皮之不存 毛將焉附

葉建生

[摘要]一次函數(shù)是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)接觸到的第一種函數(shù)類型，也是初中數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的第一次完美展現(xiàn)。熟練掌握一次函數(shù)圖像的畫法，對于理解一次函數(shù)的幾何意義，解決一次函數(shù)相關(guān)問題有畫龍點睛、事半功倍的作用。本文就從三種畫法講起，層層遞進，利用圖形對比闡述三種畫法的優(yōu)越性，幫助學(xué)生深刻理解一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，以便學(xué)生能在不同題目背景下選擇不同的畫法，以達到巧妙、快速解決數(shù)學(xué)問題的目的。

[關(guān)鍵詞]一次函數(shù);課堂教學(xué);感悟

一、三種畫法的綜合闡述

（一）多點法畫一次函數(shù)圖像

采用多點法畫一次函數(shù)圖像是學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)，盡管比較煩瑣，但對于初學(xué)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)而言意義重大。其真正作用有四點：一是學(xué)生能通過多點法畫圖感悟到一次函數(shù)圖像的詳細形成過程，利于學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解;二是學(xué)生能掌握畫函數(shù)圖像的基本方法（列表、描點、連線），為今后反比例函數(shù)圖像學(xué)習(xí)和二次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)做鋪墊;三是學(xué)生通過細致的作圖過程，能夠形象化地觀察到函數(shù)圖像上點的橫、縱坐標(biāo)的變化情況，深刻理解函數(shù)圖像的實質(zhì);四是學(xué)生通過對不同k、b值的一次函數(shù)作圖，理解y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）中k、b兩個元素對于函數(shù)圖像的影響。

（二）兩點法畫一次函數(shù)圖像

兩點法畫一次函數(shù)的圖像的理論依據(jù)是“兩點確定一條直線”。從這個層面講，我們可以提前讓學(xué)生模糊地體會到代數(shù)知識與幾何知識的聯(lián)系（一次函數(shù)在高中階段歸類到解析幾何的范疇），這種影響是潛在的，便于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，對于幫助學(xué)生樹立大數(shù)學(xué)觀理念具有深遠的意義。就兩點法畫一次函數(shù)圖像而言，究竟如何選取兩個點才最優(yōu)化？任意選還是找關(guān)鍵點？這就要求我們引導(dǎo)學(xué)生積極探究、深入討論，最終歸納、提煉出有效方案。課堂教學(xué)實踐證明，大部分學(xué)生能迅速有效選取圖像與x軸和v軸的交點為最佳點。因為與x軸的交點，點的縱坐標(biāo)為0，與y軸的交點，點的橫坐標(biāo)為0。

（三）簡易法畫一次函數(shù)圖像

簡易法畫一次函數(shù)圖像，其主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維是逆向思維。也就是說，在學(xué)生充分掌握y=kx+b（k≠O，k、b為常數(shù)）中k、b兩個元素意義的前提下，簡潔、快速地畫出一次函數(shù)的草圖，有利于學(xué)生解決實際數(shù)學(xué)問題。在平時的練習(xí)題或綜合測試題中，往往需要我們畫出一次函數(shù)草圖來解決問題，而沒必要畫出精確圖形。從另一個側(cè)面看，學(xué)生能否快速根據(jù)一次函數(shù)表達式確定出圖像所經(jīng)過的象限，也是檢驗學(xué)生是否掌握好本知識點的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。

二、三種畫法的實際解題價值

（一）三種畫法的關(guān)系

多點法、兩點法、簡易法三種畫圖方法之間存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系，猶如新課標(biāo)中提到的知識、能力和技能三者的關(guān)系一樣。多點法是畫圖基礎(chǔ);兩點法是畫圖能力提升;簡易法則是畫圖技能展現(xiàn)。這三種畫法，由簡單向難自然過渡，體現(xiàn)了知識的層層遞進性，這從根本上也符合初中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知習(xí)慣。

（二）三種畫法在解題過程中的實效價值

從整個初中數(shù)學(xué)教材編排順序來看，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)放到了初中函數(shù)類知識學(xué)習(xí)的最前面，這符合學(xué)生的思維習(xí)慣。因為，一次函數(shù)圖像的畫法可為其他類函數(shù)圖像的畫法提供參考，能對學(xué)生在學(xué)習(xí)其他函數(shù)圖像時起到觸類旁通的作用。

單就本節(jié)課一次函數(shù)圖像的三種畫法來看，多點法是精確畫法，要求學(xué)生能夠熟練掌握。學(xué)生掌握好它的現(xiàn)實意義在于能夠直觀地感受到直線上點的橫縱坐標(biāo)的變化，同時也能感受到一次函數(shù)表達式中k值對于圖像的影響。即：k的值關(guān)系到直線的傾斜程度（也就是高中知識所談到的斜率）。當(dāng)然，對初中學(xué)生，我們不直接說出斜率這個概念，我們僅要求學(xué)生了解一下。譬如在給學(xué)生解釋k的意義時，我采取兩種解釋方法，一種方法是k>0，圖像必經(jīng)過一、三象限，k<0，圖像必經(jīng)過二、四象限。第二種方法是k>0，直線與x軸正方向的交角是銳角，k<0，直線與x軸的交角是鈍角。這樣解釋的好處在于便于學(xué)生理解和掌握，同時也為高中知識中直線斜率的提出埋下了伏筆。如下圖：（k>0時，直線必經(jīng)過一、三象限）（k>0時，直線與x軸正方向的交角是銳角）

（k<0，直線必經(jīng)過二、四象限）

（k>0時，直線與x軸正方向的交角是鈍角）

兩點法在學(xué)生解決實際數(shù)學(xué)題目中應(yīng)用較廣，掌握它的意義在于既不像多點法作圖那樣煩瑣，又不像簡易法作圖那樣隨意，介于兩者之間。它能使復(fù)雜的問題簡單化，簡單的問題具體化。尤其是直線與x軸和v軸的兩個交點，更能體現(xiàn)兩點法畫一次函數(shù)圖像的精髓。兩點已確定，直線位置隨之確定，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形也隨之確定，可謂一箭雙雕。其實，在解決一次函數(shù)簡單題目或綜合性題目的過程中，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用最多的還是簡易法畫一次函數(shù)的草圖。畫函數(shù)圖像的草圖最直接的感受就是有效提高解題速度。當(dāng)然，前提是學(xué)生必須真正掌握一次函數(shù)表達式中k、b的意義。簡易法作圖是一次函數(shù)作圖學(xué)習(xí)中的神來之筆，即考查了學(xué)生掌握一次函數(shù)基本知識的程度，又考查了學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。

三、三種畫法的教學(xué)感悟

（一）更加清醒地認(rèn)識到本節(jié)課在本章中的地位

一次函數(shù)圖像畫法的復(fù)習(xí)課結(jié)束后，我進一步體會到本節(jié)課在本章知識學(xué)習(xí)中的重要作用，因為只有掌握了函數(shù)圖像的畫法，學(xué)生才能夠深刻理解函數(shù)的性質(zhì)，從而為一次函數(shù)更高層次的學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)。如：一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系;一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系;一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合題的解答等，都特別強調(diào)兩點法和簡易法畫一次函數(shù)圖像的重要性。

（二）我的教學(xué)設(shè)計感悟

我在設(shè)計本節(jié)課時，仔細研究了新課標(biāo)，認(rèn)為本節(jié)的重點是：一是通過列表、描點、連線教會學(xué)生用多點法畫一次函數(shù)的圖像，并與學(xué)生一起總結(jié)一次函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)。二是讓學(xué)生理解圖像上的點的坐標(biāo)與函數(shù)表達式之間的關(guān)系。三是引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握用兩點法和簡易法畫一次函數(shù)圖像。

教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計，我分為五步：

1.通過學(xué)生閱讀課本，初步理解函數(shù)圖像的畫法，并通過舉例讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)函數(shù)圖像畫法的重要作用。

2.通過實例向?qū)W生展示如何精確畫一個一次函數(shù)的圖像，并引導(dǎo)學(xué)生從中總結(jié)出利用多點法畫函數(shù)圖像的一般步驟。并先由學(xué)生歸納，后由教師總結(jié)出畫函數(shù)的三個步驟：列表、描點、連線。

3.讓學(xué)生獨立完成例題畫圖，并從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫圖過程中可能存在的問題，做個別指導(dǎo)，并抽出典型問題進行講解。

4.通過課件展示，一步步和學(xué)生共同探討畫一次函數(shù)圖像的另外兩種方法（兩點法和簡易法）。

5.升華提高，利用課件很直觀地展示不同一次函數(shù)的圖像，進一步幫助學(xué)生了解一次函數(shù)中k、b兩個元素對圖像的影響。

四、結(jié)語

在教學(xué)過程中，每節(jié)課總會有一些不盡如人意的地方。所以，如何有效調(diào)動他們的學(xué)習(xí)參與積極性是我今后備課過程中要多思考的地方。此外，由于本節(jié)課設(shè)計量大，我講得太多，學(xué)生課堂練習(xí)相對較少，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時間和空間被抑制，以后要盡可能精選例題，由學(xué)生自己完成三種畫法的知識體系建構(gòu)。