讓 “參數(shù)k ”亮出顏值，由“特征點”揭示內(nèi)涵

程軍

在一次函數(shù)應(yīng)用教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)“直線型”行程問題，圍繞運動情景讓學(xué)生寫出相應(yīng)的一次函數(shù)解析式，或畫出相應(yīng)圖象，或求速度等等，學(xué)生往往覺得聽聽容易，自己獨立做比較困難，教師教得累，學(xué)生學(xué)得苦.如何準確找到“直線型”行程問題解決的“金鑰匙”，筆者結(jié)合最近幾年中考題作以下探索和思考，與同行交流.

1 案例透視

案例1 （2019無錫）?“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地出發(fā)沿一條筆直的公路騎行前往乙地，她與乙地之間的距離y（km）與出發(fā)時間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖1中線段AB所示，在小麗出發(fā)的同時，小明從乙地沿同一條公路汽騎車勻速前往甲地，兩人之間的距離s（km）與出發(fā)時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖2中折線段CD—DE—EF所示圖1圖2

（1）小麗和小明騎車的速度各是多少？

（2）求E點坐標，并解釋點的實際意義

思路分析 在直線型運動中，求速度是最常見的問題

首先，弄清變量y和t的含義，變量s和t的含義，弄清在y—t和s—t圖象中速度的計算方法

其次，要關(guān)注特征點A（0，36），B（2.25，0），C（0，36），D（1，0），E的含義，教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生看圖“讀出”信息，深刻理解它在實際情景中的運動含義，特征點就是很好的抓手;例如E表示其中一人達到終點（顯然速度快的是小明，E點表示小明已到達終點甲地）;特征點D（1，0）表示兩人相遇時用時1小時……

第三，觀察圖2，根據(jù)s與t的含義，結(jié)合三條折線段中出現(xiàn)的特征點，通過畫“線段圖”（圖3）進行情景再現(xiàn)，下圖是小麗和小明的運動路徑圖：

CD段圖象對應(yīng)——兩人之間的距離s先是逐漸減小直至為0（即相遇）的情景;

DE段圖象對應(yīng)——兩人相遇后，兩人間的距離s逐漸增加直至小明到達甲地的情景;

EF段圖象對應(yīng)——兩人之間距離s（可以看成小麗離開出發(fā)地甲的距離）仍然逐漸增加的情景，但注意此時單位時間內(nèi)增加的幅度要小了，

這樣的運動情境通過下面線段圖引導(dǎo)學(xué)生搞清楚，那么問題解決就不困難了

由D（1，0）可知兩人速度和36?km/h，于是小明速度即知，E點表示小明到達終點，時間可求出，即E點橫坐標已知，E點縱坐標即為小麗離開甲的距離

圖3

解題過程

（1）v小麗=yt=362.25=16?km/h，由v小明+V小麗=361=36，得v小明=20?km/h;

（2）求E點坐標有兩法：

法一 小明到達終點時間t小明=3620=1.8h，此時小麗離開小明的距離即小麗距甲的距離=1.8×16=28.8?km，故E（1.8，28.8）;

法二 直線DE中的“k”值為兩人速度和16+20=36，且過（1，0），故解析式為s=36（t-1）=36t-36，令xE=1.8代入，sE=28.8，故E（1.8，28.8）

解后反思 本題關(guān)鍵處是理解特征點D和E的含義，其中E點理解是難點，通過畫線段圖，情景再現(xiàn)，就能想清楚E表示小明到終點，此時兩人間的距離s就是小麗離開甲的距離，這一點學(xué)生往往忽視.法二可以避開這么深刻的理解，通過解析法同樣解決問題.但要清楚直線DE?中的“k”值為速度和36（反向運動），直線CD中的“k”值的絕對值為速度和36;由v小麗=yt=16?km/h，注意到直線AB的解析式為y=-16x+36，顯然k=16，這里小麗速度v=-k，一般地，在s—t?圖象中，一次函數(shù)圖象是一條直線（或線段），它的“k”即為運動對象的速度值或速度和（或速度差）圖4

案例2 （2018南京）小明從家出發(fā)，沿一條直道跑步，經(jīng)過一段時間原路返回，剛好在第16min回到家中.設(shè)小明出發(fā)第t?min時的速度為v?m/min，離家的距離為s?m，v與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖4所示（圖中的空心圈表示不包含這一點）

（1）略;（2）當(dāng)2

思路分析 （1）略;

（2）當(dāng)2

根據(jù)v—t圖象，若t=5就返回，則s1=200+480=680，而返回s2=880，顯然在5

（3）根據(jù)0≤t≤2，2

解題過程 （1）省略

（2）先預(yù)判，若t=5返回，s1=200+480=680，而返回s2=880，s1

求解析式有2種方法：圖5法一 由線段圖（圖5）再現(xiàn)情景，從運動角度，直接寫出解析式：

AB對應(yīng)：s=200t（0≤t≤2）;

BC對應(yīng)：s=200+（t-2）×160，即s=160t-120（2

CD對應(yīng)：s=200+480+（t-5）×80，即s=80t+280（5

D—A對應(yīng)（返回）：s=200+480+100-80（t-6.25），即s=-80t+1280（6.25

故s與t的函數(shù)表達式為s=200t（0≤t≤2）160t-120（2

法二 ?抓特征點，求坐標，用待定系數(shù)法求解析式;由t=2，得（2，200）;由t=5，

思路分析 根據(jù)題意，兩車距離y是乙車行駛的時間的函數(shù)，

先關(guān)注特征點，讀出相關(guān)信息，（0，80）→乙出發(fā)時，甲乙相距80?km;

（2，0）→2小時后，乙車追上甲，說明乙速度比甲大，且甲乙速度差40?km/h?;

（6，m）→乙出發(fā)6小時到達B，此時甲乙間距離最大;H點→乙在B停留1?h后原路返回;

解題過程 法一 情景再現(xiàn)，畫出有關(guān)線段圖（圖8），結(jié)合直線“k”的值和運動求解析式，并配合兩變量中一個變量值已知，可快速求出圖8

第一段線段“k”值為-?40，則V乙-V甲=802=40?km/h，由V甲=80?km/h，得V乙=80+40=120?km/h，第二條線段“k”值為120-80=?40，解析式為y=?40（x-2）=?40x-80，令x=6，得y=160，即m=160?km;

第三段線段“k?”值為-80，甲乙間距離可看成甲離開B的距離（乙已經(jīng)達到B），故解析式為y=6×120-80（x+1）=-80x+640，令x=7，則y=8，故H（7，80）;

第四段兩人相向而行，“?k”值為-（80+120）=?-200，直線解析式為，y=80-200（x-7）令y=0，則x=7.4，故n=7.4綜上，選B

法二 通過線段圖8，從純直線運動角度看：

→乙出發(fā)時甲乙相距80?km，則說明乙每小時比甲快40?km，則乙的速度為120?km/h，①正確;

→由（6，m）知乙從相遇點到達B，用時4小時，每小時比甲快40?km，則甲乙距離4×40=160?km，則m=160，故②正確;

→當(dāng)乙在B休息1?h時，甲前進80?km，故y=160-80=80?km，H點坐標為（7，80），故③正確;

→乙返回時，甲乙相距80?km，到兩車相遇用時80÷（120+80）=0.4小時，則n=6+1+0.4=7.4，故④錯誤

解后反思 本題同樣是y—x?圖象，畫線段圖，再現(xiàn)情景，理清運動關(guān)系，利用“k”值，快速求出乙速和相關(guān)解析式，由于本題只求m和n等值，通過快速求出解析式，結(jié)合已知一個變量的值，同樣可以求出另一個變量，法一簡潔易懂;法二則純屬直線運動型問題，變成一個算術(shù)題，但對于不同函數(shù)圖象和相應(yīng)線段圖的無縫對接，在理解和認識上是難點和關(guān)鍵，往往學(xué)生不易理解，法一簡潔明了，易于掌握.

2 對教學(xué)的建議和思考

一次函數(shù)解析式為y=kx+b，它的圖象是一條直線;在“直線型”行程問題中，y—t或s—t圖象是直線的一部分，或者是幾條線段連接構(gòu)成的折線段，故這類圖象基本是幾個一次函圖象的拼接.求一次函數(shù)解析式、求點坐標或描述特征點含義、求速度等等，這類題目在近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)，成為命題熱點，教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握以下幾點很重要.

2.1 深刻理解解析式中參數(shù)“k”的本質(zhì)意義

一次函數(shù)中的參數(shù)k=函數(shù)值y的增量自變量x的增量，由此可知?“參數(shù)k”在“直線型”運動問題s—t圖象中，︱k︱就是速度值或速度和（差）;不同情境，k值含義不同.深刻理解并準確應(yīng)用k的含義，即可高效解題，可謂是高顏值參數(shù).

2.2? 抓住圖象中的特征點（或轉(zhuǎn)折點），揭示運動對象所處關(guān)鍵位置

“直線型”行程問題的圖象由于出現(xiàn)了特征點，故它的上一個運動情景與下一個運動情景發(fā)生了變化——或時間先后變化或運動方向變化或速度大小變化等，要牢牢抓住這把?“金鑰匙”，讀出有效信息，結(jié)合線段圖抓住圖象和運動情景的對應(yīng)關(guān)系，揭示運動情景中關(guān)鍵點的內(nèi)涵.

2.3 畫好線段圖，再現(xiàn)運動情景，弄清運動過程，找出解題思路

“直線型”行程問題運動情景較復(fù)雜，光空想易發(fā)生偏差，通過線段圖作為載體，畫出各種運動情況，逐段分析各種情景很關(guān)鍵，可以理清解題思路.一般可以標出出發(fā)點、對應(yīng)速度、運動時間或相應(yīng)路程等，發(fā)揮直觀想象能力，從而找到數(shù)量關(guān)系;在求相應(yīng)解析式時，不能僅考慮待定系數(shù)法，更要結(jié)合運動觀點（線段圖）和“k”值，一般解析式都能快速求出.