口訣在微積分教學(xué)中的應(yīng)用舉例

摘?要：數(shù)學(xué)具有理論性強(qiáng)、邏輯思維縝密、公式多、計(jì)算量大等學(xué)科特點(diǎn)，這個(gè)學(xué)科一般從小學(xué)學(xué)到大學(xué)，學(xué)習(xí)時(shí)間很長(zhǎng)，是學(xué)生感覺(jué)比較頭疼的學(xué)科。針對(duì)學(xué)生在微積分學(xué)習(xí)中的“畏難”情緒，筆者在教學(xué)中將微積分中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)編寫(xiě)成相應(yīng)的口訣，既利于學(xué)生記憶以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又活躍了課堂氣氛以提高教學(xué)質(zhì)量。實(shí)踐證明，口訣在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中起到了重要的輔助作用。

關(guān)鍵詞：口訣;微積分;函數(shù);極限;求導(dǎo);積分;級(jí)數(shù)

Application of pithy formula in Calculus Teaching

Zhao Weilian

College of Modern Electronics&Management，JiangXi University of Finance & Economics?JiangxiNanchang?330013

Abstract：Mathematics，as a subject from primary school to university，has the characteristics of long learning time，strong theory，careful thinking logic，many formulas，complicated calculation and so on，so it has become a headache for students.In view of the students' fear of difficulties in Calculus Learning，the author compiles the key points，difficulties and fallible points in calculus into corresponding pithy formula in teaching，which is not only conducive to students' memory to improve students' interest in learning，but also enlivens the classroom atmosphere to improve teaching quality.Practice has proved that the pithy formula plays an important auxiliary role in the learning process of students.

Key words：pithy formula calculus function limit derivative integral series

口訣具有音律性，方便記憶。老師若能將內(nèi)容的重點(diǎn)或難點(diǎn)精練成口訣，利用學(xué)生熟悉的語(yǔ)言，使重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)變得生動(dòng)有趣，則對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極主動(dòng)性有非常大的幫助。[1]在微積分的第一次課，我會(huì)將微積分這門(mén)課程中的主要口訣列出來(lái)告訴學(xué)生，要他們時(shí)常讀一讀，口訣如下[2]：

關(guān)于函數(shù)這一章的口訣：函數(shù)概念三要素，定義關(guān)系最核心;奇偶函數(shù)常遇到，對(duì)稱(chēng)性質(zhì)不可忘;冪指函數(shù)最可愛(ài)，指數(shù)對(duì)數(shù)一起上;經(jīng)濟(jì)函數(shù)要記牢，章章不離其身影;分段函數(shù)分段點(diǎn)，左右運(yùn)算要先行。

關(guān)于求極限這一章的口訣：分段函數(shù)要注意，分段點(diǎn)處最關(guān)鍵，左右運(yùn)算要先行;極限為零無(wú)窮小，乘有限仍無(wú)窮小;待定極限多類(lèi)型，分層處理洛必達(dá);數(shù)列極限洛必達(dá)，必須轉(zhuǎn)化連續(xù)型;和式極限逢絕境，轉(zhuǎn)化積分見(jiàn)光明;無(wú)窮大比無(wú)窮大，最高階項(xiàng)除上下;n項(xiàng)加減必合并，否則估計(jì)上下界，變量替換是一法，由繁化簡(jiǎn)要找它;遞推數(shù)列求極限，單調(diào)有界必先證，兩邊極限共同上，方程之中極限求。

關(guān)于求導(dǎo)數(shù)及偏導(dǎo)的口訣：切線斜率是導(dǎo)數(shù)，法線斜率負(fù)倒數(shù);可導(dǎo)可微互等價(jià)，它們都比連續(xù)強(qiáng);分段函數(shù)分段點(diǎn)，左右運(yùn)算要先行;有理函數(shù)要運(yùn)算，最簡(jiǎn)分式要先行;高次三角要運(yùn)算，降次處理要先行;多元復(fù)合求偏導(dǎo)，鏈鎖公式不可忘;多元隱函求偏導(dǎo)，交叉偏導(dǎo)加負(fù)號(hào)。

關(guān)于微分中值定理的口訣：函數(shù)為零要證明，介值定理定方向;導(dǎo)數(shù)為零欲證明，羅爾定理負(fù)責(zé)任;函數(shù)之差化導(dǎo)數(shù)，拉氏定理顯神通;導(dǎo)數(shù)函數(shù)合（組合）為零，輔助函數(shù)用羅爾;尋找ξ，η無(wú)約束，柯西拉氏先后上;尋找ξ，η有約束，兩個(gè)區(qū)間用拉氏。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這一章的口訣：?jiǎn)握{(diào)遞增與遞減，先判導(dǎo)數(shù)正與負(fù);凸凹切線在上下，凸凹轉(zhuǎn)化在拐點(diǎn);端點(diǎn)、駐點(diǎn)、非導(dǎo)點(diǎn)，函數(shù)值中定最值;

關(guān)于積分這一章的口訣：湊微分法經(jīng)常用，微分公式要熟背;第二換元去根號(hào)，規(guī)范模式可依靠;分部積分難變易，弄清u、v是關(guān)鍵;變限積分是函數(shù)，遇到之后先求導(dǎo);變限積分雙變量，先求偏導(dǎo)后求導(dǎo);定積分化重積分，廣闊天地有作為;多重積分要計(jì)算，累次積分是關(guān)鍵;積分順序要交換，必先畫(huà)出積分圖。

關(guān)于級(jí)數(shù)內(nèi)容的口訣：無(wú)窮級(jí)數(shù)判收斂，部分和后求極限;正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法，比較、比值和根值;冪級(jí)數(shù)求和有妙招，公式、等比、列方程。

下面我從三個(gè)方面來(lái)談口訣在微積分教學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、章節(jié)未始，口訣先熟

以口訣的形式總結(jié)重點(diǎn)章節(jié)的內(nèi)容，方便學(xué)生記住該章的內(nèi)容，從而減少學(xué)生的畏難情緒，同時(shí)會(huì)引起學(xué)生探究新知的興趣。一般在上一章節(jié)內(nèi)容快講完時(shí)，我會(huì)將下一章節(jié)的口訣發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生先熟讀成誦。如當(dāng)我快要結(jié)束極限這一章時(shí)我就將導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的口訣發(fā)給學(xué)生，這個(gè)口訣會(huì)比上述口訣更詳細(xì)些，其口訣如下：

導(dǎo)數(shù)定義是關(guān)鍵，因變?cè)隽空嘭?fù)，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)若存在，函數(shù)該點(diǎn)處連續(xù)。分段函數(shù)要注意，分段點(diǎn)處最關(guān)鍵，左右運(yùn)算要先行;求導(dǎo)公式必牢記，復(fù)合函數(shù)逐層導(dǎo);冪指積商用對(duì)數(shù)，隱函求導(dǎo)路數(shù)多，微分、公式、直接法。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用可重要，洛必達(dá)法則陷阱多，未定極限類(lèi)型多，分層處理洛必達(dá)。一階導(dǎo)，判單調(diào)，二階導(dǎo)，求拐點(diǎn)，判凹凸。端點(diǎn)、駐點(diǎn)、非導(dǎo)點(diǎn)，函數(shù)值中定最值。

這一口訣體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的主要內(nèi)容和主要方法，“導(dǎo)數(shù)定義是關(guān)鍵，因變?cè)隽空嘭?fù)，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)若存在，函數(shù)該點(diǎn)處連續(xù)”指出了導(dǎo)數(shù)定義的重要性;“分段函數(shù)分段點(diǎn)，左右運(yùn)算要先行”指出分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性判斷應(yīng)特別注意要進(jìn)行左右導(dǎo)運(yùn)算，“求導(dǎo)公式必牢記，復(fù)合函數(shù)逐層導(dǎo);冪指積商用對(duì)數(shù)，隱函求導(dǎo)路數(shù)多，微分、公式、直接法”概括了幾種求導(dǎo)方法;“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用很重要，洛必達(dá)法則要用好，待定極限多類(lèi)型，分層處理洛必達(dá)”表明了洛必達(dá)法則求極限是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一;“一階導(dǎo)數(shù)判單調(diào)，二階導(dǎo)數(shù)求拐點(diǎn)、判凸凹”這句口訣說(shuō)明了一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)的作用;“端點(diǎn)，駐點(diǎn)，非導(dǎo)點(diǎn)，函數(shù)值內(nèi)求最值”這句口訣說(shuō)明了求最值的方法。學(xué)生掌握這個(gè)口訣后，對(duì)本章的主要內(nèi)容會(huì)有一個(gè)大概了解，會(huì)為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、重要定理，口訣助力

在講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用前必須要講到中值定理，且這三個(gè)定理有相似之處，容易記混。此時(shí)，我會(huì)使用相應(yīng)的口訣，便于學(xué)生記憶和理解。微分中值定理有三個(gè)：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，這三個(gè)微分中值定理的條件中相同的部分也有不同的部分。結(jié)合三個(gè)定理的特點(diǎn)，可用如下口訣：

閉連開(kāi)導(dǎo)同要求，端值相等為羅爾，切線必是水平線;端值不等是拉氏，此時(shí)切線未必平;兩個(gè)函數(shù)比端點(diǎn)，柯西導(dǎo)數(shù)來(lái)替換;羅爾、拉氏、柯西點(diǎn)，未必同一區(qū)間里。

該口訣將微分中值定理的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)區(qū)分開(kāi)，并強(qiáng)化了該定理的幾何意義，對(duì)學(xué)生加深中值定理的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用是非常有利的。

三、重要方法，口訣解疑

在微積分中，極限、導(dǎo)數(shù)、積分、微分方程等知識(shí)占非常重要的地位，很多計(jì)算方法、解題方法是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。以分部積分法求不定積分為例，分部積分公式：u（x）v′（x）dx=u（x）dv（x）

=u（x）v（x）-v（x）du（x）

=u（x）v（x）-v（x）u′（x）dx[3]

當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)，應(yīng)該將哪個(gè)函數(shù)選作u（x），哪一個(gè)函數(shù)通過(guò)換元變成v（x），這是運(yùn)用公式的重點(diǎn)。選取u（x）和v（x）時(shí)要考慮v（x）du（x）較u（x）dv（x）更容易計(jì)算。一旦解題思路選擇錯(cuò)誤，會(huì)使積分變得很復(fù)雜且越算越難，甚至很難得出結(jié)果，故正確選擇出u（x）或v（x）至關(guān)重要。因此有主要口訣：分部積分難變易，弄清u（x）、v（x）是關(guān)鍵，但該口訣并沒(méi)有具體說(shuō)明如何弄清它們，因此還要補(bǔ)充其它口訣來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

口訣一[4]：“反對(duì)不能碰，三指試一試”?？谠E中的“反”表反三角函數(shù)，“對(duì)”表對(duì)數(shù)函數(shù)，“三指”表指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及冪函數(shù)。此口訣說(shuō)明遇到反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí)要將它選為u（x），千萬(wàn)不能將它進(jìn)行換元變成v（x），應(yīng)選“三指”進(jìn)行湊微分變形為v（x）。這個(gè)口訣的不足之處是沒(méi)有明確指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)互乘時(shí)如何選取，因此提出下面這個(gè)口訣補(bǔ)充。

口訣二：“指三冪對(duì)反，誰(shuí)后誰(shuí)為u（x）”。這個(gè)口訣說(shuō)明指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)兩兩相乘時(shí)，按指三冪對(duì)反的順序誰(shuí)在后誰(shuí)就選擇為u（x），另一個(gè)變形為v（x），這個(gè)口訣非常好地解決了五類(lèi)基本初等函數(shù)分部積分的問(wèn)題。現(xiàn)舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，例如xarctanxdx中，x為冪函數(shù)，arctanx為反三角函數(shù)，因按“指三冪對(duì)反”的順序，故應(yīng)arctanx將作為u（x），x變形為12x2作為v（x）。

該題部分步驟如下：

xarctanxdx=arctanxd（x22）=x22arctanx-x22darctanx

以上是筆者在微積分教學(xué)中運(yùn)用口訣教學(xué)實(shí)踐的部分內(nèi)容。在課堂上通過(guò)師生互動(dòng)，不僅活躍了課堂氣氛，而且學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)習(xí)了，從而使學(xué)生更好地記憶并理解知識(shí)。使用這些口訣時(shí)，堅(jiān)持以實(shí)際內(nèi)容為主，口訣為輔的原則，在教學(xué)實(shí)踐中取得了良好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李秀茹.“口訣”在體育教學(xué)中的應(yīng)用[J].科技資訊，2005（5）：93-94.

[2]微積分口訣（崔北祥數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的博客）.

[3]華長(zhǎng)生，等.《微積分（二）》[M].北京：高等教育出版社，2013：28-34.

[4]陶碩，等.分部積分的“十字”口訣方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，11（6）.

作者簡(jiǎn)介：趙未蓮（1972-），女，漢族，江西吉水人，本科，碩士，講師，江西財(cái)經(jīng)大學(xué)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院從事基礎(chǔ)教學(xué)與研究。