“動(dòng)可見思可現(xiàn)”：建立空間觀念

樊曦

【摘要】從點(diǎn)到線，從線到面，從面到體，從平面觀念到空間觀念，這些抽象的幾何知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)。當(dāng)單一的知識(shí)相碰撞時(shí)，例如周長(zhǎng)與面積的區(qū)別、表面積與體積的區(qū)別、體積與容積的區(qū)別等等，學(xué)生總是難以理解并容易混淆概念。如何有效培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生做到心中有數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的正確模型去分析問題，成了學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;空間觀念;“動(dòng)可見 思可現(xiàn)”

一、教學(xué)中的問題所在

在五年級(jí)“體積與體積單位”教學(xué)中，筆者最擔(dān)心的事還是發(fā)生了：學(xué)生經(jīng)常把體積與之前學(xué)習(xí)的面積混為一談。在解決問題中，心里想的是體積，但計(jì)算結(jié)果是面積，把“高”遺漏了。當(dāng)進(jìn)行到體積單位時(shí)，學(xué)生暴露的問題更多了，回答問題時(shí)總是習(xí)慣說成面積單位。例如，文具盒的體積大約是400（ ? ），這是考查學(xué)生對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)體積單位大小的認(rèn)識(shí)，有學(xué)生會(huì)填上平方厘米的錯(cuò)誤答案。這不禁讓人產(chǎn)生疑問：課后學(xué)生能把面積單位與體積單位之間的區(qū)別、聯(lián)系說清楚嗎？我想這只有小部分的學(xué)生能分辨清楚。再思考，怎么能解決這個(gè)問題？細(xì)細(xì)想來，當(dāng)學(xué)生想到面積單位時(shí)，腦海中出現(xiàn)邊長(zhǎng)為1厘米、1分米、1米的正方形，當(dāng)想到體積單位時(shí)，腦海中出現(xiàn)之前的正方形通過不斷疊加或者三維構(gòu)建，最后成為棱長(zhǎng)為1厘米、1分米、1米的正方體。這樣在腦海中建立數(shù)學(xué)模型，可以清晰明確地分辨出面積與體積的區(qū)別與本質(zhì)聯(lián)系。那么問題隨之出現(xiàn)：怎么能讓學(xué)生準(zhǔn)確建立相應(yīng)的模型？根據(jù)教學(xué)實(shí)驗(yàn)、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在課堂中進(jìn)行“動(dòng)可見 思可現(xiàn)”的實(shí)操，幫助學(xué)生逐步建立空間觀念，有利于完成數(shù)學(xué)模型的建立。

二、“動(dòng)可見 ?思可現(xiàn)”，建模解決問題

【課堂重現(xiàn)】

通過列舉生活中一些物體，例如學(xué)生身邊的文具盒、講臺(tái)、數(shù)學(xué)書、橡皮等等，讓學(xué)生看、摸、感受這些物體的一個(gè)面。

師：（摸文具盒的蓋子面）這是文具盒蓋子的什么？

生：文具盒蓋子的面。

師：那它的大小是什么？

生：文具盒蓋子面的大小是文具盒蓋子面的面積。

師：誰還能像這位同學(xué)一樣，說出點(diǎn)其他的？

生：課桌面的大小是……，數(shù)學(xué)書封面的大小是……，地磚面的大小是……

師：很好！你們說的都是什么知識(shí)？

生：面的知識(shí)，也就是面積！

師：你們剛才都摸了面，面有什么特征呢？

生：平平的！

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們把剛才摸的物體整體摸一遍！有什么感受？與剛才摸的面有什么不同？

生：一個(gè)物體有許多的面構(gòu)成！

師：這些物體所占空間的大小還能叫作面積嗎？為什么？

生：不能！因?yàn)槊娴拇笮∈敲娣e，而這是占空間的大小。

明確物體都是占一定空間的，并且這些物體所占空間有的大有的小。

師：（拿著文具盒）文具盒所占空間的大小，就是文具盒的體積。（雙手比劃講臺(tái)的輪廓）講臺(tái)所占空間的大小就是講臺(tái)的體積。

生：（一邊雙手比劃，一邊說）書包所占空間的大小叫作書包的體積，鋼筆所占空間的大小叫作鋼筆的體積。

通過看和摸活動(dòng)的比較，學(xué)生初步感受面積和體積模型之間的聯(lián)系，能夠分辨面積與體積的不同。一般對(duì)于體積單位的教學(xué)，大多數(shù)教師都會(huì)采用直接告知的方法，例如拿出一個(gè)1立方厘米的小正方體，告知學(xué)生棱長(zhǎng)為1厘米的正方體的體積就是1立方厘米。這樣直接告知未嘗不可，但沒有很好的過渡，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)往往很難接受，造成回答問題時(shí)出口竟然是“平方”的尷尬，顯然學(xué)生沒有理解“平方”與“立方”的概念。由于知識(shí)本身難度以及學(xué)生可接受能力的限制，如若對(duì)學(xué)生講授“平方”是兩個(gè)相同數(shù)相乘，“立方”是三個(gè)相同數(shù)相乘，這對(duì)學(xué)生進(jìn)行建模是有影響的。改成從活動(dòng)中去感受由平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)變過程，學(xué)生在由“面”到“體”的過程中才能自主建立數(shù)學(xué)模型?？梢允孪葴?zhǔn)備拆成平面的塑料卡片，課上讓學(xué)生以小組活動(dòng)的方式探索如何把不同的塑料卡片轉(zhuǎn)變成一個(gè)立體圖形。

【課堂重現(xiàn)】

師：面積的單位是平方厘米、平方分米、平方米，而體積的單位是立方厘米、立方分米、立方米。你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們只相差了一個(gè)字，一個(gè)是“平”，而一個(gè)是“立”。

師：那這背后蘊(yùn)含了什么道理呢？“平方厘米”與“立方厘米”之間有什么聯(lián)系與不同呢？老師給每個(gè)小組準(zhǔn)備了一些不同的塑料卡片，都是什么形狀？

生：有長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓形。

師：都是不同的平面圖形！要是計(jì)算它們的大小，你覺得用什么單位合適？

生：面積單位，平方厘米！

此時(shí)PPT上展示各個(gè)圖形的面積大小。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們擔(dān)任小小建筑家，利用這些圖形建造出立體圖形。

學(xué)生進(jìn)行操作，教師指導(dǎo)，并提問要計(jì)算這些立體圖形的大小應(yīng)該用什么單位合適。

師：你們建造的圖形都是什么樣的？

學(xué)生展示成果并解釋是如何建造的。

生1：我們利用6個(gè)正方形，建造出了6個(gè)面都是正方形的物體。

師：很棒！這是正方體。

生2：我們利用4個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)正方形，建造出了這樣的物體。

師：很漂亮！這是長(zhǎng)方體。

生3：我們利用3個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)三角形，建造出了這樣的物體。

師：真有創(chuàng)意！這是三棱柱。

......

師：同學(xué)們的創(chuàng)意可真不少，看來咱們班有很多小建筑師?，F(xiàn)在老師有個(gè)問題，立體圖形建造出來了，如果要知道它們的大小，怎么辦？

生：就要計(jì)算它的體積。

師：用平方厘米合適嗎？如果把這些卡片的面積加在一起，是這些立體圖形的體積嗎？

生：不合適！那是面積單位。

師：面積加面積計(jì)算的還是面積，最后得到的這個(gè)圖形所有面的面積，并不是體積。那要想計(jì)算體積，就需要用到什么單位？

生：體積單位，立方厘米！

師：成功找到合適的單位，現(xiàn)在大家閉上眼睛，想一想剛才是怎么把一個(gè)個(gè)平面圖形建造成一個(gè)個(gè)立體圖形的？從平面圖形到立體圖形，計(jì)算它們的大小，發(fā)生了什么變化？

生：計(jì)算平面圖形的大小，是在計(jì)算它們的面積，而計(jì)算立體圖形的大小，是在計(jì)算物體占空間的大小，是體積。

師：你回答得很準(zhǔn)確！現(xiàn)在，相信你們對(duì)平方厘米和立方厘米有了更深的理解。現(xiàn)在再閉上眼睛，根據(jù)老師所說的，看看你們腦海里想到了什么？

師：平方厘米（學(xué)生閉眼）。

生1：面積。

生2：一個(gè)正方形。

生3：一個(gè)長(zhǎng)方形。

生4：平面圖形！

師：那立方厘米呢？

生1：體積。

生2：一個(gè)正方體。

生3：一個(gè)長(zhǎng)方體。

生4：立體圖形！

為什么低年級(jí)的學(xué)生理解掌握周長(zhǎng)、面積、體積種種概念較為困難？是因?yàn)樗麄冊(cè)谒伎挤治龅臅r(shí)候，腦海中是一團(tuán)亂麻，沒有清晰地、準(zhǔn)確地建立起相應(yīng)的模型。比如要求一個(gè)圓柱的表面積和體積，部分學(xué)生在腦海中想不出圓柱的表面積、體積的樣子，更別談?dòng)?jì)算了。通過以上的教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生在自主探究以及老師的引導(dǎo)下，通過主動(dòng)建模，在體積與面積、體積與體積單位之間找到了聯(lián)系。幫助學(xué)生手動(dòng)操縱、構(gòu)建模型、思考分析問題，逐步培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的空間思維能力，使學(xué)生的知識(shí)體系更加完善。

在學(xué)習(xí)了以上有關(guān)“體積和體積單位”的知識(shí)后，學(xué)生有了一定的思考，在腦海中建立了一定的模型，但是如何能讓這個(gè)模型更加準(zhǔn)確？當(dāng)學(xué)生遇到問題時(shí)，能立馬在腦海中迅速、準(zhǔn)確地調(diào)出模型，這就要求學(xué)生實(shí)際感受過體積的大小，把腦海中初步建立的1立方厘米、1立方分米、1立方米模型與標(biāo)準(zhǔn)的模型建立聯(lián)系，然后進(jìn)行不斷的修正。

【課堂重現(xiàn)】

師：你們知道1立方厘米有多大嗎？

生：一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體的大小就是1立方厘米。

師：你們說得很對(duì)！現(xiàn)在閉上眼睛，在腦海想一想，你想出1立方厘米有多大了嗎？

（全班閉眼思考）

師：你們有想法了嗎？說說你們是怎么想的？

生1：我先想到了一個(gè)面積是1平方厘米的正方形，然后在4個(gè)頂點(diǎn)豎起4個(gè)1厘米長(zhǎng)的邊，在上邊蓋上一個(gè)正方形，再把中間4個(gè)面也用正方形蓋住，這樣就建好了一個(gè)體積是1立方厘米的正方體。

生2：我直接就先想出一個(gè)正方體，然后把它的棱長(zhǎng)都改為1厘米，這就是1立方厘米的大小。

師：你們想的都很棒！現(xiàn)在，讓我動(dòng)動(dòng)手，根據(jù)剛才所思所想，利用你們手中的橡皮泥、工具創(chuàng)造出一個(gè)實(shí)體的1立方厘米！

（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)，并詢問學(xué)生創(chuàng)造的方法）

學(xué)生進(jìn)行展示：

生1：先做一個(gè)正方形，然后再做若干個(gè)正方形，最后疊加在一起。

師：你怎么能保證是1立方厘米？

生1：這些正方形的邊長(zhǎng)都是1厘米，最后疊加在一起的高也是1厘米，這樣就是1立方厘米。

生2：我先做一個(gè)小球，然后用尺子在各個(gè)面壓一壓，最后用尺子量一量。

生3：我先做一個(gè)長(zhǎng)條，然后量出1厘米的長(zhǎng)，然后切斷。

.......

師：你們的方法種類很豐富，看來你們都是小小建造師！

這一環(huán)節(jié)在一般教學(xué)中，很多老師會(huì)準(zhǔn)備1立方厘米、1立方分米、1立方米的實(shí)體模型讓學(xué)生看一看、摸一摸、比一比，這就是一種很好的通過直觀方式建立聯(lián)系的教學(xué)手法，能不能在此基礎(chǔ)之上，把這樣的聯(lián)系加固得更牢呢？經(jīng)過思考，既然要發(fā)揮學(xué)生的主體性，最后達(dá)到“動(dòng)可見 思可現(xiàn)”的目標(biāo)，何不在原先的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生自己創(chuàng)造一個(gè)“1立方厘米”！通過學(xué)生動(dòng)手創(chuàng)造的環(huán)節(jié)，學(xué)生用自己的雙手感受“1立方厘米”模型是如何建立的，把標(biāo)準(zhǔn)的模型、自己動(dòng)手創(chuàng)造的模型和腦海中建立的模型進(jìn)行聯(lián)系、比較，進(jìn)而建立起一個(gè)正確的、可操作的模型。

直觀想象，數(shù)學(xué)建模，如何培養(yǎng)學(xué)生形成這些核心素養(yǎng)，是每一個(gè)數(shù)學(xué)老師應(yīng)該關(guān)注的。課堂教學(xué)應(yīng)注意建立兩者之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模、動(dòng)手操作的目的都是為了學(xué)生在解決問題時(shí)能夠快速地通過直觀想象去思考、去分析，同時(shí)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手操作直觀學(xué)具，也是加固數(shù)學(xué)建模準(zhǔn)確性的方法。當(dāng)學(xué)生在課堂上腦動(dòng)、手動(dòng)，多感官參與課堂研討，所思所想也就自然流露在課堂中了。“動(dòng)可見 思可現(xiàn)”，從而使學(xué)生的空間思維力靜靜地生長(zhǎng)。