一類帶子塊約束的特征值反問題

徐 嬌

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

本文用Rm×n表示所有m×n實(shí)矩陣的集合,ORn×n表示Rn×n中所有正交矩陣的集合,SRn×n表示Rn×n中所有對(duì)稱矩陣的集合。In表示n階單位陣。對(duì)任意A,B∈Rm×n，定義內(nèi)積為(A，B)=tr(BTA),則Rm×n是一個(gè)Hilbert空間,由此內(nèi)積導(dǎo)出的矩陣范數(shù)‖·‖即為Frobenius范數(shù)。

對(duì)一個(gè)振動(dòng)結(jié)構(gòu)通過有限元技術(shù)離散化可得如下廣義特征值問題：

KaΦ=MaΦΛ

(1)

其中Ka,Ma∈Rn×n分別稱為分析剛度矩陣與分析質(zhì)量矩陣,通常Ma是對(duì)稱正定矩陣,Ka是對(duì)稱半正定矩陣。在實(shí)際工程中,由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,通常由有限元模型(1)計(jì)算的模態(tài)數(shù)據(jù)(特征值和特征向量)與從實(shí)際結(jié)構(gòu)測得的振動(dòng)數(shù)據(jù)有較大的差距。因此需要對(duì)有限元模型(1)進(jìn)行修正,使得它能反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特征。修正后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型不僅能夠更加精確地預(yù)測結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng), 而且還可以通過結(jié)合實(shí)測結(jié)果對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性預(yù)測、損傷檢測和剩余壽命評(píng)估[1-3]。

鑒于模型誤差主要來自結(jié)構(gòu)的幾何形狀、邊界條件和受力狀態(tài)等情況復(fù)雜部位,因而結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的物理參數(shù)矩陣中常常僅部分元素存在明顯誤差,若按常規(guī)對(duì)整個(gè)模型進(jìn)行修正,由于無誤差的元素也參與運(yùn)算將會(huì)導(dǎo)致振型誤差的引入并放大,從而大大降低修正精度。為了減少這種影響,并降低模型修正的計(jì)算工作量,只需對(duì)存在誤差的元素進(jìn)行修正。借助于誤差定位技術(shù)[4-6],可確定有限元?jiǎng)偠染仃囍写嬖谡`差的元素。通過重新排列有限元模型的結(jié)點(diǎn)次序,可使剛度矩陣中無誤差的元素集中在矩陣左上角的一個(gè)區(qū)域內(nèi),然后利用特征方程修正誤差項(xiàng)。因此,修正剛度矩陣可歸結(jié)為如下的特征值反問題與最佳逼近問題:

問題SC-IEP. 設(shè)Φ=[?1,…,?p]∈Rn×p與Λ=diag(λ1,…,λp)∈Rp×p是測量的特征值與特征向量矩陣,且rank(Φ)=p.Ma是n階給定的對(duì)稱矩陣,K0是r階給定的對(duì)稱矩陣。找n階對(duì)稱矩陣K使得

KΦ=MaΦΛ,s.t.K([1,r])=K0

(2)

其中K([1,r])是K的前r階主子矩陣。

(3)

其中SE是問題SC-IEP的解集。

本文組織如下。在第二節(jié),利用矩陣對(duì)的廣義奇異值分解,給出了集合SE非空的充要條件,并給出了問題SC-IEP通解的表達(dá)式。在第三節(jié),證明了問題OAP存在唯一解,并給出了唯一解的顯式表示。最后,在第四節(jié),給出了求解問題OAP的數(shù)值算法與數(shù)值例子。

1 問題SC-IEP的解

將矩陣Φ進(jìn)行分塊:

(4)

其中N∈Rp×p是非奇異陣, ∑1∈Rp×r,∑2∈Rp×(g+s+p-t)

其中S1,S2∈SRs×s,且U=[U1,U2,U3]∈ORr×r,V=[V1,V2,V3]∈OR(n-r)×(n-r),(U,V的分塊與∑1,∑2的分塊相一致),

g=(n-r)+t-p-s,t=rank(Φ1)s=rank(Φ1)+rank(Φ2)-p

且

S1=diag(α1,…αs)S2=diag(β1，…，βs)

1>α1≥α2≥…≥αs>0 0<β1≤β2≤…≤βs<1

將矩陣K和Ma進(jìn)行分塊:

(7)

且K0,M0∈SRr×r,Y,M2∈SR(n-r)×(n-r),其中X,Y是待定矩陣。

根據(jù)式(4)與式(7)可得

(8)

(9)

記

(10)

(11)

(12)

并將矩陣T,W進(jìn)行分塊

(13)

則由式(10)～(13),可得

(14)

(15)

比較式(14)和式(15)的兩邊,可得

(16)

綜上,可得如下定理。

(17)

則SE的解集為

(18)

其中

(19)

(20)

2 問題OAP的解

(21)

且

(22)

對(duì)于任意矩陣K∈SE通過式(18)-(22),可得

(23)

(24)

(25)

由式(25),得

(26)

因此,

(27)

綜上,可得如下定理。

(28)

其中

(29)

(30)

3 數(shù)值算法與算例

基于定理1和定理2可得如下求解問題OAP的數(shù)值算法。

算法1.

1) 輸入矩陣Φ,Λ,K0,Ma,Ka;

2) 通過式(4)得Φ1,Φ2;

5) 如果式(17)滿足,進(jìn)入(6),否則,問題SC-IEP無解,停止 ;

7) 通過式(27)得X21;

例1.考慮一個(gè)10-自由度的系統(tǒng),其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為

設(shè)

Λ=diag(0.0424,1.6663,13.1449,51.2987)

容易驗(yàn)證條件(17)成立,由算法1,可得問題OAP的解為

且有