問題—建?！\(yùn)用

摘?要：初中階段的數(shù)學(xué)知識覆蓋面廣，涉及代數(shù)方面的有理數(shù)、幾何方面的三角形相似和全等等知識。初中階段的綜合應(yīng)用題在中考試卷中比重較大，教師設(shè)計(jì)試題時(shí)重點(diǎn)考查學(xué)生的綜合分析能力，通常聯(lián)系生活實(shí)際考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分類思想等。新課程改革到來之際，我國初中數(shù)學(xué)教師正在進(jìn)一步探索高效率的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用題教學(xué)方法。本文結(jié)合初中學(xué)生特點(diǎn)深入分析問題—建?！\(yùn)用的綜合應(yīng)用題思維教學(xué)模式，希望能夠?qū)⒗碚摵蛯?shí)踐結(jié)合，化抽象為具體，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作者帶來部分啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;綜合應(yīng)用;數(shù)學(xué)思維;實(shí)際問題

初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)追求標(biāo)新立異，在實(shí)踐探索中提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生個(gè)人能力。初中的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用題目強(qiáng)調(diào)理論知識和數(shù)學(xué)思維的結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的分析能力和應(yīng)用能力。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)采取科學(xué)的方法為學(xué)生提供專業(yè)的教學(xué)和指導(dǎo)，幫助學(xué)生深入理解初中數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生在課堂上獲得數(shù)學(xué)知識、提升個(gè)人能力并樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生的引導(dǎo)教學(xué)和思維滲透教育。

一、 數(shù)學(xué)建模概念及初中數(shù)學(xué)建模概述

數(shù)學(xué)建模是指建立合適的客觀數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)對于問題的探索和本質(zhì)規(guī)律的揭示。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用廣泛，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)建模只是數(shù)學(xué)建模中的一小部分，學(xué)生在大學(xué)階段仍然需要利用數(shù)學(xué)建模的思想解決問題。數(shù)學(xué)建模方法能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化，依靠假設(shè)實(shí)現(xiàn)變量的引入，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)公式解決實(shí)際的問題。初中學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，接觸實(shí)際綜合應(yīng)用問題時(shí)沒有清晰的思路，對此，初中數(shù)學(xué)教師可以從自身的生活經(jīng)驗(yàn)入手，為學(xué)生逐層分析數(shù)學(xué)問題，設(shè)置疑問，引出數(shù)學(xué)題目，引入合適的數(shù)學(xué)模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用能力，并創(chuàng)立合適情景鼓勵學(xué)生通過閱讀分析數(shù)學(xué)題目展開大膽的猜測和合理的推理，尋找合適的數(shù)學(xué)模型交流解決相關(guān)問題。

初中階段的數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)生活實(shí)際的抽象，教師需要整合學(xué)生的生活經(jīng)歷和學(xué)生的接受能力，為學(xué)生建立合適的數(shù)學(xué)模型，引發(fā)學(xué)生的深入探索。初中數(shù)學(xué)科目的綜合應(yīng)用題目題干普遍比較長，學(xué)生需要在較長的提干中提取有效的信息，教師在指導(dǎo)學(xué)生建模過程中應(yīng)當(dāng)從題干入手，將學(xué)生引入合適的問題情景之中，通過設(shè)問幫助學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)猜測和推理交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。初中階段的數(shù)學(xué)建模重點(diǎn)圍繞各個(gè)數(shù)學(xué)變量和定量之間的數(shù)量關(guān)系和它們的變化規(guī)律以及圖形和數(shù)字的結(jié)合應(yīng)用方法。采用問題—建模—應(yīng)用的數(shù)學(xué)滲透教學(xué)模式可以幫助學(xué)生更加全面的認(rèn)識生活中的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步了解社會進(jìn)步和數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的雙向促進(jìn)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)三維教學(xué)目標(biāo)，在提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力、豐富學(xué)生知識面之外進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)興趣。

二、 初中數(shù)學(xué)建模方法以及教學(xué)方法分析

初中的數(shù)學(xué)課程體系主要包括有理數(shù)與整式、幾何圖形、方程、概率與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以及函數(shù)，其中幾何圖形和函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，綜合應(yīng)用題目也經(jīng)常考查學(xué)生對于函數(shù)的構(gòu)造以及生活中的數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用。初中階段比較常見的數(shù)學(xué)建模方法主要有方程模型法、不等式構(gòu)造模型法、目標(biāo)函數(shù)模型構(gòu)建法、統(tǒng)計(jì)模型構(gòu)建法和幾何模型構(gòu)建方法，接下來本文將會做出詳細(xì)介紹。

（一）目標(biāo)函數(shù)模型構(gòu)建法

在初中階段，目標(biāo)函數(shù)的模型構(gòu)造是在綜合應(yīng)用題目中考查最為頻繁的一種建模方法。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生不僅需要理解函數(shù)的概念，同時(shí)也需要掌握函數(shù)的構(gòu)造方法，并且能夠理解一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖形走勢，進(jìn)而構(gòu)造合適的函數(shù)解決實(shí)際生活中的問題。目標(biāo)函數(shù)模型通常和最大利潤問題結(jié)合起來，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與分析能力。除此之外，學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)時(shí)還需要具備數(shù)形結(jié)合思想，例如初中常見的分析最大利潤問題，學(xué)生往往需要構(gòu)造合適的二次函數(shù)，尋找函數(shù)的最高點(diǎn)，確定最大利潤和具體的工作方案，在解題過程中，學(xué)生需要畫出函數(shù)的草圖，分析函數(shù)性質(zhì)，再利用函數(shù)表達(dá)式求出關(guān)鍵點(diǎn)。

這一類問題被稱為最優(yōu)化分析，學(xué)生需要整合題干中的有效信息，提取數(shù)據(jù)，構(gòu)造合適的函數(shù)，結(jié)合圖形或者是數(shù)學(xué)公式求出滿足題目中變量或定量范圍的函數(shù)的最大值或是最小值，得出最優(yōu)方案。

（二）方程與不等式模型構(gòu)建方法

初中階段，方程常常和未知數(shù)聯(lián)系起來對學(xué)生展開考查，而不等式強(qiáng)調(diào)對于范圍考查。方程模型的核心思想是方程的構(gòu)建，這一點(diǎn)同樣適用于不等式，即不等式模型的核心思想是構(gòu)造合適的不等式組或是不等式。生活中的各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系不全是等值關(guān)系，學(xué)生應(yīng)當(dāng)分析其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)題目所給出的數(shù)據(jù)范圍構(gòu)造合適的不等式。初中階段常見的綜合應(yīng)用題目還會對學(xué)生的不等式構(gòu)造和方程構(gòu)造實(shí)現(xiàn)綜合性考查，多數(shù)情況下，學(xué)生需要構(gòu)造出一元二次方程，并根據(jù)題目規(guī)定的數(shù)據(jù)范圍列出不等式排除方程的一個(gè)解，最終得到一個(gè)唯一解?？傮w來說，初中數(shù)學(xué)對于方程和不等式思想的考查主要集中在路程問題、分配問題以及生產(chǎn)方案的確定問題上，需要學(xué)生耐心分析數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位。

（三）幾何圖形及三角函數(shù)模型構(gòu)建方法

初中階段的幾何分析是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用題在幾何方面的考查點(diǎn)主要集中在三角形相似和全等上。學(xué)生需要深入理解三角形相似和全等的概念和性質(zhì)，能夠在題目給出的圖形中添加輔助線，找到相似三角形或全等三角形。除此之外，數(shù)學(xué)綜合分析類題目會涉及橋梁建筑等實(shí)際生活的知識，考查學(xué)生的模型構(gòu)建和抽象幾何思維。初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)和“圓”相關(guān)的知識時(shí)，會考查學(xué)生對于三角函數(shù)的構(gòu)造能力，學(xué)生需要靈活運(yùn)用余弦和正弦的知識，結(jié)合圓的性質(zhì)，解決問題。

（四）統(tǒng)計(jì)模型的構(gòu)建方法

學(xué)生從小學(xué)階段就已經(jīng)對統(tǒng)計(jì)知識有所接觸，但是初中階段的統(tǒng)計(jì)知識更為系統(tǒng)，同時(shí)會結(jié)合數(shù)據(jù)分析的思想，具有代表意義的章節(jié)是七年級下冊的《數(shù)據(jù)的收集、整理與描述》，學(xué)生需要展開統(tǒng)計(jì)調(diào)查，并學(xué)習(xí)直方圖的繪制，掌握抽樣方法的使用。教師指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型時(shí)需要為學(xué)生講解直方圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等的繪制方法，并幫助學(xué)生理解中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)學(xué)量的概念，指導(dǎo)學(xué)生分組總結(jié)數(shù)據(jù)，做出預(yù)測分析。

除了以上四個(gè)模型之外，數(shù)學(xué)建模還有其他的方式，但是核心思想都是將生活中的實(shí)際問題進(jìn)行抽象化，融入數(shù)學(xué)公式和定理，尋求問題的解決方案。教師在為學(xué)生講解模型構(gòu)造的具體方法時(shí)也應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生積極探索，適當(dāng)拓展數(shù)學(xué)知識，豐富學(xué)生的課堂體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用潛能。

三、 問題—建?！\(yùn)用的數(shù)學(xué)教學(xué)思想在初中綜合應(yīng)用分析題目教學(xué)課堂的滲透應(yīng)用分析

教師在指導(dǎo)學(xué)生展開建模之前應(yīng)當(dāng)為學(xué)生設(shè)置合理的問題，逐步引入需要討論的問題。比如教師在針對“目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建模型”展開教學(xué)之前，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生思考和模型相關(guān)的實(shí)際問題實(shí)現(xiàn)對課程的導(dǎo)入講解，比如“大家在生活中購物的目的是否是用最少的錢獲得最多的商品”“如何分配才能實(shí)現(xiàn)金錢的合理使用呢”等等，引發(fā)學(xué)生對于最優(yōu)化問題的思考。其次，教師可以利用多媒體設(shè)備為學(xué)生展示具體的題目，讓學(xué)生理清題目思路后指出自己的疑問以及題目的關(guān)鍵點(diǎn)和適用的模型，提高學(xué)生審題能力。

學(xué)生對于題目有了初步的認(rèn)知以后教師可以指導(dǎo)學(xué)生綜合利用列表、繪圖以及關(guān)系分析，能放大實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的抽象分析，把抽象的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言，這是建立模型的過程。對于不同的問題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生采用不同的抽象分析方法，例如教師針對七年級下冊的《數(shù)據(jù)的收集、整理與描述》展開綜合應(yīng)用題目講解時(shí)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生繪制合適的統(tǒng)計(jì)圖，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和整理。而教師在針對七年級下冊的第九章節(jié)《不等式與不等式組》展開教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提取題干信息，整理數(shù)學(xué)公式，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模。

合理建立數(shù)學(xué)模型以后，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生簡化應(yīng)用問題，把題目中的文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言并展開假設(shè)，平衡數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問題之間的關(guān)系，解答數(shù)學(xué)題目。近幾年來，初中階段的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用類題目都有所創(chuàng)新，有的題目會引入學(xué)生沒有接觸過的數(shù)學(xué)定理和概念，對此，教師應(yīng)當(dāng)在平時(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)符號，理解數(shù)學(xué)概念，將數(shù)學(xué)概念抽象為數(shù)學(xué)語言，實(shí)現(xiàn)對于新概念的認(rèn)知。

僅僅依靠良好的開端還不足以讓學(xué)生完全掌握數(shù)學(xué)模型在應(yīng)用類題目中的應(yīng)用方法，教師還需要通過布置小組作業(yè)和學(xué)習(xí)任務(wù)實(shí)現(xiàn)對知識的鞏固和應(yīng)用教學(xué)。學(xué)生建立模型解決數(shù)學(xué)問題后，教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生的題目解答做出評價(jià)，并為學(xué)生分配學(xué)習(xí)小組，指導(dǎo)學(xué)生按小組總結(jié)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法，為學(xué)生布置同一類型的模型構(gòu)建題目，提高學(xué)生的模型應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)高效率的教學(xué)鞏固。

四、 結(jié)語

數(shù)學(xué)思維和模型對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義。初中的數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)合理歸納數(shù)學(xué)建模方法，設(shè)置疑問實(shí)現(xiàn)課程導(dǎo)入，培養(yǎng)學(xué)生通過建立合適的數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際應(yīng)用類題目。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法多樣，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的掌握情況為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合適的問題情景，循循善誘，指導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)對實(shí)際問題的抽象和簡化，最終得出結(jié)果。初中的數(shù)學(xué)教學(xué)能夠啟發(fā)學(xué)生，鍛煉學(xué)生的理性思維，希望本文的建議能夠給初中建模教學(xué)工作者帶來一定啟發(fā)。

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作者簡介：劉新晴，甘肅省慶陽市，甘肅省慶陽市柔遠(yuǎn)初中。