揭示問題實質(zhì)，探索數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效教學(xué)

摘 要：本文以“通過一定點P且與兩定點A，B距離相等的直線有幾條” 這道解析幾何題為引例，探索空間到不共線三定點距離等于定值的平面?zhèn)€數(shù)、到空間不共面的四定點距離相等或到四定點距離之比為定值時平面的個數(shù)，揭示了解決此類問題的關(guān)鍵與實質(zhì).

關(guān)鍵詞：有效教學(xué)；主動學(xué)習(xí)；類比猜想；探究性學(xué)習(xí)

前蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果茨基就教學(xué)與發(fā)展問題創(chuàng)造性地提出了兩種發(fā)展水平的思想. 第一種水平是現(xiàn)有發(fā)展水平（也稱現(xiàn)有發(fā)展區(qū)），第二種水平是最近發(fā)展水平（也稱最近發(fā)展區(qū)）. 維果茨基強(qiáng)調(diào)指出，只有當(dāng)教學(xué)走在發(fā)展前面的時候，才是好的教學(xué).從教學(xué)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的角度講，現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的問題可以讓學(xué)生獨立解決，最近發(fā)展區(qū)的問題必須依靠教師或?qū)W生的幫助、點撥、啟發(fā)、引導(dǎo)才能解決. 從專業(yè)角度來講，有效教學(xué)就是把學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展區(qū)，這樣的教學(xué)就是有效教學(xué). 新課程背景下高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)是指教師以高中新課程基本理論為指導(dǎo)，以實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)為教學(xué)目標(biāo)，通過采取有效的教學(xué)策略和科學(xué)的教學(xué)方法，促使學(xué)生從行為、認(rèn)知和情感三個方面都充分融入教學(xué)活動之中，學(xué)生的廣泛參與使得其自身在學(xué)習(xí)過程中不斷得到啟發(fā)、激勵，從而優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造，課堂教學(xué)在師生的積極互動中進(jìn)行，不僅促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展，而且在學(xué)生不斷質(zhì)疑與提出新問題中也能促進(jìn)教師的教學(xué)水平的提高.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性很大程度上在于學(xué)生是否具有舉一反三、觸類旁通的能力. 要達(dá)到這樣的目的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先要把數(shù)學(xué)問題的“要素”或“基本構(gòu)成”作為思考的第一問題，也就是教師把實質(zhì)性的數(shù)學(xué)問題“教學(xué)法化”——讓數(shù)學(xué)實質(zhì)能夠被學(xué)生觸及并逐步理解，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的例題不在多，經(jīng)典就行，通過對經(jīng)典問題的背景探悉，追根索源，突出其數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入思考，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，而且對培養(yǎng)學(xué)生的探究能力也大有益處. 本文通過對一個基本數(shù)學(xué)問題的剖析，談?wù)勅绾卫脭?shù)學(xué)基本問題驅(qū)動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，探索如何引導(dǎo)學(xué)生有效地參與教學(xué)活動，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效率.

已知直線l通過定點P（1，2），且與點A（0，3）和點B（-4，1）距離相等，這樣的直線有幾條？

這是一道普通的解析幾何題，學(xué)生不難得到正確結(jié)論，如果得到結(jié)論后就算了，那么這道題就沒有多大教學(xué)價值.在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們要抓住例題的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，讓學(xué)生在其思維最近發(fā)展區(qū)“跳一跳就能摘取更好的果實”. 高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）曾指出，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒在形式化的海洋中. 為了加深學(xué)生對這個問題的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷類似數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)活動過程——數(shù)學(xué)的類比猜想、合情推理、證明等，體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，充分挖掘這道題的教學(xué)功能，筆者不斷把問題引向深入，以下是師生交流實錄.

T：這個問題的結(jié)論有什么幾何意義，你們從中得到什么啟發(fā)？大家作出圖形來觀察一下.

學(xué)生通過畫圖觀察，討論，很快就有了結(jié)論，

S1：直線l與直線AB平行或者過線段AB的中點，

T：對！這可是一個很重要的結(jié)論，大家想想，能把這個結(jié)論類比推廣到空間嗎？

學(xué)生通過思考討論，爭相發(fā)表自己的見解.

S2：把上面條件中的直線改為平面，結(jié)論仍然成立：在空間，若平面α與直線AB平行或平面通過線段AB的中點，則有A，B到95rLNbY7cy3br+Dj8tjMjA==平面α的距離相等.

T：對！這個結(jié)論也有不少應(yīng)用，請同學(xué)們做如下練習(xí)：

練習(xí)1 已知正△ABC的邊長為4，則到△ABC三頂點距離都等于1的平面的個數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 5 D. 8

筆者巡視學(xué)生解答情況，發(fā)現(xiàn)選B的約占，另外選C和D的人數(shù)差不多，學(xué)生各自陳述自己的解題依據(jù)，很快就一致確認(rèn)正確答案為D.

T：通過對此題的解答，你們又得到什么啟示？

S4：到三角形三頂點距離相等的平面與三角形所在平面平行或通過三角形中位線.

S5：通過三角形一中位線與三角形三頂點距離等于定值的平面可能是2個、1個或0個（要視那條垂直于中位線的高與那個定值的大小關(guān)系而定.當(dāng)這條高的一半大于那個定值時，有2個；當(dāng)這條高的一半等于定值時，有1個；當(dāng)這條高的一半小于定值時，為0個）

T：這兩位同學(xué)的分析是正確的.如果把這道題中正△ABC的邊長改為，其他條件不變，正確答案應(yīng)該是幾個？

S：（異口同聲）有5個，應(yīng)選C.

T：正確. 那么將邊長改為多少，答案是B選項呢？

S：（一起回答）邊長小于時.

T：非常好. 上面已把平面問題拓展到空間，將到兩點距離相等的問題擴(kuò)展為到三點距離相等的問題，想一想，還可以再拓展嗎？例如，能不能將點再增多一些，提出與上面類似的問題？

S6：我發(fā)現(xiàn)，到空間不共面四點距離相等的平面存在，但一下還不知道有多少個.

T：對，這樣的平面確實存在，這些平面有什么特點？你們能否類比上面情形作圖，全部找出來？

學(xué)生經(jīng)過一會兒的思考與討論，個別說有1個，相當(dāng)部分說有4個，還有相當(dāng)部分學(xué)生說有7個. 經(jīng)過大家討論，明確了這樣的平面有兩大類：

（1）把四個點看做三棱錐的四個頂點，則三棱錐的中截面符合要求，這類有4個.

（2）平行于三棱錐兩組相對棱，且過其余四條棱中點的平面也適合，這類有3個，分別如圖1和圖2和所示：

T：引例經(jīng)過如此推廣后，已經(jīng)由線到點相等推廣到面到點相等，由平面問題推廣到空間問題，由原來到兩個點距離相等推廣到三個點和四個點距離相等的問題，你們還能把它再推廣嗎？

學(xué)生都在嘗試著，有的學(xué)生嘗試再把點數(shù)增加后，發(fā)現(xiàn)一般不存在到空間任意五點距離相等的平面，一時沒提出有價值的問題.

T：有位哲學(xué)家曾經(jīng)說過，考慮問題有時要注意從反面思考. 前面都是從距離相等的角度去考慮的，能否從條件的不相等的情形加以考慮呢？

經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生終于提出新問題：到空間不共面四定點A，B，C，D距離的比為1∶1∶1∶2平面有多少個？

T：要到A，B，C三點距離相等，根據(jù)前面結(jié)論，這樣的平面應(yīng)有什么特點？

S：這樣的平面與平面ABC平行或經(jīng)過三角形ABC一中位線.

T：設(shè)直線AD與滿足上面條件的平面α交于點P，則有

這時，學(xué)生的思維已被激活，余興未盡，有的提出“如果是到不共面四個點A，B，C，D距離之比是1∶1∶2∶3或1∶2∶3∶4之類的平面又有多少個？”這樣的問題更復(fù)雜，一下子筆者都有點難以招架，但通過上面的探究過程，在師生的共同努力下，很快就找到了解決此類問題的關(guān)鍵，這類問題的實質(zhì)就是要解決“到某兩定點（例如B，C）的距離之比為1∶2的平面是怎樣確定的”，事實上，揭示例題蘊涵的本質(zhì)屬性，并不失時機(jī)地對問題加以推廣，不僅有助于學(xué)生問題意識的提高，有利于學(xué)生開展協(xié)作學(xué)習(xí)與探究性學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的只由教師講、學(xué)生聽的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式多元化，而且還有利于提升教師的教學(xué)智慧，促使教師不斷地鉆研數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)教學(xué)相長.

通過挖掘基本題實質(zhì)，并利用其驅(qū)動我們的教學(xué)，使我們的課堂能圍繞某個問題展開深入研究，就可以將問題拓展、引申的過程演繹得波瀾壯闊，懸念迭起、扣人心弦，使學(xué)生有效地融入教學(xué)活動之中. 美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“探索是數(shù)學(xué)的生命線”，在高三的復(fù)習(xí)課中，我們可以借助一些簡單的經(jīng)典問題為載體，由淺入深，層層遞進(jìn)，舉一反三，觸類旁通，將一個問題拓展為一組富有探究性的問題系列，并采用師生交流、生生交流的方式展開探究，讓教學(xué)內(nèi)容在師生互動中生成與充實，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生能較好地運用類比的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，這樣就能收到事半功倍的效果.