利用擴(kuò)展的簡單方程法求解時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程

趙云梅，楊云杰

（1.紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自 661199; 2.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系,昆明 650214）

1 引言

由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部算子，對它進(jìn)行刻畫時依賴于初始時刻的歷史狀態(tài)，因此分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型在描述某些現(xiàn)象和反映物體的某些性質(zhì)時更精確，物理意義更清晰，表述更簡潔，它已經(jīng)成為復(fù)雜力學(xué)與物理工程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一，已被廣泛地應(yīng)用到粘彈性阻尼器、流體力學(xué)[1]、生物醫(yī)學(xué)工程、圖像處理[2]、信號處理和系統(tǒng)識別、振動與控制[3]、地震分析[4]等領(lǐng)域。目前分?jǐn)?shù)階微分方程已成為數(shù)學(xué)、物理、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的研究熱點。

分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程并不是整數(shù)階非線性偏微分方程的平行推廣，許多整數(shù)階微積分的性質(zhì)在分?jǐn)?shù)階微積分中不一定成立，若是要獲得分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解就變得很困難。盡管求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解較為困難，但是分?jǐn)?shù)階微積分是由整數(shù)階微積分引出的，在求其精確解時，可以針對不同方程的特征，探索并構(gòu)造相應(yīng)的求解方法是可以實現(xiàn)的。目前國內(nèi)外學(xué)者提出和發(fā)展了一些求解方法，如：分?jǐn)?shù)階子方程法[5-6]、分?jǐn)?shù)階Riccati展開法[7]、分?jǐn)?shù)階(G'/G)-展開法[8-10]、變量分離法[11]、簡單方程法[12]、分?jǐn)?shù)階Jacobi橢圓方程法[13]和分?jǐn)?shù)階首次積分法[14]等。

簡單方程法和擴(kuò)展的簡單方程法[15]是求解整數(shù)階微分方程非常有效的一種方法，廣大學(xué)者運用該方法獲得了許多整數(shù)階微分方程的精確解。本研究利用分?jǐn)?shù)階復(fù)變換和擴(kuò)展的簡單方程相結(jié)合，提出一種求解分?jǐn)?shù)階微分方程精確解的新方法，該方法直觀、簡單有效。

2 預(yù)備知識

整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)：

設(shè)的階導(dǎo)數(shù)的定義為：

具有如下性質(zhì)：

設(shè)在時可微，則有

3 方法簡述

考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程：

其中是待求函數(shù)關(guān)于自變量和的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，是關(guān)于函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的多項式。

為求解方程①的精確解，引入一個復(fù)變換：

其中為待定常數(shù)，把②代入①式得：

假設(shè)式③的解可以表示為如下形式：

其中為待定常數(shù)，且，正整數(shù)通過平衡③式中的最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項來確定，滿足：

其中為常數(shù)，由文獻(xiàn)[15]知方程⑤的解為：

把④代入③式，利用⑤和⑦，③的左邊就可以化為關(guān)于的多項式，令它們的各次冪系數(shù)為零，便得到一組關(guān)于待定常數(shù)的代數(shù)方程組，求解該方程組得到相關(guān)常數(shù)，最后代入④式，便求出方程①的精確解。

4 應(yīng)用

下面考慮一個脈沖時空分?jǐn)?shù)階非線性微分方程[16]

2018年,文獻(xiàn)[17]用擴(kuò)展的函數(shù)法和廣義的Kudryashov方法探討該方程，得到了一些精確解，下面將用上述方法求解該方程。

把復(fù)變換②代入⑧可得：

平衡⑩中最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項得，可得即

其中為待定常數(shù)，把?代入⑩式結(jié)合⑤和⑦，⑩的左邊就可以化為一個關(guān)于和的多項式，令它們的各次冪系數(shù)為零，便得到一組關(guān)于和的代數(shù)方程組，利用Maple求解該方程組得如下解：

（1）

把?、? 代入?，可得方程⑧的精確解：

5 部分精確解的波形圖

圖1 的二維波形圖

圖2 的二維波形圖

圖3 的二維波形圖

圖4 的二維波形圖

6 結(jié)論

本文把分?jǐn)?shù)階復(fù)變換和擴(kuò)展的簡單方程法相結(jié)合，提出了一種求解時空分?jǐn)?shù)階非線性微分方程精確解的新方法，為了展示該方法的實效性，運用該方法求解了一個脈沖時空分?jǐn)?shù)階非線性微分方程，獲得了該方程的許多用雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)等表示的精確行波解，并運用數(shù)學(xué)軟件Maple繪出部分精確解在不同參數(shù)、取不同值的二維波形圖，這對我們進(jìn)一步理解復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象和分?jǐn)?shù)階微分方程的原理具有一定的幫助。本文中提出的方法在求解時空分?jǐn)?shù)階微分方程精確解時具有簡潔、直觀、有效的特點，也可以推廣到求時間分?jǐn)?shù)階、空間分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解。