GeoGebra可視化在開放教育復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

汪 吉

(武漢市廣播電視大學(xué)漢陽(yáng)區(qū)分校 湖北 武漢：430050)

復(fù)變函數(shù)作為開放教育數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)的基礎(chǔ)課程，對(duì)于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要意義。但在實(shí)際教學(xué)中，由于課程內(nèi)容抽象、邏輯性強(qiáng)，加上偏重理論的教學(xué)模式，導(dǎo)致教學(xué)過程枯燥乏味，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。

近來(lái)年，隨著有關(guān)可視化教學(xué)的研究逐步開展，其在提升教學(xué)效果方面的作用日益受到重視。本文以復(fù)指數(shù)函數(shù)的教學(xué)為例，探討了利用GeoGebra軟件開展可視化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，為開放教育教學(xué)改革提供了一些參考。

1 基于GeoGebra的復(fù)變函數(shù)可視化教學(xué)

可視化教學(xué)是在教學(xué)活動(dòng)中借助計(jì)算機(jī)軟件的可視化功能，將被認(rèn)知的對(duì)象及其發(fā)展變化的過程以具體、形象的方式展現(xiàn)出來(lái)。其目的在于幫助學(xué)生通過直觀地觀察、發(fā)現(xiàn)，自主地建立起知識(shí)模型，從而更好地提高學(xué)習(xí)效果。

對(duì)復(fù)變函數(shù)這一課程而言，已有一些學(xué)者利用matlab、mathematica、maple等軟件輔助教學(xué)。但這些大型數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢(shì)在于科學(xué)計(jì)算，直接利用軟件自帶的函數(shù)繪圖，難以展現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象動(dòng)態(tài)變化的過程，可視化效果有限。而針對(duì)具體教學(xué)案例進(jìn)行二次開發(fā)又相當(dāng)繁瑣。加之對(duì)開放教育的師生而言，想要熟練掌握上述軟件，既有難度，也非必要。因此選擇一款簡(jiǎn)單易學(xué)、使用方便的軟件更為合適。

GeoGebra是由美國(guó)數(shù)學(xué)家Markus(Hohenwarter設(shè)計(jì)的集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算、函數(shù)繪圖等功能的數(shù)學(xué)教育軟件，其具有界面簡(jiǎn)潔化、命令可視化等優(yōu)點(diǎn)，輸入函數(shù)表達(dá)式即可得到函數(shù)圖像，并能實(shí)現(xiàn)兩者的同步變化。利用GeoGebra開展可視化教學(xué)，通過對(duì)函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)演示，直觀地展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，使抽象的問題形象化，學(xué)生更易接受和理解。同時(shí)GeoGebra作為一款免費(fèi)、開源、跨平臺(tái)的軟件，可在計(jì)算機(jī)、平板電腦、智能手機(jī)等多種操作系統(tǒng)中無(wú)障礙地運(yùn)行，并且擁有很好的網(wǎng)頁(yè)支持，在沒有安裝軟件的設(shè)備上，也只需打開網(wǎng)頁(yè)即可運(yùn)行。因此利用GeoGebra能非常方便地建構(gòu)交互式學(xué)習(xí)資源，滿足開放教育學(xué)生的自主學(xué)習(xí)需求。

2 基于GeoGebra的復(fù)變函數(shù)可視化教學(xué)案例

下面以復(fù)指數(shù)函數(shù)為例，探討GeoGebra在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

2.1 復(fù)指數(shù)函數(shù)的圖像

復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+iy，稱exp(z)=ex(cosy+isiny)為復(fù)數(shù)z的指數(shù)函數(shù)。由定義看出，復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部和虛部都是二元函數(shù)，要描繪函數(shù)的圖形，就必須采用四維空間。為了避免這一困難，可以借用兩張復(fù)平面：自變量z平面和因變量w平面上點(diǎn)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)描述復(fù)指數(shù)函數(shù)。GeoGebra軟件可以同時(shí)顯示多個(gè)繪圖區(qū)，并能實(shí)現(xiàn)函數(shù)圖像在不同繪圖區(qū)上的同步變化，十分適合展現(xiàn)平面和平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面借助GeoGebra繪制復(fù)指數(shù)函數(shù)的圖像，步驟要點(diǎn)如下：

(1)確定繪圖區(qū)邊界及有關(guān)參數(shù)

在指令欄依次輸入：C11=角落(1,1)、C12=角落(1,2)、C=(0,0)。在繪圖區(qū)中新建2個(gè)滑動(dòng)條m(取值范圍為[0,2*pi]，增量為pi/10)、n(取值范圍為[0,20]，增量為1)。在指令欄依次輸入：p=floor(abs(x(C11))/(2*m/n))、q=floor(abs(x(C12))/(2*m/n))。

(2)以繪圖區(qū)作為z平面，繪制單位方格邊長(zhǎng)2m/n的直角坐標(biāo)網(wǎng)格

在指令欄依次輸入：list1=序列(曲線(t,-m+2*m*k/n,t,-2*p*m/n,2*q*m/n),k,0,n,1)、list2=序列(曲線(2*m*k/n,t,t,-m,m),k,-p,q,1)。

(3)以繪圖區(qū)2作為w平面，繪制極坐標(biāo)網(wǎng)格

在指令欄依次輸入：list3=序列(曲線(e^t*cos(-m+2*m*k/n),e^t*sin(-m+2*m*k/n),t,-2*p*m/n,2*q*m/n),k,0,n,1)、list4=序列(曲線(e^(2*m*k/n)*cos(t),e^(2*m*k/n)*sin(t),t,-m,m),k,-p,q,1)、circle:x^2+y^2=1。

(4)在z平面繪制復(fù)數(shù)點(diǎn)z0=a+ib，在w平面繪制復(fù)數(shù)點(diǎn)w0=ea(cosb+isinb)

在繪圖區(qū)中新建2個(gè)滑動(dòng)條a(取值范圍為[-2*m*p/n,2*m*q/n]，增量為0.1)、b(取值范圍為[-m,m]，增量為0.1)。在指令欄依次輸入：z_0=a+b*i、w_0=e^a*(cos(b)+sin(b)*i)、text1="z=a+ib"、text2="w=exp(z)"。

(5)繪制演示控制按鈕

新建按鈕“改變實(shí)部(a)”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入指令：?jiǎn)?dòng)動(dòng)畫(a)、啟動(dòng)動(dòng)畫(b,false)；新建按鈕“改變虛部(b)”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入指令：?jiǎn)?dòng)動(dòng)畫(b)、啟動(dòng)動(dòng)畫(a,false)；新建按鈕“跟蹤軌跡”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入指令：設(shè)置跟蹤(z_0,true)、設(shè)置跟蹤(w_0,true)；新建按鈕“取消跟蹤”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入指令：設(shè)置跟蹤(z_0,false)、設(shè)置跟蹤(w_0,false)；新建按鈕“清除軌跡”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入命令：放大(1)、設(shè)置活動(dòng)視圖(2)、放大(1)；新建按鈕“停止動(dòng)畫”，選擇“GeoGebra腳本”，輸入指令：?jiǎn)?dòng)動(dòng)畫(false)。

在可視化教學(xué)中，通過點(diǎn)擊按鈕“跟蹤軌跡”、“改變實(shí)部(a)”、在滑動(dòng)條a的屬性中改變動(dòng)畫方向等操作，實(shí)現(xiàn)z0實(shí)部a的遞增或遞減變化的演示。從運(yùn)動(dòng)軌跡看出：若z0在z平面上沿x軸正方向做直線運(yùn)動(dòng)，則w0在w平面上沿遠(yuǎn)離原點(diǎn)的方向做直線運(yùn)動(dòng)，若z0沿x軸負(fù)方向做直線運(yùn)動(dòng)，則w0沿向著原點(diǎn)的方向做直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)z0在y軸左側(cè)時(shí)，w0在陰影所示的單位圓內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)z0在y軸右側(cè)時(shí)，w0在單位圓外部運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。

圖1 復(fù)指數(shù)函數(shù)可視化演示1

同樣，在點(diǎn)擊按鈕“取消跟蹤”、“清除軌跡”后，通過點(diǎn)擊按鈕“跟蹤軌跡”、“改變虛部(b)”，在滑動(dòng)條b的屬性中改變動(dòng)畫方向等操作，實(shí)現(xiàn)z0虛部b的遞增或遞減變化的演示。從運(yùn)動(dòng)軌跡看出：若z0沿y軸正方向做直線運(yùn)動(dòng)，則w0繞原點(diǎn)做逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)。而z0沿y軸負(fù)方向做直線運(yùn)動(dòng)，則w0繞原點(diǎn)做順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)。其中，當(dāng)z0移動(dòng)過距離2π后，w0剛好回到起點(diǎn)。由此可知，w0為周期函數(shù)，周期為2kπi(k∈)，如圖2所示。

圖2 復(fù)指數(shù)函數(shù)可視化演示2

由上述演示看出，復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)雖然是實(shí)變量的指數(shù)函數(shù)的推廣，但由于定義域的不同，函數(shù)性質(zhì)發(fā)生了很大的變化，比如ez的周期性是ex所沒有的。

2.2 復(fù)指數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)形式

在復(fù)變函數(shù)中，Taylor級(jí)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，函數(shù)的Taylor展開作為復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，不但有理論價(jià)值，更有現(xiàn)實(shí)意義。下面借助GeoGebra來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)指數(shù)函數(shù)的Taylor展開式的可視化，步驟要點(diǎn)如下：

(1)繪制復(fù)數(shù)z=a+ib、ea和ez所對(duì)應(yīng)的向量

在指令欄依次輸入：b=imaginary(z_0)、u=向量((e^real(z_0),0))、v=旋轉(zhuǎn)(u,b)、α=角度(u,v)、β=arg(z_0)。

(2)繪制ez的Taylor展開式中的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的向量

在繪圖區(qū)中新建滑動(dòng)條n(取值范圍為[0,10]，增量為1)。

在指令欄依次輸入：O=(0,0)、list1=序列(1/i!*z_0^i,i,0,n)、list2=序列(總和(list1,i),i,1,n+1)、list3=添加(O,list2)、list4=序列(向量(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list5=序列(直線(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list6=序列(量角(元素(list5,i),元素(list5,i+1)),i,1,n)、list7=序列(中點(diǎn)(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list8=序列(z^i/i!,i,0,n)、list9=序列(文本(元素(list6,i),元素(list5,i),false,true),i,1,n+1)。

(3)有關(guān)文本

在指令欄依次輸入：f(x)=總和(list6)、a(x,y,z)=f(z)。

在可視化教學(xué)中，通過拖動(dòng)繪圖區(qū)內(nèi)復(fù)數(shù)點(diǎn)z=a+ib改變z的值，拖動(dòng)滑動(dòng)條n改變Taylor展開式的階數(shù)等操作，實(shí)現(xiàn)復(fù)指數(shù)函數(shù)的Taylor展開的演示。當(dāng)拖動(dòng)滑動(dòng)條n使之遞增時(shí)，Taylor展開式的階數(shù)隨之增大，展開式相鄰兩項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的向量的夾角始終等于arg(z)，而整個(gè)展開式的部分和逐步逼近ez，如圖3所示。改變的值以進(jìn)一步觀察，此時(shí)需要特別注意當(dāng)z的實(shí)部或虛部為0等特殊情況，如圖4所示。

除了復(fù)指數(shù)函數(shù)外，利用GeoGebra同樣可以研究其他初等函數(shù)的性質(zhì)，這里不再贅述。在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)以實(shí)變量和復(fù)變量函數(shù)的異同為切入點(diǎn)，緊緊抓住函數(shù)性質(zhì)上出現(xiàn)的保留、失去、增加等情況，引導(dǎo)學(xué)生通過操作軟件自主觀察、探究復(fù)變量函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而和熟悉的實(shí)變量函數(shù)作對(duì)比，以加深對(duì)復(fù)變量函數(shù)性質(zhì)的理解。

3 GeoGebra可視化教學(xué)效果分析

為了解GeoGebra可視化教學(xué)后學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，作者以復(fù)指數(shù)函數(shù)這一部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)結(jié)束后對(duì)班級(jí)36名學(xué)生開展問卷調(diào)查，問卷包括6個(gè)單選題，回收有效問卷36份，統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果如表1所示。

圖3 復(fù)指數(shù)函數(shù)可視化演示3

圖4 復(fù)指數(shù)函數(shù)可視化演示4

表1 使用 GeoGebra 可視化教學(xué)效果的分析

調(diào)查表明，100%的學(xué)生認(rèn)為使用GeoGebra能提高學(xué)習(xí)興趣，91.7%的學(xué)生認(rèn)為課堂上使用GeoGebra能吸引他們的注意力，88.9%的學(xué)生認(rèn)為GeoGebra的動(dòng)態(tài)可視化效果能加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，86.1%的學(xué)生認(rèn)為GeoGebra能夠降低課程的學(xué)習(xí)難度。

綜上，大部分學(xué)生都對(duì)GeoGebra在加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)理解能力、提升學(xué)生興趣和學(xué)習(xí)效果中的作用給出了有較好的評(píng)價(jià)。

4 結(jié)束語(yǔ)

復(fù)變函數(shù)的理論是由幾何特征明顯的復(fù)數(shù)理論逐步發(fā)展而來(lái)的，是一門數(shù)、量、形相結(jié)合的課程，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重將抽象的理論和直觀的圖形綜合起來(lái)。GeoGebra的優(yōu)勢(shì)在于強(qiáng)大的繪圖功能，利用GeoGebra進(jìn)行可視化教學(xué)，將抽象、復(fù)雜的理論以具體、形象的方式展示出來(lái)，幫助學(xué)生透過概念的直觀印象建構(gòu)其本質(zhì)特征，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用。在開放教育的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)不斷對(duì)其深入研究，以更好地提高教學(xué)質(zhì)量。