淺談逆向思維在七年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘?要：七年級(jí)是小學(xué)升初中的過渡期與關(guān)鍵期，也是兒童認(rèn)知水平達(dá)到形式運(yùn)算階段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，例如有意識(shí)地在題目中開展逆向思維訓(xùn)練，為八年級(jí)下學(xué)期的反證法做鋪墊，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：逆向思維;七年級(jí)數(shù)學(xué);應(yīng)用

一、 ?引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，受傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響下，教師往往通過大量的重復(fù)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中直接得出問題的解決方法，也就是常說的正向思維。然而這種正向思維雖然能夠解決大部分基礎(chǔ)練習(xí)，但是一旦遇到難度較大的應(yīng)用題或幾何證明題時(shí)，學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)教師一講就懂，教師不講就發(fā)懵的狀態(tài)。這也是很多七年級(jí)家長(zhǎng)提出，孩子在小學(xué)明明成績(jī)很好，但是一到七年級(jí)成績(jī)就不如小學(xué)的問題。一方面，初中正好是兒童認(rèn)知發(fā)展階段的轉(zhuǎn)折點(diǎn);另一方面，從小學(xué)數(shù)學(xué)的形象思維到初中數(shù)學(xué)的抽象思維，學(xué)生需要一個(gè)轉(zhuǎn)化與吸收的過程。

為此，教師應(yīng)在七年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)上加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練。本文就七年級(jí)數(shù)學(xué)中一些實(shí)際例題進(jìn)行展開，和各位七年級(jí)數(shù)學(xué)教師共勉。

二、 逆向思維在七年級(jí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）公式類題目中逆向思維的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)的抽象思維體現(xiàn)在方方面面，其中數(shù)字到字母的轉(zhuǎn)化尤為明顯。以北師大版教材為例，七年級(jí)上期第三章《整式及其加減》中第一節(jié)字母表示數(shù)，就開始讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)字母可以表示任何數(shù)，為七年級(jí)下學(xué)期字母表示公式打下基礎(chǔ)。而在含字母的公式類題目中，常常會(huì)出現(xiàn)公式的逆運(yùn)用，這也就是一種逆向思維的應(yīng)用。

（二）應(yīng)用題中逆向思維的應(yīng)用

應(yīng)用題是很多學(xué)生從小學(xué)起就非常頭疼的題型，到了初中應(yīng)用題的文字內(nèi)容增多、難度增大，更是讓許多學(xué)生摸不著頭腦，主要原因有以下幾點(diǎn)：一是“入手難”，即應(yīng)用題文字較多時(shí)，學(xué)生先入為主的排斥心理、畏難情緒就紛紛爆發(fā)了;二是“數(shù)據(jù)多”，當(dāng)題目中數(shù)據(jù)較多時(shí)，學(xué)生往往很難提取出關(guān)鍵的重要的信息;三是“轉(zhuǎn)化難”，現(xiàn)在很多應(yīng)用題與實(shí)際相結(jié)合，而七年級(jí)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)較少，所以很難將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。針對(duì)以上問題，本文主要以逆向思維的應(yīng)用，以解決學(xué)生拿到題目束手無策的情況提供一些思路，促進(jìn)學(xué)生去探索新的方法解決應(yīng)用題。

例3?在我國(guó)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增;共燈三百八十一，請(qǐng)問頂層幾盞燈？”（倍加增是從塔的頂層到底層）。

北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)第五章的三到六節(jié)都是應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問題，應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問題的步驟：審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答，其中審題往往就是從問題出發(fā)，直接設(shè)元是設(shè)問題為未知數(shù)，再?gòu)囊阎獥l件中找到合適的數(shù)量關(guān)系以及等量關(guān)系，列出方程求解，這一過程其實(shí)就滲透了逆向思維。例3與中國(guó)古代數(shù)學(xué)相結(jié)合，在考查一元一次方程的應(yīng)用的同時(shí)滲透了數(shù)學(xué)歷史美。如果設(shè)頂層有x盞燈，根據(jù)“紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增”可以得出除了頂層外往下就分別是：2x盞燈、4x盞燈、8x盞燈、16x盞燈、32x盞燈、64x盞燈，再根據(jù)“共燈三百八十一”可列出方程：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，合并同類項(xiàng)后得：127x=381，系數(shù)化為一得：x=3，最后作答。通過一元一次方程的應(yīng)用題步驟可以看出，不同于小學(xué)應(yīng)用題直接列算式解答，初中方程思想更多的是活用逆向思維，從問題出發(fā)找到未知量與已知量的數(shù)量關(guān)系與等量關(guān)系，從而列方程解決問題。

例4?某中學(xué)的實(shí)驗(yàn)室買了一些試劑，第一次，實(shí)驗(yàn)教師用了全部試劑的一半零半瓶;第二次，實(shí)驗(yàn)教師在實(shí)驗(yàn)時(shí)不小心打翻了余下試劑的一半零半瓶;而第三次，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下將余下的一半零半瓶用完后，全部化學(xué)試劑都用完，請(qǐng)問共買了多少瓶試劑？

按照慣性思維也就是正向思維思考，設(shè)共買了x瓶試劑，那么第一次就用試劑12x+12，那么第二次用量較復(fù)雜，可分步引導(dǎo)，第一次用后還剩下的試劑為x-12x+12，其一半為12x-12x+12，所以第二次共用了12x-12x+12+12，當(dāng)學(xué)生分析到此時(shí)，已經(jīng)感覺到計(jì)算量較大，畏難情緒難免又會(huì)跑出來，并且哪怕繼續(xù)分析下去沒有邏輯問題，但是解方程的計(jì)算量大，容易出錯(cuò)并且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。所以此題可換一種思路，利用逆向思維分析問題，換一個(gè)突破口讓計(jì)算更加簡(jiǎn)便，如設(shè)第二次剩下x瓶試劑，則根據(jù)第三次全部用完可列出方程：12x-12=0，解得x=1，再設(shè)第一次剩下y瓶試劑，則根據(jù)第二次使用情況可列出方程：12y-12=1，解得y=3，最后設(shè)最初共買了z瓶試劑，則根據(jù)第一次使用情況可得：12z-12=3，解得z=7，這樣得出最后結(jié)論共買了7瓶試劑。通過這題我們不難看出，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)計(jì)算量較大或者等量關(guān)系難以找到時(shí)，我們不妨改變一下我們的思路，利用逆向思維先求出第二次或者第三次的試劑數(shù)量從而得出最終答案，這就要求教師在遇到這類題型時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，除了正向思維以外多利用逆向思維思考并探索更多的方法。

（三）幾何證明題中逆向思維的應(yīng)用

關(guān)于幾何證明題，以北師大版教材為例，其中七年級(jí)下冊(cè)第二章就介紹了相交線與平行線，第四章從認(rèn)識(shí)三角形到證明三角形的全等都是幾何證明題。對(duì)于小學(xué)從來沒接觸過證明題的七年級(jí)學(xué)生來講，幾何證明題是一大難點(diǎn)，當(dāng)然也是教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生梳理自己的邏輯思維，并用規(guī)定的證明題符號(hào)進(jìn)行書寫，而此時(shí)逆向思維的訓(xùn)練也是必不可少的，它能幫助學(xué)生更好地梳理自己的思路，從而書寫更加有邏輯性，也是拓展思維的好方法。

例5?如圖1所示，已知：M、N、P、Q在同一直線上，并且MN=PQ，MF∥EQ，EN∥PF，證明：MF=EQ，EN=PF。

例5中已知條件既有線段相等又有直線平行，對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來講，平行線的性質(zhì)不難，但是選取簡(jiǎn)單的條件能推導(dǎo)出結(jié)論的人并不多，所以教師在講授此類型題目時(shí)應(yīng)著重思維的訓(xùn)練。如果用逆向思維思考，要證明MF=EQ，EN=PF需證明△MFP≌△QEN，根據(jù)全等三角形的判定，要證明△MFP≌△QEN，需要找角相等和邊相等，再結(jié)合條件MN=PQ得出MP=NQ，所以兩個(gè)平行只需要證明角相等即可。通過此題不難看出活用逆向思維能讓思路更清晰，在書寫時(shí)只需要按正向邏輯順序書寫，保證幾何證明題的書寫不重不亂。

例6?如圖2所示，已知BCE、BAG、AFE是直線，其中AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。

求證：AD∥BE。

此題是平行線的判定與性質(zhì)的綜合性題目，學(xué)生往往慣性思維是根據(jù)題目條件分析，找到角的相等從而判定兩直線平行，但是往往由于七年級(jí)學(xué)生剛剛接觸幾何證明題，思維上的跳脫，書寫上的不規(guī)范都容易讓此題的解答過程千奇百怪，甚至跳步驟漏步驟被扣分的情形也比比皆是。所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維先想清楚自己到底要利用平行線的判定哪一條，再逆向的去找所需要的條件，讓思路更加清晰。平行線判定有三條，簡(jiǎn)稱為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;同位角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

例6可分別從這三方面求證：

證明1：要證∠2=∠E，且已知∠1=∠2，只需證∠E=∠1，而根據(jù)條件中∠3=∠4，所以只需證∠B=∠5即可。

證明2：要證∠B=∠6，且因?yàn)锳B∥CD可知∠6=∠D，只需證∠B=∠D，又因?yàn)椤?=∠2，∠3=∠4，可利用三角形內(nèi)角和以及對(duì)頂角相等即∠4=∠7，得證∠B=∠D。

證明3：要證∠B+∠BAD=180°，即證明∠B+∠1+∠8+∠2=180°，而由三角形內(nèi)角和可知∠B+∠1+∠3=180°，所以只需證∠3=∠8+∠2，根據(jù)三角形外角和性質(zhì)可知∠3=∠8+∠E，由證明1可證∠2=∠E，從而得證。

綜上所述，通過逆向思維七年級(jí)學(xué)生能開拓自己的思維，不會(huì)被一兩種方法所限制，并且能夠選擇最簡(jiǎn)單的證明過程書寫，這樣也提高了幾何題書寫混亂、跳步驟、漏步驟等難題。

三、 結(jié)語

逆向思維是七年級(jí)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目中必不可少的思維素質(zhì)，作為教師必須注意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生在解題過程中從別的角度出發(fā)，不要僅限于書本上的一種固定方法，以此突破學(xué)生在解題中的思維定式，解決正向思維無法解決的困難，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，為初中階段八九年級(jí)以及高中階段的數(shù)學(xué)思維做好鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

[1]付瑞艷.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界，2019（4）.

[2]曹斌.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程，2019（4）.

作者簡(jiǎn)介：王鈺琪，四川省成都市，四川大學(xué)附屬中學(xué)新城分校。