函數(shù)圖象對(duì)稱性與函數(shù)周期性的聯(lián)系

摘 要：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、函數(shù)圖象的對(duì)稱中心、函數(shù)的周期這三者之間有什么聯(lián)系，本文給出了三個(gè)定理和三個(gè)推論. 這些結(jié)論可以更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，從更高層面上把握函數(shù)奇偶性、周期性的特征.

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象；對(duì)稱性；周期性；聯(lián)系

“函數(shù)圖象對(duì)稱性和函數(shù)周期性”在研究函數(shù)中有著重要的地位. 找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以更加深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，從更高層面上把握函數(shù)奇偶性、周期性的特征，面對(duì)一些立意新穎，情景陌生的問題，能夠迅速利用題中的已知性質(zhì)，去挖掘未知性質(zhì)，從而找到解決問題的突破口. 本文對(duì)此做一些總結(jié).

例3 （2010年江西高考卷）給出下列三個(gè)命題：

①函數(shù)y=ln與y=lntan是同一函數(shù)；

②若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)y=f（2x）與y=g（x）的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

③若奇函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數(shù).

其中真命題是（ ）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ②

解：考慮定義域不同，①錯(cuò)誤；排除A、B，對(duì)于③，題設(shè)是奇函數(shù)和對(duì)稱軸，由定理3的推論，得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，故選C.

例4 （2009年全國(guó)高考卷）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（ ）

A. f（x）是偶函數(shù)

B. f（x）是奇函數(shù)

C. f（x）=f（x+2）

D. f（x+3）是奇函數(shù)