“圖解數(shù)學(xué)”助力課堂生長

陳云

“圖解數(shù)學(xué)”指的是運用圖形、表格、公式等可視的方式把學(xué)生本來不可視的思維（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見，它是“思維可視化”在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的主要運用方式?！皥D解數(shù)學(xué)”不要求用專業(yè)的“可視化”工具，也不像“思維導(dǎo)圖”那樣要求圖文并茂地把各級主題的關(guān)系用相互隸屬與相關(guān)的層級圖規(guī)范地表現(xiàn)出來。相反，我們只是尊重兒童生來喜歡涂鴉的天性，尊重兒童喜歡并善于用畫圖表達自己感覺、感受的特點，引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式去展開數(shù)學(xué)的表達?！皥D解數(shù)學(xué)”的方式更加符合小學(xué)生的年齡特點和理解水平，帶有比較多的隨意性和隨機性，更具個性特色，能讓不同層次的學(xué)生都能帶著自己的理解參與到交流、互動中，為學(xué)生提供直觀形象的理解工具，也為創(chuàng)新意識的培養(yǎng)提供更多的可能。

一、“圖解數(shù)學(xué)”助力學(xué)困生搭建通向理解的階梯

我們從不愿意給學(xué)生分出三六九等，但不可否認(rèn)，在任何一個班級里，學(xué)生都會存在差異，這種差異的形成原因是多方面的，而且比較難以改變。所以，我們的課堂教學(xué)總是會面臨這樣的兩難境地：一個知識學(xué)習(xí)結(jié)束，一部分學(xué)生已經(jīng)心領(lǐng)神會，可以做到觸類旁通、輕松應(yīng)對，卻還有一部分學(xué)生依然懵懵懂懂，做題時無從下手。即便后期有老師、家長提供“小灶”支持，這部分學(xué)生也不過是“照葫蘆畫瓢”、熟能生巧罷了。雖然“學(xué)困生”的產(chǎn)生原因是多元的，但有些數(shù)學(xué)知識本身的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、碎片化、難以理解等也一定是困住學(xué)生的原因之一。針對這樣的情況，教師運用好“圖解數(shù)學(xué)”就可以幫助學(xué)生突破“理解”這道坎，豐厚學(xué)生的感性認(rèn)知，緩解學(xué)生的焦慮感和無力感。

如“比賽場次”問題的學(xué)習(xí)：“5支隊伍參加，每兩支隊伍之間要進行一場比賽，一共要進行幾場比賽？”有的學(xué)生可以很快想到4+3+2+1=10（場），但總有學(xué)生怎么都弄不明白這個算式背后的道理，我們嘗試讓學(xué)生用自己所能理解的方式記錄比賽場次，有的學(xué)生從最原始的匹配狀態(tài)進行“圖解”，排列出每一場賽事，剔除其中重復(fù)計算的賽事（圖1），這樣就能比較直觀地解釋算式的由來了。但很顯然，最原始的排列圖不足以讓學(xué)生感悟這一類問題的研究方法，我們繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生把隊伍逐漸增加的過程“圖解”出來（圖2），這樣的解釋更容易發(fā)現(xiàn)每增加一支隊伍會增加幾場比賽，以及為什么會增加這些場次，從而進一步感知比賽場次中的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上再啟發(fā)學(xué)生把一一列舉逐步抽象成點和線的表達方式（圖3），數(shù)學(xué)抽象和模型意識就在不經(jīng)意間得到提升。最終再用數(shù)字、圖示和算式的相互結(jié)合來梳理其中的數(shù)量結(jié)構(gòu)（圖4）。至此，學(xué)生就可以很直觀、很輕松、很透徹地理解這一類問題的解決方法和解答原理了，“學(xué)”因此不再被“困”。

如上所述，圖形是一種奇妙的數(shù)學(xué)語言，可以從最簡單、最直觀的排列開始，一步一步地幫助學(xué)困生體會和理解數(shù)量關(guān)系的產(chǎn)生原因、發(fā)展過程和變化規(guī)律，讓抽象的、碎片化的、難以理解的數(shù)學(xué)知識顯性化、可視化。

二、“圖解數(shù)學(xué)”助力中等生發(fā)現(xiàn)突破瓶頸的鑰匙

小學(xué)數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)性較強，解決一道題的難度往往不會太大，但基于小學(xué)生的理解能力和智力發(fā)展的情況，想要達到舉一反三、觸類旁通，恐怕也是我們教學(xué)中難以突破的瓶頸。這樣的瓶頸若能突破，則曲徑通幽，收獲的不僅是知識，更是能力、是數(shù)學(xué)的思想方法;倘若不能突破這個瓶頸，就會對知識一知半解。而不少教師在教學(xué)設(shè)計時也容易受限于“這個內(nèi)容我怎么教”的慣性思考，較少關(guān)注“這個內(nèi)容學(xué)生是怎么學(xué)的”，這就導(dǎo)致就題論題的現(xiàn)象比較突出，不利于學(xué)生養(yǎng)成從不同的問題情境中找出同一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)量關(guān)系模型的思維習(xí)慣。解決這一問題，我們不妨讓學(xué)生先學(xué)，然后把自己學(xué)的過程“圖解”出來，或許這些“圖解”會成為解決一類問題的模式，或許學(xué)生能在“畫圖”“析圖”的過程中自己“破繭”，也或者教師們能從中得到些許提示，助力學(xué)生突破瓶頸。

如“雞兔同籠”問題的學(xué)習(xí)：“雞兔同籠，頭有8個，腳26條，問雞、兔各有幾只？”除了“推算”外，教師再讓學(xué)生選擇自己喜歡的方式“圖解”出自己的思考過程，學(xué)生有了不同的表達（圖5），不妨比較一下，這幾種畫法的不同點在哪里？有相同的地方嗎？在對直觀圖示的解讀中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：先假設(shè)都是雞或都是兔，然后把多出的（或少的）數(shù)量分配掉。這就取得了與“推算法”原理上的聯(lián)系，使推算過程中每一步都更有說服力。再來看列表枚舉（圖6），方式也很多，但我們的目標(biāo)一定不是找到更多列表的方式，只是利用這些表格展開橫向、縱向的比較：每一種列表方法的優(yōu)勢、劣勢在哪里？為什么有的列表可以很簡單？列表、畫圖、推算等不同方式，其本質(zhì)的思想都是什么？這樣的方法還可以用來解決哪些問題？很顯然，“圖”“表”“推算”的思路都是符合“假設(shè)—比較—調(diào)整”的過程。那么對于“8桌球賽，有26人參賽，單打、雙打各有幾桌球賽？”這樣的問題我們就可以假設(shè)都是單打，再對不足的人數(shù)進行調(diào)整;對于“8枚硬幣，共3元2角，5角、2角各幾枚？”這樣的問題我們就可以假設(shè)都是5角，再對多出的部分進行調(diào)整?？梢钥闯觯柚嘀亍皥D解”的比較，學(xué)生輕松掌握了分析解決這一類問題的工具，數(shù)學(xué)思維也得到發(fā)展。

如上所述，學(xué)生嘗試把自己認(rèn)為很亂、很復(fù)雜、很麻煩的各種情況進行梳理時，就已經(jīng)慢慢學(xué)會透過形式走向?qū)嵸|(zhì)了，原來種種變式都萬變不離其宗，這個“宗”就是同一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)量關(guān)系模型。這樣的“圖解數(shù)學(xué)”能幫助中等學(xué)生更深層地領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，追溯本節(jié)課“知識目標(biāo)之上的目標(biāo)”。

三、“圖解數(shù)學(xué)”助力優(yōu)等生打開創(chuàng)新意識的大門

在今天這樣一個復(fù)雜而多變的世界，努力培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識顯得尤為重要。如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識呢？首先要讓學(xué)生投入積極探索、主動思考的狀態(tài)中去，只有學(xué)會了獨立思考才有可能創(chuàng)新。但是需要注意的是，獨立思考不等同于一個人孤立地冥思苦想，學(xué)生獨立思考之后還應(yīng)該經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，從不同的思考路徑和思考成果中歸納概括，得到猜想，并加以驗證，這才是創(chuàng)新的重要方法。那么，獨立思考的成果如何表達？合作交流中如何分享？概括歸納時如何改進？……要解決這些問題，那就要引導(dǎo)學(xué)生寫出來、畫出來，以“圖”記錄思路，借“圖”表達想法，憑“圖”交流碰撞，用“圖”展示成果，讓學(xué)生的獨立思考、合作交流、歸納概括有底氣、有工具、有抓手。

如“倍增問題”的學(xué)習(xí)時有這樣一個問題：“老師有一個重要的消息需要在最短的時間通知到全班31個同學(xué)，每通知一個同學(xué)需要1分鐘，已經(jīng)接到消息的同學(xué)可以幫忙通知下一個同學(xué)，最少多長時間可以讓全部同學(xué)得知消息？”在教師對學(xué)生最初始的做法進行梳理后，學(xué)生開始獨自修改方案，運用到有序思考的策略，小組內(nèi)同學(xué)將最優(yōu)化和最有序的作品推薦出來（圖7），小組作業(yè)的集中展示，有些同學(xué)理解了“倍增”的過程，也有同學(xué)并不滿足于發(fā)現(xiàn)了“倍增”的規(guī)律，嘗試用更簡易的線性圖（圖8）概括人數(shù)的發(fā)展變化。線性的結(jié)構(gòu)更容易突出主干上倍增的數(shù)據(jù)，這種方便、容易上手的可視模型出現(xiàn)后，一部分學(xué)生迅速內(nèi)化知識，并開始“浮想聯(lián)翩”：有同學(xué)想到了加上老師其實就是32個人，可以從32人入手，倒推出時間（圖9）……最后，教師給學(xué)生一張只涂了一格的密密麻麻的方格圖，按照“倍增”的方法動手圈一圈看看幾次能涂滿。直觀圖示帶來的震撼，再配合“在棋盤中放米”和“荷葉多長時間長滿池塘”這樣有趣的“倍增”問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

如上所述，學(xué)生利用知識結(jié)構(gòu)圖構(gòu)建起思考路徑的網(wǎng)絡(luò)，既能使已有知識條理化、系統(tǒng)化，又能對未來的知識有合理猜想，這樣的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生不僅眼中有數(shù)學(xué)知識，心中還有數(shù)學(xué)思想。這樣帶著創(chuàng)新思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會改變學(xué)生單向接收知識的學(xué)習(xí)狀態(tài)，變?yōu)樽灾黧w驗知識、樂于展示知識、敢于創(chuàng)新知識的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是真正有價值、有遠(yuǎn)見的學(xué)習(xí)。

“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，這是我們的課堂得以良性生長必須達到的目標(biāo)，“圖解數(shù)學(xué)”恰好可以引導(dǎo)學(xué)生真實參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，使得不同需求的學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得智慧的啟蒙，這種生長的力量能賦予課堂更多的魅力。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校）

責(zé)任編輯 周瑜芽

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