橢圓中的“圓冪定理”

摘 要：關(guān)于圓的性質(zhì)在橢圓中一般不會成立. 但在特別條件下，也可能得到保留，通過橢圓性質(zhì)的探索過程，對問題研究逐漸深化和拓展，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)者的興趣. 尤其是合理地運用幾何直觀去推測，或是出于直覺，或是通過歸納和類比，體現(xiàn)了一種自然思考的過程，從而得到在橢圓中像圓一樣有相交弦定理、切割線定理及割線定理等性質(zhì)成立的條件.

關(guān)鍵詞：斜率相反；斜率定值；四點共圓；橢圓圓冪

大家知道，圓冪定理分為相交弦定理、切割線定理和割線定理. 我們可以統(tǒng)一歸納為：過任意不在圓上的一點P引兩條直線l1，l2，l1與圓交于A，B（可重合，即切線），l2與圓交于C，D（可重合），則PA·PB=PC·PD.在橢圓中是否像圓一樣有相交弦定理、切割線定理及割線定理等性質(zhì)，筆者進(jìn)行探索得到以下結(jié)論，供參考.

引理：已知P（x0，y0）（y0≠0）是橢圓+=1上的定點，過P作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓于A，B兩點，則直線AB的斜率為定值.

證明：不妨設(shè)PA的斜率為k，則PB的斜率為-k（k≠0），因此直線PA的方程為y-y0=k（x-x0），直線PB的方程為y-y0= -k（x-x0）. 由y=k（x-x0）+y0，

定理1：已知P是橢圓+=1上任意一點（異于長軸端點），PA，PB和PC分別是橢圓的兩條割線與切線. 若割線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則切線PC與割線AB的斜率也互為相反數(shù).

定理2：已知P是橢圓+=1上任意一點（異于長軸端點），PA，PB和PC分別是橢圓的兩條割線與切線. 若割線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則TP2=TB·TA.

由此可見，在橢圓中只要有斜率互為相反數(shù)的兩條直線就會有類似圓切割線定理的結(jié)果.

定理2給出過橢圓上一定點（異于長軸端點）作切線的性質(zhì)，進(jìn)一步拓展，又可以考慮任意兩條割線（斜率互為相反數(shù)）是否有相似的性質(zhì).

定理3：已知AB，CD是橢圓+=1的兩條割線，若直線AB，CD的斜率互為相反數(shù)，則直線AC，BD的斜率也互為相反數(shù).

故直線AC，BD的斜率互為相反數(shù)，

由此可知：當(dāng)橢圓內(nèi)接四邊形有一組對邊斜率互為相反數(shù)時，則另一組對邊和對角線的斜率也分別互為相反數(shù).

由于四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，不難得到以下兩個結(jié)論：

推論1：已知AB，CD是橢圓+=1的兩條割線. 若直線AB，CD的斜率互為相反數(shù)，AC，BD相交于T，則TA·TC=TB·TD.

推論2：已知AB，CD是橢圓+=1的兩條割線. 若直線AB，CD的斜率互為相反數(shù)，AB，CD相交于R，則RA·RB=RD·RC.

由定理2、推論1和推論2的結(jié)論我們可以統(tǒng)一歸納為：過任意不在橢圓上的一點P引兩條斜率互為相反數(shù)的直線l1，l2，l1與圓交于A，B（可重合，即切線），l2與圓交于C，D（可重合），則PA·PB=PC·PD.

通過深入探究還可以得到以下結(jié)論：

由引理知，過橢圓上的一個定點P作斜率互為相反數(shù)的兩條割線PA，PB，則直線AB的斜率為定值，也就是說隨著割線PA，PB斜率的不同取值，可以得到一簇平行直線AB. 反過來，如果作橢圓的一簇平行直線AB，那么是否在橢圓上存在定點P，使直線PA，PB的斜率之和為零呢？

定理4：已知動直線l的斜率為定值k，若直線l與橢圓C：+=1交于兩個動點A，B，則橢圓C上存在定點P，使得直線PA，PB的斜率之和為零.

通過類比，我們還可以考慮引理在雙曲線、拋物線中是否有類似結(jié)論.

定理5：已知P（x0，y0）（y0≠0）是雙曲線-=1上的定點，過P作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交雙曲線于A，B兩點，則直線AB的斜率為定值-.

定理6：已知P（x0，y0）（y0≠0）是拋物線y2=2px（p>0）上的定點，過P作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交拋物線于A，B兩點，則直線AB的斜率為定值-.

證明仿照引理，過程略.