時(shí)水平投影面積的變化系數(shù)k的平均值為0.0344.綜合上面的分析，這里對(duì)成年男性、女性分別計(jì)算最佳行走速度.

查閱資料可知，男子百米短跑的世界記錄為9秒58，平均速度不超過(guò)11m/s，因此有理由認(rèn)為(2)式中v0=11m/s.對(duì)于中國(guó)成年男性，

從而v男

時(shí)，成年女性在無(wú)風(fēng)的雨中行走淋雨量最少. 由于v男、v女的數(shù)值都屬于慢跑范圍，所以在無(wú)風(fēng)的雨中行走時(shí)，慢跑相對(duì)來(lái)說(shuō)淋雨量最小，并不是越快淋雨量越小.

圖2 無(wú)風(fēng)時(shí)成年男性總淋雨量Q模擬效果圖

3 模型評(píng)估

人靜止時(shí)的水平投影面積S0，不同的國(guó)家差別較大. 前蘇聯(lián)測(cè)算的春秋季節(jié)成年人的平均尺寸為0.113m2；奧地利年齡在15～30歲未穿外套的人員水平投影面積為0.146m2，身穿外套時(shí)是0.186m2；德國(guó)的人員水平投影面積為0.120～0.190m2；美國(guó)18～45歲男女人員的平均水平投影面積為0.091m2. 因此S0的值受地域、民族、性別、年齡、體型等各種因素的影響[14].