“增減”有乾坤“變化”寓哲理

【摘 要】 通過對“公理”、“定理”與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“基本事實”關(guān)系及其變化的研究，得出了初中數(shù)學(xué)“以人為本的課程理念、大道至簡的哲學(xué)思想和強化革故鼎新創(chuàng)新意識”的教學(xué)啟示

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)，基本事實，課程理念，哲學(xué)思想，創(chuàng)新意識

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)從實驗稿到2011年版，已走過20個年頭了.20年間，課程理念發(fā)生了新的變化，課程目標(biāo)在不斷優(yōu)化，課程內(nèi)容也有增有減.新的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作正在緊鑼密鼓地進(jìn)行，相信一定又有新的變化.回眸、研究、認(rèn)識課程、教材的變化及其導(dǎo)向意義，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有著極其重要的價值.本文通過對《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)（2011年版）》[1]（以下簡稱《課標(biāo)2011年版》）及初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于“公理”、“定理”和“基本事實”之間關(guān)系及其變化的研究，談?wù)剬Τ踔袛?shù)學(xué)的理性思考與教學(xué)啟示.

1 教學(xué)疑問與困惑

經(jīng)常有初中數(shù)學(xué)教師提出疑問：《課標(biāo)2011年版》與現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材出現(xiàn)了“基本事實”這樣的名詞.比如將“兩點確定一條直線”、“三邊分別相等的兩個三角形全等”稱為“基本事實”，但傳統(tǒng)教材將“兩點確定一條直線”稱為公理，而對“三邊分別相等的兩個三角形全等”進(jìn)行了證明，并稱之為定理.那么，《課標(biāo)2011年版》為何稱為“基本事實”？為什么要引入這個名詞？“公理”、“定理”和“基本事實”之間有何關(guān)系？蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊明確定義：“經(jīng)過證明的真命題稱為定理”[2]，人教版數(shù)學(xué)教材七年級下冊指出：“定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)”[3]，浙教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊明確：“定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)”[4].那么問題來了：數(shù)學(xué)中那么多證明題都是“經(jīng)過證明的真命題”，教材中為何沒有將它們都稱為定理，課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)行教材為何將傳統(tǒng)教材的部分定理進(jìn)行刪減？

進(jìn)而思考：“基本事實”與公理、定理之間是什么關(guān)系？《課標(biāo)2011年版》和現(xiàn)行教材對“公理”數(shù)量的增加、“定理”數(shù)量的減少體現(xiàn)了什么理念？對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有何啟示？

2 對“公理”、“定理”與課程標(biāo)準(zhǔn)中“基本事實”的關(guān)系的理解

首先，我們必須弄清楚“公理”和“基本事實”.“公理”是“經(jīng)過人類長期反復(fù)實踐的考驗，不需要再加以證明的命題”，是“社會上多數(shù)人公認(rèn)的正確的道理”[5]，由此可見，公理具有三個特征，即“不證自明”、“大家公認(rèn)”，“是證明其他命題的起點”

《課標(biāo)2011年版》使用了“基本事實”這個名詞，明確了初中“空間與圖形”的9個基本事實，主要出現(xiàn)在“線段、射線和直線”、“兩條直線的位置關(guān)系”和“三角形的全等與相似”部分.浙教版八年級數(shù)學(xué)教材對“基本事實”是這樣描述的：“本書挑選一部分人們經(jīng)過長期實踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù)，這些命題稱為基本事實”[4].進(jìn)一步說明“基本事實”是“無需證明的真命題，并作為證明其他結(jié)論的依據(jù)”.如此說來，“基本事實”應(yīng)該等同于“公理”

那為什么不直接將“基本事實”稱為公理呢？比較發(fā)現(xiàn)：在《課標(biāo)2011年版》的9個基本事實中，只有“兩點確定一條直線”、“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”屬于歐幾里得幾何體系中的公理，其他7個“基本事實”沒有列入公理范圍.如基本事實“三邊分別相等的兩個三角形全等”在人教版1989年版《初級中學(xué)課本·幾何》第一冊[6]中就稱為“邊邊邊定理”，該教材在“等腰三角形性質(zhì)”之后給予了證明，而基于《課標(biāo)2011年版》的湘教版教材八年級上冊在第二章《全等三角形》[7]也給出了證明，只不過仍然稱為基本事實

為什么《課標(biāo)2011年版》和現(xiàn)行教材用“基本事實”這個名稱呢？《課標(biāo)2011年版》中的9個基本事實在幾何原本中有的是公理，有的是定理，用“基本事實”這個名稱可以避免與傳統(tǒng)的“公理”、“定理”混淆.這種安排要從數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)關(guān)系上來理解

從學(xué)術(shù)形態(tài)來看，數(shù)學(xué)及其發(fā)展進(jìn)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和系統(tǒng)性特征.一些數(shù)學(xué)分支在形成過程中會出現(xiàn)“漏洞”，有的數(shù)學(xué)結(jié)論在現(xiàn)實中已有廣泛應(yīng)用，但理論上還不完備，需要數(shù)學(xué)家想方設(shè)法加以完善，使之更加嚴(yán)密與系統(tǒng).如牛頓用微積分解決了物理中的變速運動問題.物體自由落體的垂直位移h（m）與時間t（s）的關(guān)系為h=12gt2，該物體在t=4時的速度v=h′|t=4=（12gt2）′|t=4=gt|t=4=4g（m/s）.這是因為：limΔt→012g（t+Δt）2-12gt2Δt=limΔt→0（gt+Δt）=gt.但有人發(fā)現(xiàn)了矛盾：由limΔt→012g（t+Δt）2-12gt2Δt得到limΔt→0（gt+Δt）的前提是Δt≠0，而從limΔt→0（gt+Δt）得到gt的前提是Δt=0，二者是矛盾的.這個矛盾直到“無窮小量理論”的產(chǎn)生才得到解決，這不僅讓微分理論更加完善，而且使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了新的突破，讓人類文明向前邁進(jìn)了一大步.數(shù)學(xué)史上的三大危機、非歐幾何的產(chǎn)生等都說明了這一點

嚴(yán)格意義上說，數(shù)學(xué)知識在教材中的呈現(xiàn)一般具有一定的邏輯順序.如坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離公式、余弦定理都源于勾股定理，因此教材中最先呈現(xiàn)勾股定理.回到“全等三角形判定”的3個基本事實，蘇科版和湘教版等大多版本的教材呈現(xiàn)順序依次是“SAS”、“ASA”和“SSS”，而人教版教材八年級上冊[8]、浙教版教材八年級上冊都在《全等三角形》[4]這一章按照“SSS”、“SAS”和“ASA”的順序呈現(xiàn).為什么不同版本會出現(xiàn)不同的呈現(xiàn)順序呢？是否某種順序不符合數(shù)學(xué)邏輯呢？由于這3種判定方法在《課標(biāo)2011年版》中被作為“基本事實”而沒有證明，因此呈現(xiàn)順序無關(guān)緊要.而湘教版雖然也將“SSS”看成“基本事實”，但運用了“SAS”進(jìn)行了證明，此時的呈現(xiàn)順序就不容顛倒

從教育形態(tài)來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個“從不嚴(yán)格到嚴(yán)格”、從直觀到抽象、從歸納到演繹的過程.有些命題的正確性顯而易見，有些命題以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知難以證明，教學(xué)中就要尊重學(xué)生認(rèn)知，先通過操作與直觀感知，讓學(xué)生了解其合理性，承認(rèn)其正確性，并作為證明其他命題的依據(jù)，等學(xué)生知識積累和思維能力達(dá)到一定程度，再引導(dǎo)他們深入探究，并加以證明.正如宋乃慶先生在《淡化形式，注重實質(zhì)》[9]一文中所說：“教學(xué)中不能為概念而概念，要使概念教學(xué)恰如其分地發(fā)揮‘通過知識培養(yǎng)能力的作用.從這個意義上說，‘淡化是為了真正的‘強化.”如果“對名詞、術(shù)語等在形式上和細(xì)微處理上孜孜以求，出現(xiàn)形式和繁瑣的傾向”，就可能“沖淡實質(zhì)，脫離學(xué)生認(rèn)知實際，不利于學(xué)生能力的培養(yǎng)”.

3 關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)減少“定理”數(shù)量的認(rèn)識

將《課標(biāo)2011年版》下的教材與教學(xué)大綱時期的教材相比，定理數(shù)量大為減少，一部分作為基本事實，一部分直接刪除.《課標(biāo)2011年版》為何對“定理”做大幅度調(diào)整呢？為何未將經(jīng)過證明的所有真命題都稱為定理呢？

首先，定理除了是可以證明的真命題外，還有以下特點：一是具有本質(zhì)性，反映事物或關(guān)系的本質(zhì)屬性;二是具有簡潔性，無論是結(jié)構(gòu)還是表達(dá)都具有獨特而簡潔的特征，易于理解與表達(dá);三是具有普遍性.定理反映普遍規(guī)律，無論在數(shù)學(xué)內(nèi)部還是外部都具有廣泛的應(yīng)用.以勾股定理及逆定理為例.第一，直角三角形是幾何中最常見的特殊三角形，無論兩個銳角如何改變，結(jié)論“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”都不變，且與“直角三角形”互為充要條件，這反映了直角三角形“變中不變”的本質(zhì)屬性.第二，將勾股定理及逆定理用數(shù)學(xué)符號表示為“△ABC中，∠C=90°c2=a2+b2”，這個結(jié)構(gòu)形式顯得獨特和簡潔.第三，直角三角形在現(xiàn)實生活中比比皆是，體現(xiàn)了勾股定理及逆定理應(yīng)用的廣泛性

其次，定理本身就是一種數(shù)學(xué)模型，即“把某種事物的主要特征、主要關(guān)系系統(tǒng)地抽象出來，用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似的反映”[10].因此，數(shù)學(xué)定理教學(xué)就是數(shù)學(xué)模型教學(xué)，既然是模型，那就應(yīng)該少而精，體現(xiàn)本質(zhì)性、簡潔性和普遍性.部分傳統(tǒng)意義上的“定理”可以化歸為已有的“基本事實”或定理，如梯形中位線問題可以轉(zhuǎn)化為三角形中位線問題，用有限的公理、定理、模型解決無限的問題，以不變應(yīng)萬變.“教學(xué)中要通過定理、公式的歸納與證明、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)、選擇與運用，培養(yǎng)學(xué)生建模意識，并在這個過程中積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗”[11].事實上，與初中幾何有關(guān)的所謂的定理還很多.如歐拉線、西摩松線、費馬點、九點圓定理、梅勒勞斯定理、托勒密定理、塞瓦定理、迪沙格定理，等等，由于證明復(fù)雜、應(yīng)用范圍不廣，有些可以作為知識鞏固與內(nèi)化的素材和資源，有些可以作為數(shù)學(xué)結(jié)論供有興趣的學(xué)生研究.如果將這些都作為定理，那就會造成模型泛化，學(xué)生只能機械記憶結(jié)論，勢必增加學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)

再者，在信息化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化的今天，幾何教學(xué)的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和理性精神.如果將傳統(tǒng)意義上的幾何“定理”如數(shù)保留，必然衍生出無數(shù)繁、難、奇、怪的幾何問題，這與幾何教學(xué)的初衷相悖.

4 理性思考與教學(xué)啟示

如前所述，《課標(biāo)2011年版》對初中數(shù)學(xué)定理進(jìn)行了重大調(diào)整.部分傳統(tǒng)意義上的定理調(diào)整為基本事實，使“公理”數(shù)量有所增加;有些耳熟能詳?shù)亩ɡ碇苯幼鳛樽C明依據(jù)更為方便，但被刪除或調(diào)整為選學(xué)內(nèi)容，可用工具有所減少.這“一多一少”的變化看似矛盾，但背后蘊涵著以人為本的課程理念、大道至簡的哲學(xué)思想和革故鼎新創(chuàng)新意識，可謂“增減有乾坤，變化寓哲理”.4.1 體現(xiàn)以人為本的課程理念

對“基本事實”做“加法”，對數(shù)學(xué)定理做“減法”，“一加一減”之間體現(xiàn)了以人為本的理念

許多傳統(tǒng)意義上的“定理”證明過程繁雜，有的證明方法為學(xué)生力所難及.如三角形全等的“SSS”判定的證明，既要運用圖形變換與構(gòu)造，又要用到等腰三角形的“等邊對等角”和“SAS”，顯然無論是知識還是方法都超越了當(dāng)時學(xué)生的認(rèn)知.因此教材循序漸進(jìn)，暫時先作為“基本事實”，只要學(xué)生認(rèn)識到其正確性與合理性，并會運用于解決問題即可.以“點到直線，垂線段最短”為例圖1

在蘇科版教材七年級上冊第6章《平面圖形的認(rèn)識（一）》[12]的正文中是這樣安排的：如圖1，點P在直線l外，PO⊥l，垂足為O，在l上取點O1、O2、O3，…量出線段PO，PO1，PO2，PO3，…的長度，在這些線段中，哪一條最短？從而得出結(jié)論：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.教材這樣安排，旨在讓學(xué)生通過操作感知結(jié)論的正確性、合理性，并可以作為證明其他結(jié)論的依據(jù)

其實，教材也為學(xué)生提供了自主探究與拓展的空間.如蘇科版教材七年級上冊第6章《平面圖形的認(rèn)識（一）》[12]的《閱讀》欄目，介紹了用圖形變換的方式對“點到直線，垂線段最短”的證明圖2

如圖2，點P在直線l外，PO⊥l，垂足為O，O1是l上的任意一點（不與O重合），把圖2沿直線l翻折，則P′O=PO，PO1=P′O1，因為PO⊥l，P′O⊥l，所以點P′，O，P三點在一條直線上，根據(jù)基本事實“兩點之間線段最短”得到P′O1+PO1>P′P，即2PO1>2PO，也就是PO1>PO圖3

隨著知識的積累，學(xué)生自然考慮用新的知識能否證明.如到了八年級學(xué)習(xí)了“垂直平分線性質(zhì)”后還可以這樣證明：如圖3，作PO的垂直平分線交PO1于M，連接MO，則PM=OM=O1M，因為PO1與PO不重合，所以M不在PO上，故PM+OM>PO，所以PO1=PM+MO>PO.

這個過程經(jīng)歷了從操作探究和直觀感知、用圖形變換方法說明理由到純演繹推理的過程，這種安排充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點，體現(xiàn)了以人為本的課程理念

教學(xué)中，要嚴(yán)格執(zhí)行和落實課程標(biāo)準(zhǔn)，理解和領(lǐng)會教材意圖，給學(xué)生探究與思維的時間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗證的過程，讓學(xué)生的認(rèn)知和能力“螺旋式”上升，而不能肆意補充教學(xué)內(nèi)容、加深教學(xué)難度，以減輕學(xué)生不合理的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

4.2 蘊涵大道至簡的哲學(xué)思想

數(shù)學(xué)的知識如浩瀚海洋無邊無際，數(shù)學(xué)的技能似百般武藝千變?nèi)f化，但數(shù)學(xué)最上位的是“抽象”、“推理“和“模型”，這反映了數(shù)學(xué)由繁至簡的道理;數(shù)學(xué)特點之一是簡潔美——方法、過程和形式的簡潔，這其中蘊涵了大道至簡的哲學(xué)思想.課程標(biāo)準(zhǔn)、教材設(shè)計和數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該體現(xiàn)“刪繁就簡、以簡馭繁”，“寓繁于簡、簡之有道”的哲學(xué)思想

一是刪繁就簡，以簡馭繁.歐幾里得幾何體系由23個定義、5個公設(shè)和5條公理演繹而成，眾多的定理、結(jié)論都可以歸結(jié)到有限的幾個公理、定理上來，這反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，無論課程標(biāo)準(zhǔn)還是教材與教學(xué)，應(yīng)該刪繁就簡、以簡馭繁，用有限的知識和方法解決無限的數(shù)學(xué)問題.《課標(biāo)2011年版》中“定理”數(shù)量的減少正體現(xiàn)了這種哲學(xué)思想

二是寓繁于簡，簡之有道.“簡”與“繁”是相對的.數(shù)學(xué)不能為了“簡”而“簡”，而應(yīng)該“簡之有道”.這里的“道”就是數(shù)學(xué)本質(zhì)，既有數(shù)學(xué)的基本方法，也有數(shù)學(xué)的探究之道.數(shù)學(xué)的思維過程“就是由‘繁到‘簡逐漸接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程”[13].如抽象、推理和模型等基本數(shù)學(xué)思想要在解決具體問題中逐步滲透，數(shù)學(xué)有限的公理、定理要在問題的不斷探索和演繹中發(fā)揮作用.如“點到直線，垂線段最短”這個結(jié)論，通過多種方法說理或證明，讓學(xué)生在確信其正確性的同時，也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的理性精神.這個過程看似“繁”，但正是通過“寓繁于簡”，才能讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)問題探究之道

教學(xué)中，既要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生的思維回歸本源，追求通性通法，以不變應(yīng)萬能變;也要將數(shù)學(xué)本質(zhì)融于具體問題的解決之中，從而達(dá)到“寓繁于簡”、“大道至簡”的境界.4.3 強化革故鼎新的創(chuàng)新意識

從促進(jìn)人的發(fā)展的教育屬性來看，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)只是邏輯與推理，更需要發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新.青年數(shù)學(xué)人才劉路認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只需要嚴(yán)謹(jǐn).數(shù)學(xué)家在工作的時候靠直覺，表面上看數(shù)學(xué)很枯燥、很冗長，但是在數(shù)學(xué)家的頭腦中很快就會完成，他們的頭腦中形成一些東西時，并不是靠一步一步思考的，而是靠不嚴(yán)格的直覺得到的.史寧中先生也說：“數(shù)學(xué)根本上是看出來的”.“直覺”是什么？是知識、方法和經(jīng)驗積累到一定程度的“頓悟”.如果教學(xué)中拘泥于嚴(yán)謹(jǐn)與“邏輯”，學(xué)生的創(chuàng)新能力可能會在過度形式化中遭到扼殺

教學(xué)中，要轉(zhuǎn)變知識觀和育人觀，將增強學(xué)生創(chuàng)新意識、培養(yǎng)學(xué)生探究能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一.一是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想與驗證結(jié)論;二是通過由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識、方法;三是通過變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將已有數(shù)學(xué)知識、方法遷移至新的情境之中;四是以類比或頓悟的方式發(fā)現(xiàn)新結(jié)論.讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與驗證、綜合與運用、遷移與拓展、類比與頓悟的過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.需要說明的是：這種教學(xué)不能一蹴而就，可能需要較長的時間跨度，甚至還需要一定的反復(fù).同時，教學(xué)范式也不是一成不變，需要因教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況而定.

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