基于復(fù)形法的鋼框架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)多層次優(yōu)化設(shè)計(jì)

陶清林，徐立洲，孔 炯

(1.安徽工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032；2.中國十七冶集團(tuán)有限公司冶金工程技術(shù)公司，安徽馬鞍山243000)

優(yōu)化設(shè)計(jì)是指從所有可行性方案中尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到預(yù)期、效果最滿意的方案，工程各環(huán)節(jié)無不存在優(yōu)化的問題。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)思想最早可追溯到1854年Maxwell J C提出的基本原理和1904年Michell A G發(fā)展和應(yīng)用的布局理論(Michell桁架)。1960年，Schmit L A通過用數(shù)學(xué)規(guī)劃來解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)并取得巨大成功，成為優(yōu)化方法的理論基礎(chǔ)[1]。在過去的幾十年中，結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論有了長足的發(fā)展，越來越多的設(shè)計(jì)問題都可以用一系列的運(yùn)算法則進(jìn)行優(yōu)化。Zacharenaki等[2]借助Pushover-IDA工具提出了基于性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化算法，并顯著降低了一棟9層鋼結(jié)構(gòu)的成本費(fèi)用；李剛等[3]以構(gòu)件用量和層間位移角為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)分災(zāi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；徐龍河等[4]以損傷和滯回耗能作為評(píng)價(jià)指標(biāo)識(shí)別最不利地震動(dòng)下的失效模式，并用基于性能的多目標(biāo)優(yōu)化方法提高結(jié)構(gòu)的抗震性能；李志強(qiáng)等[5]以工程造價(jià)最小和斜截面抗剪承載力最大為優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)用最優(yōu)性準(zhǔn)則K-T條件對(duì)鋼骨混凝土構(gòu)件的混凝土截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。但是目前多層次的優(yōu)化設(shè)計(jì)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中鮮有報(bào)道。

工程結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)優(yōu)化有一維探索優(yōu)化方法、無約束優(yōu)化方法和約束問題優(yōu)化方法，其中，約束問題優(yōu)化方法是工程設(shè)計(jì)中常見的優(yōu)化方法，約束問題優(yōu)化又可分為隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、懲罰函數(shù)法，前三者屬于直接法，懲罰函數(shù)法屬于間接法[6]。復(fù)形法(complex method)作為解決非線性有約束最優(yōu)規(guī)劃的可靠方法之一，以其在高靈活性、廣搜索域、強(qiáng)不等式約束等方面的絕對(duì)優(yōu)勢，受到了工程界的青睞[7]。鑒于此，本文基于鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論及復(fù)形法優(yōu)化思想，借助Matlab軟件平臺(tái)運(yùn)用復(fù)形法優(yōu)化思想分別對(duì)鋼框架進(jìn)行結(jié)構(gòu)層次多目標(biāo)優(yōu)化分析和構(gòu)件層次的優(yōu)化，旨在為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法提供思路。

1 復(fù)合形法的優(yōu)化模型

復(fù)形法是一種常見的直接搜索法，可用于解決有約束條件的非線性規(guī)劃問題。復(fù)形法基本思想來源于單純形法，這個(gè)方法是在n維受非線性約束的設(shè)計(jì)空間內(nèi)，由K ＞(n+1)個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成多面體，成為復(fù)形。然后對(duì)復(fù)形的各頂點(diǎn)函數(shù)值逐一進(jìn)行比較，不斷丟掉函數(shù)值最劣的頂點(diǎn)，代入滿足約束條件，且函數(shù)值有所改善的新頂點(diǎn)，如此重復(fù)，逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)為止，復(fù)形法思維導(dǎo)圖如圖1。

圖1 復(fù)形法思維導(dǎo)圖Fig.1 The minding map of complex method

復(fù)形法由于不必保持規(guī)則圖形，較之單純形法更為靈活可變。除此之外，其在探索最優(yōu)解的過程中，檢驗(yàn)整個(gè)可行區(qū)域，因此所求結(jié)果可靠，收斂較快，且能有效地處理不等式約束的問題。和目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法相比，如果函數(shù)復(fù)雜，或則隱式的話，計(jì)算導(dǎo)數(shù)較為困難，用復(fù)形法有較多的優(yōu)點(diǎn)[8]。設(shè)y=minF(X)，復(fù)形法數(shù)學(xué)模型表達(dá)如下：

設(shè)計(jì)變量

約束條件

收斂準(zhǔn)則

式中：ai和bi為邊界條件，表達(dá)為設(shè)計(jì)變量的上限、下限；F(X)C，F(xiàn)(X)j分別為形心處和各頂點(diǎn)處函數(shù)值；ε建議取目標(biāo)函數(shù)值的1/1 000 ～1/100。

2 工程概況

某地一榀兩跨六層鋼結(jié)構(gòu)框架結(jié)構(gòu)，跨度均為6.3 m，各層層高均為3.3 m，樓板集中質(zhì)量m1-6=21 000 kg。優(yōu)化前采用PKPM設(shè)計(jì)軟件中的STS模塊進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算，結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果為：風(fēng)載作用下柱頂最大水平位移，節(jié)點(diǎn)(16)dx=16.999 mm=H/1 165 ＜柱頂位移容許值H/500；梁的(恒+活)最大撓跨比1/1 183＜梁的容許撓跨比1/400；梁的(活)最大撓跨比1/3 117＜梁的容許撓跨比1/500；鋼柱的總質(zhì)量3 991 kg；鋼梁的總質(zhì)量4 653 kg；鋼梁與鋼柱質(zhì)量8 644 kg。設(shè)計(jì)所得的梁、柱截面信息如圖2，結(jié)構(gòu)參數(shù)信息見表1。

圖2 PKPM軟件設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.2 Results of PKPM software design

表1 PKPM軟件設(shè)計(jì)所得結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters obtained from PKPM software design

3 鋼框架結(jié)構(gòu)層次的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)變量

鋼框架的梁、柱一般采用寬翼緣組合H 型截面，鋼框架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布與各桿件的截面慣性矩I、截面積A及截面抵抗拒W有關(guān)[8]。工程界常用取值統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示[9]，H 型鋼截面面積A及截面抵抗矩W與截面慣性矩I之間有如下關(guān)系：，W＝0.78Ix0.75，Iy=0.36Ix。考慮到變量的靈敏度，文中以鋼框架梁、柱的慣性矩為設(shè)計(jì)變量：I=(I1,I2,…,In)T。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

以反映抗震性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最大化和反映工程造價(jià)最低的結(jié)構(gòu)用鋼量最小化為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能U(I)和工程用鋼量V(I)分別按式(4)，(5)計(jì)算：

式中：Qnk和δnk分別為第k振型下第n層層間剪力和層間水平位移；N為結(jié)構(gòu)層數(shù)；K為振型數(shù)；mb為梁個(gè)數(shù)；mc為柱個(gè)數(shù)；Ab和Ac分別為梁、柱截面面積，實(shí)際工程中常取A=0.80I0.5x。

為保證結(jié)構(gòu)在工程服役期間性能最優(yōu)的同時(shí)減少工程造價(jià)，使兩者目標(biāo)方向達(dá)到統(tǒng)一，改變應(yīng)變能項(xiàng)符號(hào)，并采用加權(quán)系數(shù)法將兩目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式見式(6)，此時(shí)優(yōu)化目標(biāo)為使目標(biāo)函數(shù)F(I)達(dá)到最小值。

式中：α和β分別為應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)和工程用鋼量加權(quán)系數(shù)，且α ＞0 ，β ＞0，α+β=1；U0和V0分別為U和V初始值，由起始慣性矩計(jì)算得到。

3.3 約束條件

優(yōu)化過程中，依據(jù)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)要求，有鋼框架強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等6個(gè)約束條件[10]：

1)梁柱強(qiáng)度約束

式中：Mbx，Mcx分別為梁、柱截面繞x軸的彎矩設(shè)計(jì)值；Nc為柱軸向力設(shè)計(jì)值；γx為截面塑性發(fā)展系數(shù)(對(duì)非直接承受動(dòng)載構(gòu)件，常取γx=1.05)；Wbx，Wcx分別為梁、柱截面抵抗矩；Ac為柱截面面積；f為鋼材抗拉、抗壓和抗彎強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

2)梁柱剛度約束

3)鋼柱穩(wěn)定約束

式中：βmx為平面內(nèi)穩(wěn)定驗(yàn)算等效彎矩系數(shù)，底層柱取1.0，其他層βmx=1-0.36N/Ncr，Ncr為彈性臨界力；為參數(shù)，；φx，φy分別為彎矩作用平面內(nèi)和平面外軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)，按規(guī)范取值；βtx為平面外穩(wěn)定驗(yàn)算等效彎矩系數(shù)，考慮構(gòu)件段內(nèi)有端彎矩和橫向荷載同在，使構(gòu)件段內(nèi)產(chǎn)生同向曲率時(shí)，βtx取1.0；φb為均勻彎矩作用時(shí)，構(gòu)件的整體穩(wěn)定系數(shù),

4)變形約束

式中柱的抗側(cè)剛度d=12EI h3，對(duì)其進(jìn)行修正，即D=αd=α(12EI h3)。

5)周期約束

為避免產(chǎn)生共振，此結(jié)構(gòu)周期要求控制在不小于0.45 s的范圍內(nèi)，即

式中：ΔT為計(jì)算結(jié)構(gòu)基本自振周期用的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)假想側(cè)移；α0為考慮非承重磚墻(填充墻)影響后的基本周期折減系數(shù)，框架結(jié)構(gòu)常取α0=0.7 ～0.8。

6)界限約束

3.4 優(yōu)化結(jié)果分析

依據(jù)復(fù)形法的操作思想，借助Matlab編程，編寫M文件fun1.m和confun.m(約束條件)，在Matlab的命令窗口依次輸入。編寫條件循環(huán)語句，最后使用fmincon優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行校核[11-12]。通過改變目標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)不同加權(quán)系數(shù)下多目標(biāo)的優(yōu)化，所得結(jié)果見表2。由表2可看出：當(dāng)α=0，β=1.0 時(shí)，多目標(biāo)優(yōu)化變化為用鋼量最小的單目標(biāo)優(yōu)化，當(dāng)α=1.0，β=0 時(shí)，多目標(biāo)優(yōu)化變化為應(yīng)變能最大的單目標(biāo)優(yōu)化；結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能主要由邊柱和中柱的慣性矩決定，慣性矩越小，結(jié)構(gòu)的變形能力越大，即結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能越大。

表2 不同加權(quán)系數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of the structure corresponding to different weight coefficients

為更好地分析加權(quán)系數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系，引入初始結(jié)構(gòu)用鋼量、結(jié)構(gòu)應(yīng)變能以消除目標(biāo)參數(shù)在量綱上的不同，得到結(jié)構(gòu)用鋼量和結(jié)構(gòu)應(yīng)變能優(yōu)化目標(biāo)與應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)α之間的關(guān)系曲線，結(jié)果如圖3（圖3中優(yōu)化目標(biāo)結(jié)構(gòu)用鋼量及應(yīng)變能為量綱為1的量），優(yōu)化結(jié)果顯示：結(jié)構(gòu)用鋼量和結(jié)構(gòu)應(yīng)變能優(yōu)化目標(biāo)值隨著應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)的增加而增加；優(yōu)化目標(biāo)在優(yōu)化設(shè)計(jì)函數(shù)中的權(quán)重由加權(quán)系數(shù)反映，具體結(jié)合結(jié)構(gòu)造價(jià)、力學(xué)性能等因素的側(cè)重點(diǎn)和導(dǎo)向取值。

圖3 應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)與優(yōu)化后結(jié)構(gòu)用鋼量應(yīng)變能的關(guān)系Fig.3 Relationship between weighted coefficient of strain energy and dimensionless steel consumption and dimensionless strain energy after optimization

4 鋼框架構(gòu)件層次的優(yōu)化分析

通過鋼框架結(jié)構(gòu)層次優(yōu)化得到了現(xiàn)行理論設(shè)計(jì)約束條件下構(gòu)件的最佳慣性矩，為得到構(gòu)件的具體參數(shù)設(shè)計(jì)值，在上述結(jié)構(gòu)層次優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，按同樣的方法對(duì)鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 數(shù)學(xué)模型的建立

設(shè)計(jì)變量

式中各參數(shù)物理意義見圖4標(biāo)注。

目標(biāo)函數(shù)

式中W(t)為單位長度下的構(gòu)件質(zhì)量。

約束條件

依據(jù)前文整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果，式中各參數(shù)取不同值：依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，tl=(250,150,5,10)，tu=(800,500,16,30)。

圖4 構(gòu)件截面參數(shù)Fig.4 Section parameters of the component

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

Lingo(linear interactive and general optimizer)為交互式的線性和通用優(yōu)化求解器，以快速精確求解非線性優(yōu)化問題而被廣泛使用，故文中借助Lingo優(yōu)化軟件對(duì)鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化后的鋼框架梁、柱截面參數(shù)列于表5中，值得注意的是表5中的數(shù)據(jù)完全依據(jù)優(yōu)化所得，若將其應(yīng)用于實(shí)際工程，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整。

表5 基于整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化的構(gòu)件截面參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.5 Optimization results of component section based on overall structure optimization

為能直觀地觀察到加權(quán)系數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響，將構(gòu)件的優(yōu)化目標(biāo)值和優(yōu)化后鋼材節(jié)約量與加權(quán)系數(shù)α繪制成圖，結(jié)果如圖5,6。由圖5，6可以看出：相對(duì)于優(yōu)化前截面，優(yōu)化后的鋼框架構(gòu)件截面增加了型鋼截面高度，減小了型鋼截面寬度；優(yōu)化過程中，當(dāng)α≤0.6時(shí)，中柱節(jié)約量最大、梁次之、邊柱最少，當(dāng)α＞0.6時(shí)，中柱節(jié)約量最大、邊柱次之、梁最少；當(dāng)加權(quán)系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，截面高度發(fā)生小幅度變化，其余參數(shù)無變化，即案例中的截面高度是影響目標(biāo)函數(shù)值的主要因素。

圖5 應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between weighted coefficient of strain energy and objective function value

圖6 應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)與的單位長度鋼材節(jié)約比的關(guān)系Fig.6 Relationship between weighting coefficient of strain energy and the steel saving ratio

5 結(jié) 論

基于復(fù)形法思想對(duì)鋼框架從結(jié)構(gòu)層次和構(gòu)件層次兩方面進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果與優(yōu)化前截面參數(shù)進(jìn)行比較，所得主要結(jié)論如下：

1)將鋼框架結(jié)構(gòu)的總用鋼量和應(yīng)變能作為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)用鋼量降低的同時(shí)，結(jié)構(gòu)性能也得到了提升，且隨著應(yīng)變能系數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)總用鋼量和結(jié)構(gòu)應(yīng)變能曲線均呈整體上升趨勢；

2)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能主要由邊柱和中柱的慣性矩決定，且慣性矩越小，結(jié)構(gòu)變形能力越大，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能也就越大；

3)構(gòu)件優(yōu)化過程中，當(dāng)α≤0.6時(shí)，中柱節(jié)約量最大、梁次之、邊柱最少，當(dāng)α＞0.6時(shí)，中柱節(jié)約量最大、邊柱次之、梁最少。優(yōu)化后的鋼框架構(gòu)件截面增加了截面高度，減小了截面寬度，且應(yīng)變能加權(quán)系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，截面高度是影響目標(biāo)函數(shù)值的主要因素。