基于SIR模型的新冠肺炎疫情傳播預(yù)測(cè)分析

張艷霞，李 進(jìn)

(安徽工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

傳染病不僅嚴(yán)重威脅人們的生命安全，也嚴(yán)重阻礙人類社會(huì)的發(fā)展，如古希臘的天花疫情、古羅馬及歐洲的鼠疫與霍亂、2003年我國SARS病毒非典型肺炎及2014年非洲埃博拉病疫情等。2019年12月30日我國出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(簡(jiǎn)稱新冠肺炎)疫情，自疫情開始30 d內(nèi)新冠肺炎確診人數(shù)就超過非典型肺炎的確診人數(shù)。至2月23日，全國共累計(jì)報(bào)告確診的新冠肺炎病例77 150例，共累計(jì)死亡病例2 592例。其中，湖北省累計(jì)確診的病例64 287例，累計(jì)死亡病例2 495例，在全國累計(jì)確診的病例中湖北省占相當(dāng)高的比例[1]。因此，及時(shí)預(yù)測(cè)分析新冠肺炎疫情傳播趨勢(shì)對(duì)于疫情的有效防控與防治具有重要意義。

科研工作者常采用數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)傳染病不蔓延條件、預(yù)測(cè)分析傳染病流行與受感染者變化趨勢(shì)等，據(jù)此制定相應(yīng)的防控辦法。現(xiàn)有傳染病預(yù)測(cè)模型有Malthus模型，簡(jiǎn)稱S模型[2]，S模型隨著時(shí)間的延長最終未感染者均變成感染者，預(yù)測(cè)結(jié)果不符合實(shí)際，主要原因是有效接觸的人若是感染者不能使感染者數(shù)增加，須區(qū)分感染者和未感染者。為區(qū)分感染者(susceptible)與未感染者(infective)，建立了Logistic 模型[3]，簡(jiǎn)稱SI 模型，SI模型沒有考慮治愈者因素，預(yù)測(cè)結(jié)果也不符合實(shí)際情況。對(duì)于治愈者沒有免疫能力可能再次被感染的情況，多采用SIS模型(susceptible-infective-susceptible)。對(duì)于治愈者有免疫能力不再被感染，多采用經(jīng)典的SIR模型(susceptible-infective-removed)[2-3]，經(jīng)典的SIR模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可操作性強(qiáng)，適用于描述疾病發(fā)展的整體趨勢(shì)，因而得到廣泛應(yīng)用。如文獻(xiàn)[4-5]中利用經(jīng)典SIR模型對(duì)2003年北京市SARS疫情進(jìn)行了分析，從整體上描述了疫情發(fā)展的趨勢(shì)及疾病傳播的一般規(guī)律，但該模型忽略了部分細(xì)節(jié)因素，如沒考慮傳染病死亡者。鑒于此，文中針對(duì)新冠肺炎疫情傳播狀況，考慮新冠肺炎死亡者因素，對(duì)經(jīng)典的SIR模型進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)出新型冠狀肺炎疫情不蔓延的條件，采用改進(jìn)的SIR模型對(duì)新冠肺炎疫情進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，以期為新冠肺炎疫情防控與防治措施的制定提供數(shù)據(jù)參考。

1 SIR模型的改進(jìn)

經(jīng)典的SIR模型把人群分為三類，即感染者、未感染者、治愈者。文中針對(duì)新冠肺炎疫情傳播狀況，考慮新冠肺炎死亡者因素，改進(jìn)經(jīng)典的SIR模型，將人群分為未感染新冠肺炎者(未感染者)、新冠肺炎者(感染者或病人)、新冠肺炎治愈者(治愈者)、新冠肺炎病死亡者(死亡者)，但不考慮出生和自然死亡因素。

1.1 模型假設(shè)

1)設(shè)未感染者、感染者、治愈者、死亡者所占比例分別為s(t)，y(t)，r(t)，q(t)，這里s(t)+y(t)+r(t)+q(t)=1；

2)設(shè)病人的日接觸率為λ，即每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)，日治愈率為μ(治愈人數(shù)占病人總數(shù)的比例)，傳染病死亡率為m，即死亡人數(shù)占病人總數(shù)的比例；

3)假設(shè)人群中總?cè)藬?shù)N不變，不考慮出生和自然死亡因素。

1.2 模型建立

首先給時(shí)間t一個(gè)增量Δt，考慮在Δt內(nèi)增加的病人數(shù)及減少的未感染者、治愈者及死亡者人數(shù)，則Δt內(nèi)增加的病人數(shù)為

Δt內(nèi)減少的未感染者

Δt內(nèi)減少的治愈者

Δt內(nèi)減少的死亡者

將式(1)～(4)兩端除以Δt，消去N，取極限得

假設(shè)初始條件為y(0)=y0，s(0)=s0，r(0)=r0，q(0)=q0，y0+s0≈1，由此不能計(jì)算出模型(5)的解析解。這里只分析s(t)，q(t)，r(t)隨時(shí)間t的變化關(guān)系。

證明 設(shè)D(s,y)={(s,y)|s≥0,y≥0,s+y≤1},在D(s,y)上分析y(t)隨s(t)的變化趨勢(shì)。式(5)中前兩式相除可得

解微分方程(6)，再由初始條件y(0)=y0可得

(7)式兩端對(duì)s求導(dǎo)得

圖1 傳染病擴(kuò)散示意圖Fig.1 Schematic diagram of spread of infectious diseases

(1)在死亡率m不變的情況下，提高治愈率μ，降低日接觸率λ；

(2)在死亡率m降低的情況下，更要提高治愈率μ，降低日接觸率λ；

2)降低s0，r0=1-s0-y0-q0，在y0，q0不變的情況下，降低s0，即提高r0，也即提高全民的免疫能力。

由以上分析可得出有效防控防治新冠肺炎疫情不擴(kuò)散的措施：全民相對(duì)隔離，即少出門、戴口罩、早發(fā)現(xiàn)、早隔離，尤其是絕對(duì)隔離病人降低日接觸率；勤洗手、多通風(fēng)、鍛煉身體，提高衛(wèi)生條件和免疫力。

2 新冠肺炎疫情傳播的預(yù)測(cè)分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

實(shí)證選取數(shù)據(jù)總?cè)藬?shù)N=60 000 000，以2020年1月23日國家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的新冠肺炎數(shù)據(jù)作為未感染者比例r(t)、s(t)、感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、治愈者比例r(t)的初始值，即s(0)，y(0)，r(0)，q(0)分別為0.999 976，0.000 014，0.000 000 6，0.000 000 4。根據(jù)2月1日至2月8日國家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的實(shí)際數(shù)據(jù)，可知2月1日至2月8日的平均治愈率為0.042 386，平均死亡率為0.022 778。由此賦值日治愈率μ=0.042 386，死亡率m=0.022 778，預(yù)測(cè)天數(shù)t=180 d。根據(jù)改進(jìn)的SIR 模型方程(5)，采用龍格庫塔法編程等數(shù)值模擬新冠肺炎疫情傳播，預(yù)測(cè)疫情的發(fā)展趨勢(shì)。

2.2 模擬結(jié)果與分析

2.2.1 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.3

假設(shè)病人的日接觸率λ=0.3，根據(jù)改進(jìn)的SIR模型方程(5)，采用MATLAB 軟件及龍格庫塔法編程預(yù)測(cè)新冠肺炎疫情自2020年1月23日起180 d內(nèi)的發(fā)展趨勢(shì)，結(jié)果分別如圖2，3。

圖2 λ=0.3 改進(jìn)SIR模型的MATLAB曲線Fig.2 MATLAB curves of improved SIR model with λ=0.3

圖3 λ=0.3 改進(jìn)SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.3 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.3

表1為λ= 0.3 時(shí)，采用龍格庫塔法模擬計(jì)算的新冠肺炎疫情自1 月23 日起第10，20，30 d 未感染者、感染者、治愈者、死亡者的比例。根據(jù)表1 可計(jì)算出：t=10 d即2月2日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為7 078，1 152，571 人；t=20 d 即2 月12 日感染者、治愈者、死亡者分別為75 214，13 360，6 556人。而國家衛(wèi)健委官網(wǎng)顯示[1]：2月2日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為17 205，475，361 人；2 月12 日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為59 804，5 911，1 367人。對(duì)比模擬與官網(wǎng)顯示數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：1月23日至2月2日，感染者人數(shù)的計(jì)算值比實(shí)際值小，說明1月23日至2月2日病人的日接觸率大于0.3；1月23日至2月12日，感染者人數(shù)的計(jì)算值比實(shí)際值大，說明1月23日至2月12日病人的日接觸率小于0.3。

由上述分析可推斷，1月23日至2月2日病人的日接觸率大于0.3，后面20 d病人的日接觸率有所降低。若病人的日接觸率不降低，從圖3可看出感染者比例的最大值較大，即感染者人數(shù)較多，這與實(shí)際數(shù)據(jù)不相符，故進(jìn)一步降低病人的日接觸率λ進(jìn)模擬。

2.2.2 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.2

假設(shè)λ=0.2 根據(jù)改進(jìn)的SIR模型方程(5)，采用龍格庫塔法編程得出未感染者比例s(t),感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、死亡者比例q(t)隨時(shí)間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖4。

表1 λ=0.3，3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的未感染者、感染者、治愈者、死亡者的比例Tab.1 Proportion of uninfected,infected,cured and dead people in three time nodes with λ=0.3

圖4 λ=0.2 改進(jìn)SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.4 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.2

從圖4可看出，感染者比例最大值約為0.32，治愈者與死亡者比例最終分別趨于0.63，0.31。對(duì)比圖3，4可看出，進(jìn)一步降低日接觸率后，感染者比例y(t)的最大值明顯降低，最大值達(dá)到的時(shí)間推后。由于日接觸率的降低，感染的機(jī)會(huì)變小，即傳播速度變慢，因此達(dá)到最大值的時(shí)間推后，模擬情況符合符合實(shí)際情況。

根據(jù)改進(jìn)的SIR 模型方程(5)，λ=0.2 時(shí)，采用龍格庫塔法計(jì)算的新冠肺炎疫情自1 月23 日起的第10，20，30 d 未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例，結(jié)果如表2。根據(jù)表2 可計(jì)算出t=10，20，30 d 時(shí)的感染者、治愈者與死亡者人數(shù)，即2 月2，12，22 日感染者的人數(shù)分別為2 878，11 304，44 359人，治愈者人數(shù)分別為667，3 278，13 527人，死亡者人數(shù)分別為333，1 613，6 637 人。上述計(jì)算值小于國家衛(wèi)健委官網(wǎng)顯示的感染者、治愈者、死亡者的數(shù)值，說明從1月23日至2月22日內(nèi)日接觸率大于0.2。若日接觸率不降低，始終是0.2，感染者比例的最大值為0.320 027，即感染者的最大人數(shù)仍然很多，因此需進(jìn)一降低日接觸率。

2.2.3 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.15

假設(shè)λ=0.2，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時(shí)間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖5。

表2 λ=0.2，3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)未感染者、感染者、治愈者、死亡者比例Tab.2 Proportion of uninfected,infected,cured and dead people in three time nodes with λ=0.2

圖5 λ=0.15 改進(jìn)SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.5 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.15

2.2.4 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.10

假設(shè)λ=0.10，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時(shí)間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖6。

圖6 λ=0.1 改進(jìn)SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.6 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.1

從圖6可看出，感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、死亡者比例q(t)隨時(shí)間變化的曲線形狀及其最大值都很接近，當(dāng)t=180 d時(shí)，y(t)最終趨于0.01，r(t)最終趨于0.012，q(t)最終趨于0.006。對(duì)比圖2～6可發(fā)現(xiàn)，隨著病人日接觸率的降低，感染者比例的最大值逐漸降低，取得最大值的時(shí)間逐漸往后推移。由于病人日接觸率的降低，感染機(jī)會(huì)變小，即傳播速度變慢，因此達(dá)到最大值的時(shí)間推后，但最大值降低，符合疫情傳播實(shí)際。

2.2.5 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.05

假設(shè)λ=0.05，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時(shí)間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖7。

圖7 λ=0.05 改進(jìn)SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.7 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.05

從圖7可看出，感染者比例是一直在下降，此時(shí)新冠肺炎疫情沒有傳播。根據(jù)結(jié)論2中新冠肺炎疫情不蔓延的條件及2.1中初始值的選取，可得當(dāng)λ＜0.065 163 時(shí)，新冠肺炎疫情不再傳播。因此嚴(yán)格控制日接觸率是最有效的防控新冠肺炎疫情不傳播的措施。

3 結(jié) 論

考慮傳染病死亡者因素，改進(jìn)經(jīng)典的SIR 模型，以2020 年1 月23 日公布的新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)作為初始值，根據(jù)改進(jìn)的模型方程，采用龍格庫塔法編程模擬預(yù)測(cè)新冠肺炎疫情的傳播趨勢(shì)，得到如下主要結(jié)論：

1)在日接觸率取定的情況下預(yù)測(cè)感染者所占比例的最大值及達(dá)到最大值的時(shí)間，以及治愈者和死亡者比例的極限值。根據(jù)不同的日接觸率計(jì)算3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)感染者的人數(shù)并與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，得出1月23日至2月2日的日接觸率大于0.3，1月23日至2月22日的日接觸率小于0.3且大于0.2。由此驗(yàn)證隔離方法能有效降低日接觸率。

2) 推導(dǎo)出新冠肺炎疫情不蔓延的條件，利用這一條件得出在治愈率和死亡率不變的情況下，當(dāng)λ＜0.065 163 時(shí)，新冠肺炎病毒疫情不蔓延。由此得出降低日接觸率是最有效的防控疫情不再傳播的措施，即采取全民相對(duì)隔離、少出門、戴口罩、早發(fā)現(xiàn)、早隔離、病人絕對(duì)隔離等方法，通過勤洗手、多通風(fēng)、鍛煉身體等方式提高人們自身免疫力，從而有效降低日接觸率。

3)在新冠肺炎疫情傳播初期，采用改進(jìn)的SIR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，可為疫情防控防治措施的制定提供有益的參考。因疫情傳播實(shí)際過程中日接觸率、治愈率變化較快，且還有其他因素也在變化，因此改進(jìn)的SIR模型相對(duì)來說還比較理想化，后續(xù)還需進(jìn)一步改進(jìn)。