研讀新教材 體會新理念*
——一道零點區(qū)間問題的探討

楊 亮

(海南省臨高縣臨高中學(xué)，571800)

2019年秋季學(xué)期起,海南省實施新課程．高中數(shù)學(xué)使用人民教育出版社、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心的《數(shù)學(xué)》(必修一)新教材．新教材習(xí)題配置增加了很多與實際相關(guān)的問題,注重了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng);注重了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的提升;更加關(guān)注了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想的滲透．下面以《數(shù)學(xué)》(必修一)中一道零點區(qū)間問題為例來加以剖析說明.

一、題源

高中數(shù)學(xué)人教2019年新版《數(shù)學(xué)》(必修一),第156頁第13題:

題目有一道題“若函數(shù)f(x)=24ax2+4x-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.”某同學(xué)給出了如下解答:

上述解答正確嗎?若不正確,請說明理由,并給出正確的解答.

此題從考查學(xué)生邏輯推理能力與思維的嚴(yán)密性入手,題型新穎并給學(xué)生以探討空間．

二、解法研討

高中數(shù)學(xué)人教2019年新版教材相應(yīng)教師教學(xué)用書第200頁上的解答為:

不正確.因為該同學(xué)只考慮了函數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在零點,而沒有考慮只有一個零點.正確解法如下.

函數(shù)f(x)=24ax2+4x-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個零點,即該函數(shù)圖象在(-1,1)內(nèi)與軸只有一個公共點,包括函數(shù)為一次函數(shù)(a=0)和二次函數(shù)(a≠0)兩種情況.

2.當(dāng)a≠0時,包括函數(shù)f(x)的圖象在x軸兩側(cè)和在x軸同側(cè)兩種情況:

此題把各種數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力整合考查得很好,但筆者認(rèn)為教師用書答案有誤.下面我們用數(shù)形結(jié)合的思想方法來重新整合這道題.

教師用書第200頁答案考慮的a=0情形沒問題.

三、啟示

教學(xué)過程是一個特殊的認(rèn)識過程,學(xué)生在教學(xué)過程中所學(xué)的知識,大都是前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的知識和經(jīng)驗,不是他們親自得來的知識和經(jīng)驗,因此學(xué)生必須經(jīng)歷一個“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程．?dāng)?shù)學(xué)問題解決以后,要引導(dǎo)學(xué)生回頭來對自己的解題活動加以反思與探究，這是教學(xué)必要不可或缺的一個環(huán)節(jié),也是提升學(xué)生分析和解決問題能力的最有意義的過程．它可以幫助學(xué)生從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和通性通法,并加以靈活運用,將它用到新的問題中去會成為以后分析和解決問題的工具．這是新教材編寫提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的宗旨,也是我們新教材使用者在教學(xué)中必須關(guān)注的理念．