利用重影理論的三視圖構(gòu)形多樣性分析

吳碧金，胡志超，許志龍，楊小璠

(集美大學(xué)機械與能源工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

由于應(yīng)用正投影法在投影面上能較準確地表達空間物體的形狀結(jié)構(gòu)和大小，而且作圖比較方便，因此工程圖樣大多采用正投影圖表示。應(yīng)用正投影法時，點的一個投影無法確定空間點的位置，因此一個視圖無法唯一確定空間物體的形狀結(jié)構(gòu)，通常用多面視圖表達物體的形狀結(jié)構(gòu)[1-2]。在工程實踐和制圖教學(xué)中，三視圖被廣泛應(yīng)用于表達工程圖樣和空間思維能力的訓(xùn)練[3-4]。近年來，基于建模軟件和計算機視覺的三視圖三維重建的研究較多[5-9]，但是并不是所有的三視圖都可以唯一確定空間物體的結(jié)構(gòu)形狀，而是具有多樣性。也就是說根據(jù)一組三視圖可以構(gòu)思出兩個或多個形狀結(jié)構(gòu)不同的物體，那么基于具有構(gòu)形多樣性的三視圖重構(gòu)的三維模型就不是唯一的。而工程圖樣所表達的物體的形狀結(jié)構(gòu)必須是唯一確定的，即使是微小的局部形狀結(jié)構(gòu)也必須唯一確定。可是在現(xiàn)有資料文獻中，極少有關(guān)于三視圖構(gòu)形多樣性的理論研究。本文從正投影的基本原理出發(fā)，通過分析直線和平面投影的積聚性和重影性，探討三視圖構(gòu)形多樣性的形成原因和視圖特征，以期避免工程設(shè)計制造以及三維重構(gòu)中出現(xiàn)物體形狀結(jié)構(gòu)的多樣性。

1 投影的積聚性與重影性

投影的積聚性指的是：與投影面垂直的直線在該投影面上的投影成為一個點，與投影面垂直的面(包括平面與曲面)在該投影面上的投影成為一條線[2]。

投影的重影性指的是：空間兩個元素在某一個投影面上的投影重合為一個，具體可分為重影點、重影線和重影面。

1)重影點：空間兩個點的某兩個坐標相同時，這兩個點在某一投影面上的投影重合，那么這兩個點就稱為對該投影面的重影點[2]。如圖1a所示，點A與點B水平投影重合，點A與點B為重影點。

2)重影線：空間兩條直線上對某個投影面有兩個重影點時，這兩條直線在該投影面上的投影重合，那么這兩條直線就稱為對該投影面的重影線。例如圖1a所示，直線DC與直線EF水平投影重合，直線DC與直線EF為重影線。

3)重影面：空間兩個面(包括平面與曲面)對某個投影面有不在一條直線上的三個重影點時，這兩個面在該投影面上的投影重合，那么這兩個面就稱為對該投影面的重影面。例如圖1b所示，平面P、曲面Q和平面R的正面投影重合，平面P、平面Q和平面R為重影面。

根據(jù)上述定義可知：積聚性是描述空間一條線或一個面的投影特性的；而重影性是描述空間兩個及兩個以上的點、線或面的投影現(xiàn)象的。

2 線面投影的空間位置和形狀多樣性

在兩投影面體系中，一個點的兩面投影唯一確定其空間位置，一條直線或一個平面的兩面投影也可以唯一確定其空間位置。但是在三視圖中，有諸多的直線和平面，由于投影的重影性和積聚性，使得直線和平面在兩投影面體系中的投影并不能唯一確定空間直線和平面的位置，從而導(dǎo)致直線和平面的投影具有空間位置多樣性。

2.1 直線投影的空間位置多樣性

由于垂直于投影面的直線在該投影面上的投影具有積聚性，所以投影面上的投影點可以是直線的端點，也可以是垂直線的投影，如圖2所示。圖2a是直線的兩面投影，可以看成是側(cè)垂線CD和側(cè)平線AB的投影，如圖2b所示?？紤]到垂直線的投影具有積聚性，圖2a也可以看成是側(cè)垂線CD和正垂線BE、鉛垂線AE的投影，如圖2c所示；又由于可能存在重影線，所以投影面上的投影線可以是一條線的投影，也可以是兩條線或多條線投影的重影。而處于同一個投影面垂直面上的所有直線的投影具有重影性，圖2a也可以看成是側(cè)垂線CD和通過AB的側(cè)平面上任意一條或多條直線的投影，如圖2d所示。

2.2 平面投影的空間位置和形狀多樣性

由于垂直于投影面的平面在該投影面上的投影具有積聚性，所以投影面上的直線可以是平面的一個邊，也可以是垂直面的投影；由于存在重影面，所以投影面上的一個封閉線框可以是一個平面的投影，也可以是兩個平面(或曲面)或多個平面(或曲面)投影的重影，如圖1b所示，不同位置或形狀的面P、Q、R的正面投影均為方形線框。平面的兩個投影不能唯一確定空間平面的位置，甚至平面在三個投影面上的投影亦不能唯一確定空間平面的位置，具有多樣性。例如，圖3a所示的三面投影圖，可以看成是一個面、兩個面、三個面或四個面的投影，如圖3b所示。圖3a可以是一個傾斜面(ABC)的投影；也可以是水平面(BDC)、正平面(ABD)和側(cè)平面(ADC)三個面的投影；也可以是傾斜面(ABC)和三個平行面中任意一個或兩個或三個面的投影。

3 三視圖的構(gòu)形多樣性

一般情況下，三視圖能夠唯一確定空間形體的結(jié)構(gòu)形狀，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用。但是由于構(gòu)成物體的面的投影具有重影性，可能導(dǎo)致物體上某個形狀結(jié)構(gòu)的多樣性，使得有些三視圖表達的空間物體的形狀結(jié)構(gòu)不是唯一的。如圖4所示，根據(jù)一組三視圖，可以想象出多個不同形狀結(jié)構(gòu)的物體，也就是說在某些特定情況下，三視圖的構(gòu)形具有多樣性。

三視圖構(gòu)形多樣性的形成原因和視圖特征，可以歸結(jié)為以下三個方面。

3.1 平面位置不確定導(dǎo)致三視圖構(gòu)形多樣性

平面相對于投影面的位置無法確定，即平面是投影面傾斜面、垂直面還是平行面無法唯一確定。視圖特征通常體現(xiàn)為三個視圖相同或類似。如圖3所示的三角形平面，可以是一個傾斜面，也可以是三個平行面，如果這種投影特征出現(xiàn)在三視圖中，就可想象出形狀結(jié)構(gòu)不同的物體。例如圖5所示的三視圖，主視圖中左上和右下的三角形可以是傾斜面的投影，也可以是傾斜面和正平面的投影的重影。因此，這組三視圖可以看成是正方體前面左上角切去一個三棱錐，也可以看成是正方體前面左上角和后面右下角各切去一個三棱錐。例如圖4所示，三角形平面可以是一個傾斜面，也可以是三個平行面；長方形平面可以是垂直面，也可以是平行面；小正方形平面是平行面，但在立體上的位置可以不同。平面投影的諸多不確定性使得這組視圖可以對應(yīng)多個形狀結(jié)構(gòu)不同的物體。

3.2 內(nèi)部面(結(jié)構(gòu))與外部面(結(jié)構(gòu))重影導(dǎo)致三視圖構(gòu)形多樣性

在三視圖中，如果內(nèi)部面(結(jié)構(gòu))在前后(主視圖)、上下(俯視圖)、左右(左視圖)三個方向的投影都被重影，視圖特征通常體現(xiàn)為兩個視圖相同或類似。例如圖6所示，內(nèi)圓柱面(孔)在三個視圖中的投影都與外部結(jié)構(gòu)重影，是否存在孔就不確定。

3.3 面(結(jié)構(gòu))的形狀不確定導(dǎo)致三視圖構(gòu)形多樣性

內(nèi)部結(jié)構(gòu)或視線后面的結(jié)構(gòu)只有一個方向的投影被重影，但被重影的部分如果是反映該結(jié)構(gòu)特征的投影，該結(jié)構(gòu)的形狀將產(chǎn)生不確定性。例如圖7所示，中間三個槽和后部凸塊的形狀特征反映在主視圖中，但它們在主視圖中的投影被重影，因此中間三個槽和后部凸塊的形狀存在不確定性，無法確定是方形的還是半圓柱形，從而導(dǎo)致三視圖構(gòu)形多樣性。

4 三視圖構(gòu)形多樣性的解決方法

三視圖的構(gòu)形多樣性是投影的客觀存在，但在工程設(shè)計中應(yīng)避免出現(xiàn)構(gòu)形多樣性，工程圖樣中所表達的物體形狀結(jié)構(gòu)必須是唯一確定的。因此，當三視圖所表達的物體形狀結(jié)構(gòu)存在構(gòu)形多樣時，應(yīng)重新考慮表達方案。

根據(jù)上述分析可知：三視圖的構(gòu)形多樣性是由于面或結(jié)構(gòu)的重影產(chǎn)生的，因此在表達物體時應(yīng)考慮將重影面或結(jié)構(gòu)的形狀唯一確定，本文提供以下兩種方案。

1)重影面或結(jié)構(gòu)另行表達

對于被重影的面或結(jié)構(gòu)，可以采用局部視圖、局部剖視圖、斷面圖等另行表達，以避免其形狀結(jié)構(gòu)引發(fā)歧義。當內(nèi)部結(jié)構(gòu)被外部結(jié)構(gòu)重影，可以考慮用剖視圖表達內(nèi)部結(jié)構(gòu)，例如圖8所示。當反映形狀特征的投影被重影，可以用斷面圖或局部視圖表達被重影的面或結(jié)構(gòu)的形狀，例如圖9所示。

2)變換投影(視圖)以確定平面的位置。

當平面位置無法唯一確定時，由節(jié)3.1可知，其主要成因是由于存在傾斜面，視圖特征體系為三個視圖相同或類似，可以考慮將傾斜面旋轉(zhuǎn)成垂直面(如圖10所示)，平面的位置和物體的形狀結(jié)構(gòu)就可以唯一確定了。也可以采用軸測圖或三維模型輔助表達重影面位置，例如圖11所示，物體上所有的面均為外表面，通過軸測圖或三維模型可以更直觀地表達面的位置。但由于軸測圖或三維模型圖度量性比較差，在工程設(shè)計中，通常只作為輔助圖樣。

5 結(jié)語

在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中，工程圖樣是重要的技術(shù)資料，所表達的物體的形狀結(jié)構(gòu)必須具有唯一性，不可產(chǎn)生多樣性或不確定性。絕大多數(shù)三視圖能唯一確定物體的形狀結(jié)構(gòu)，但由于投影具有重影性，造成有些三視圖表達的物體形狀結(jié)構(gòu)存在多樣性。本文從正投影規(guī)律出發(fā)，通過重影理論，提出了重影線和重影面的投影現(xiàn)象，分析了直線的投影和平面的投影的多樣性，進而研究了三視圖構(gòu)形多樣性的形成原因和視圖特征。通過對構(gòu)形多樣性三視圖的分析和構(gòu)思，選擇適當?shù)膱D樣表達方法，以避免在工程設(shè)計和制造中以及三維重構(gòu)中出現(xiàn)物體形狀結(jié)構(gòu)的多樣性。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在工程設(shè)計制造中將出現(xiàn)越來越多更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用正投影法表達工程圖樣也必將迎來更大地挑戰(zhàn)，如何更好更方便準確地表達出所設(shè)計的物體的真實形狀結(jié)構(gòu)是所有工程設(shè)計工作者面臨的課題。