函數(shù)有唯一零點(diǎn)問(wèn)題

李富春

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

函數(shù)有唯一零點(diǎn)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)中的一類重要問(wèn)題，這類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活且多種多樣，所以學(xué)生在解答這類問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)不知從何入手.為此，本文通過(guò)歸納、總結(jié)，給出函數(shù)有唯一零點(diǎn)問(wèn)題的求解方法，拋磚引玉，希望對(duì)同學(xué)們有所啟示和幫助.

一、函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求函數(shù)中參數(shù)的值

1.利用函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)，且其圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的唯一零點(diǎn)為m.

例1 (2017年高考全國(guó)卷Ⅲ·文12理11)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn)，則a=( ).

解析因?yàn)閒(x+1)=(x+1)2-2(x+1)+a(ex+e-x)=x2-1+a(ex+e-x)，

評(píng)注此題直接求導(dǎo)、分離參數(shù)、分離函數(shù)都非常難求解，甚至幾乎解答不出來(lái).

2.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點(diǎn).

從而a=g(4)?a=5ln2-4.

評(píng)注若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點(diǎn)x0，且f(a)f(b)>0，則x0是其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間[a，b]上的極值點(diǎn).此題利用此導(dǎo)數(shù)性質(zhì)也可快速獲解.

3.利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點(diǎn)x0，且f(a)f(b)>0，則x0是其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間[a，b]上的極值點(diǎn).

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=aex-2sinx，x∈[0，π]有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為( ).

評(píng)注此題利用分離參數(shù)法也可快速獲解.

二、函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

1.利用數(shù)形結(jié)合法

通過(guò)求導(dǎo)，零點(diǎn)存在性定理與數(shù)形結(jié)合法相結(jié)合，判斷出函數(shù)圖象的走向.

例4 (2014年高考全國(guó)卷Ⅰ·文12理11)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是

A.(2，+∞) B.(-∞，-2)

C.(1，+∞) D.(-∞，-1)

2.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點(diǎn).

例5已知函數(shù)f(x)=aln2x-e2x/e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

3.利用分離函數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)-h(x)在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的圖象在區(qū)間D上有唯一交點(diǎn).

A.[-1，0]∪[1，+∞) B.(-∞，-1]∪[0，1]

C.[-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞)

三、函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求零點(diǎn)

1.利用函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱，又函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的唯一零點(diǎn)為a.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x-1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，從而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對(duì)稱.

從而函數(shù)f(x)僅有唯一零點(diǎn)-1，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-1.

2.利用解方程法

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.

3.利用湊法

有時(shí)，利用上述方法都不能解決求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，就觀察函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征或方程的結(jié)構(gòu)特征，然后湊值.

例9函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點(diǎn)為_(kāi)___.

解析函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)=0，即2xln2x-2x+1=0的實(shí)數(shù)根.

由2xln2x-2x+1=0，得e1-2-x=2x，由此湊出x=0.

故函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點(diǎn)為1.

四、證明函數(shù)在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)

1.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點(diǎn).

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解析(1)略.

綜上所述，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

2.利用零點(diǎn)存在性性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點(diǎn).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；