情境拓展啟思考 問題驅動探本質
——“回歸分析的基本思想及其初步應用(第二課時)”教學設計及感悟

陳 鍇

(廣東省中山市龍山中學，528471)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設合適的教學情境,啟發(fā)學生思考,引導學生把握數(shù)學內容的本質.”其中的“情境”主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境.在教學中,教師應發(fā)揮主導作用,通過創(chuàng)設豐富、有趣、貼近現(xiàn)實的教學情境和在情境中不斷地提出問題激發(fā)學生的學習興趣,啟發(fā)學生思考,引領學生經歷從具體到抽象、從實際到理論的知識生成過程,從而探尋數(shù)學知識的本質.筆者在進行“回歸分析的基本思想及其初步應用(第二課時)”教學時,通過“創(chuàng)設、發(fā)展、抽象、回歸”,將教學情境不斷演化,獲得了較好的教學效果.

一、教學內容分析

本節(jié)課是人教A版教材選修2-3第三章第一節(jié)第二課時內容.在必修三教材已經學習了變量間的相關關系及線性回歸方程的基礎之上,教材選修2-3側重于回歸分析的基本思想、線性回歸模型以及非線性回歸模型的應用.本節(jié)課是在已經學習了線性回歸模型以及最小二乘法的基礎上,對非線性回歸模型進行研究的第二課時，為更好地由線性回歸模型過渡到非線性回歸模型,筆者以施肥量和農作物產量增量為教學情境,并對該教學情境進行發(fā)展變化,引領學生經歷回歸分析全過程.

本節(jié)課的教學重點是:了解回歸分析的基本思想，以及線性回歸模型與非線性回歸模型之間的差異與聯(lián)系,提高學生解決回歸問題的綜合能力.這同時也是本節(jié)課的難點所在.

二、學情分析

面對非線性回歸問題,學生在選擇不同的回歸模型和將非線性回歸模型轉化為線性回歸模型時,常會覺得困難.其主要原因是學生對回歸分析思想、轉化與化歸思想理解不透,缺乏相關的轉化方法.教師在教學中應結合具體問題,讓學生對不同回歸模型進行分析、比較和判斷,了解回歸模型“沒有最好,只有更好”的特點.這時應充分發(fā)揮信息技術的作用,突破傳統(tǒng)課堂教學難點,讓學生從直觀和抽象兩個方面理解非線性回歸模型轉化為線性回歸模型的變形過程與方法.

三、教學過程設計

1.創(chuàng)設情境,典例引路

世間萬物有著千絲萬縷的關系,其中函數(shù)關系是一種確定性的關系,而相關關系是一種非確定的關系.數(shù)學是研究事物之間關系的有力工具,回歸分析是研究相關關系的一種常用統(tǒng)計方法,其常見步驟是:收集數(shù)據(jù)、作散點圖、求回歸方程、利用方程進行預測.

情境1某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜,該基地的西紅柿增加量y(kg)與使用某種液體肥料的質量x(kg)之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示:

x24568 y34445

問題1你能用自然語言描述西紅柿增加量y(kg)與使用某種液體肥料的質量x(kg)之間的關系嗎?

問題2你能用數(shù)學語言描述上述關系嗎?

問題3你能用散點圖表示上述關系嗎?

問題4你能用數(shù)學方程表示上述關系嗎?請寫出你的方程并計算當x為3時的西紅柿增加量y.

問題5如何評價你得出的方程擬合題意呢?

設計意圖本環(huán)節(jié)在教學情境的基礎上,通過問題串的解決使學生掌握線性回歸問題的一般性解決思路,在問題解決中鞏固知識,加深理解.在創(chuàng)設情境時,筆者發(fā)現(xiàn)與本節(jié)課內容相關的問題情境有的紛繁復雜,有的脫離學生生活,會給學生的認知造成困難.本環(huán)節(jié)設計的情境簡單明了、貼近現(xiàn)實、凸顯本質,與學生熟悉的生物學知識具有緊密的聯(lián)系,且具有較廣的發(fā)展空間,為后續(xù)進行情境拓展創(chuàng)造了條件.

值得注意的是,數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一.在高考試題從能力立意向素養(yǎng)導向的轉變的趨勢中,線性回歸分析問題是考察學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的良好載體,教師在教學中應重視學生計算能力的培養(yǎng).

2.發(fā)展情境,變式探究

情境2在生產實踐中,蔬菜基地工作人員通過收集更多數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),當施肥量x(kg)達到一定水平后,西紅柿增加量y(kg)增加緩慢,相關數(shù)據(jù)如下表:

x1234567891 y233.54444.5555

問題6根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dlnx哪一個適宜作為西紅柿增加量y關于施肥量x的回歸方程類型?

如圖1，隨著施肥量的增加,西紅柿產量的增加越來越緩慢,并非線性增加的關系,故使用y=c+dlnx作為回歸方程更加合適.

問題7根據(jù)散點圖,你能為題中的數(shù)據(jù)再設計一個回歸方程模型嗎?

根據(jù)散點圖,可以選擇冪函數(shù)模型y=axb進行回歸分析.

問題8如何判斷哪個回歸方程模型更好呢?

教師可利用圖形計算器做出每個回歸模型的殘差圖(如圖2)并進行觀察.通過觀察殘差圖可得線性回歸模型的殘差分布在(-0.7,0.7)范圍內；對數(shù)函數(shù)回歸模型和冪函數(shù)回歸模型的殘差均分布在(-0.4,0.4)范圍內.所以y=c+dlnx和y=axb模型的擬合效果優(yōu)于線性回歸模型y=a+bx的擬合效果.教師還可以使用統(tǒng)計計算功能求出三種回歸模型的相關系數(shù)(如圖3)，最終確定對數(shù)函數(shù)回歸模型為三種模型中的最優(yōu)模型.

問題9如何求出回歸方程y=c+dlnx呢?

設z=lnx,則回歸方程可化為線性方程y=c+dz,在圖形計算器的表格頁面中進行運算后可求出回歸方程y=c+dlnx.

設計意圖本環(huán)節(jié)在順應學生常識知識的基礎上,將情境1進行拓展,生成更符合現(xiàn)實的情境2；并在解決問題的過程中引導學生學會選擇回歸模型、學會設計回歸模型、學會評價回歸模型、學會求出回歸方程.

本環(huán)節(jié)凸顯了信息技術工具在教學中的作用,發(fā)揮圖形計算器的表格運算功能、作圖功能、回歸分析等功能,使抽象的數(shù)學知識變得更直觀,復雜的數(shù)學運算變得更簡便.從而將時間讓位給學生的自主思考,幫助學生積累數(shù)學基本活動經驗,感悟數(shù)學基本思想.

3.抽象情境,深化拓展

情境3數(shù)學中除了線性回歸模型、對數(shù)函數(shù)回歸模型還存在很多其他回歸模型,例如指數(shù)函數(shù)回歸模型、冪函數(shù)回歸模型、三角函數(shù)回歸模型等.如果可以將非線性回歸模型轉化為線性回歸模型,就可以使用最小二乘法進行求解.

問題10如何將指數(shù)函數(shù)回歸模型y=a×ebx轉化為線性回歸模型?

將指數(shù)函數(shù)模型y=aebx兩邊取對數(shù),可得lny=lna+bx.設u=lny,則回歸方程可化為線性方程u=lna+bx.

問題11如何將冪函數(shù)回歸模型y=axb轉化為線性回歸模型?

將指數(shù)函數(shù)模型y=axb兩邊同時取對數(shù),得lny=lna+blnx.設u=lny,v=lnx,則回歸方程可化為線性方程u=lna+bv.

設計意圖本環(huán)節(jié)在情境2的基礎上,將情境繼續(xù)發(fā)散與抽象,生成情境3.旨在引導學生思考指數(shù)函數(shù)模型和冪函數(shù)模型,并利用同時取對數(shù)的方法轉化為線性回歸模型.教師還可使用圖形計算器的表格計算功能和散點圖功能,對上述轉化方法進行檢驗,以幫助學生深化理解.

4.回歸情境,總結升華

情境4回顧情境1與情境2，請同學們思考,是否施肥量越多,西紅柿的產量就會一直增長呢?答案是否定的.生物學知識告訴我們,如果一次施肥過多或過濃,會造成土壤溶液濃度大于根毛細胞液濃度,農作物會失水燒苗.所以可以預見的是,如果收集更多的數(shù)據(jù)就可以發(fā)現(xiàn)當施肥量x繼續(xù)變大時,西紅柿產量的增加量y會越來越小，甚至變?yōu)樨摂?shù),散點圖也會呈現(xiàn)先上升再下降的趨勢,此時對數(shù)函數(shù)模型也將不再適用了.

在當今社會,數(shù)據(jù)已經為各行各業(yè)的發(fā)展發(fā)揮著重要的作用.在生活中,每個人既是數(shù)據(jù)的創(chuàng)造者也是數(shù)據(jù)的受益者.在已經到來的大數(shù)據(jù)時代,回歸分析正是一種與之相關的重要的數(shù)學知識.

總結:由上可見回歸分析問題的一般解題步驟(如圖4):

設計意圖在本環(huán)節(jié)中,教師進一步將貫穿本節(jié)課始終的教學情境置于現(xiàn)實生活中,引導學生綜合其他學科知識思考問題,發(fā)現(xiàn)收集的數(shù)據(jù)量越大所得結論越準確的大數(shù)據(jù)規(guī)律.啟發(fā)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

三、幾點感悟

1.好的教學情境應該能激發(fā)學生的問題意識

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》注重對學生問題意識的培養(yǎng)；在課程目標中強調應“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”.好的教學情境應該在展現(xiàn)數(shù)學知識背景的基礎上為數(shù)學問題的提出提供土壤.教師不僅應在課前精心設計問題串,還應該在教學過程中留意學生即興生成的優(yōu)秀問題,以問題串引領學生思維,經歷知識的發(fā)生發(fā)展過程.

2.好的教學情境應該反映教學內容的本質

教師在創(chuàng)設教學情境時,不能為了情境而情境,好的教學情境應該為教師的教和學生的學服務,應該能反映數(shù)學知識的特點,能承載相應的教學功能,能反映教學內容的本質.對于統(tǒng)計學知識,教學情境多來源于數(shù)學外部的素材.這類素材具有生動、具體、有吸引力的特點,但往往與數(shù)學知識的貼切度不強,教師應對教學情境進行適度改編,以增強情境與知識的貼切度,讓教學情境更好地反映教學內容的本質.

3.好的教學情境應該鼓勵數(shù)學探究活動

數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題,開展自主探究、合作研究，并最終解決問題的過程,是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學課程的重要內容.好的教學情境,應該如同種子一般,具有不斷生長拓展的能力,可以不斷給學生提供新的信息、新的問題.應當鼓勵學生圍繞情境開展數(shù)學探究活動,在探究活動中實現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地生根.