“弧度制”教學(xué)設(shè)計

朱振揚

(江蘇省邗江中學(xué)，225000)

一、教材分析

“弧度制”是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(必修4)》第1.1.2節(jié)的內(nèi)容．上承任意角,下啟三角函數(shù),是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容不可或缺的一部分,建立弧度制是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

本節(jié)課授課對象是高一學(xué)生,學(xué)生已經(jīng)具有一定的直觀想象能力、抽象概括能力和推理證明能力,但本節(jié)課需要構(gòu)建一種新的制度來表示角的大小,怎樣去尋找表示的量以及關(guān)系式,這些會讓學(xué)生感到一定的困難.

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)理解弧度的意義,能熟練掌握弧度制和角度制的互相轉(zhuǎn)化;

(2)掌握弧長公式和扇形面積公式,能靈活應(yīng)用公式解決簡單的實際問題;

(3)了解角的集合和實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系.

四、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點:理解弧度的意義,能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算;

教學(xué)難點:理解并掌握弧度的概念.

五、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

(1)兩條線段長度分別為0.001千米和121厘米,哪個比較長?

(3)如果已知α=90°,能否比較sinα和α的大小?

問題1對于第(3)個問題,我們能否建立一種新的制度,用一個實數(shù)來唯一表示角的大小?

設(shè)計意圖對于問題(1)(2),我們發(fā)現(xiàn)，在同一種制度下,通過單位換算可以更清楚的比較兩個量之間的大小關(guān)系,但是對于問題(3)我們不能進(jìn)行比較,是因為角度和實數(shù)不在同一種制度中.引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，從而導(dǎo)入新課.

2.意義建構(gòu),解決問題

問題2我們是怎樣定義1°的角的?

圖1是本章引言給出的表示圓周上動點P的三種表示方法,能否觀察前兩幅圖并給出α,l,r之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系?

設(shè)計意圖展示本章序言部分的三種表示圓周上動點的方法,利用動點來研究角的問題,我們可以借助這三張圖，用α,r,l這三個實數(shù)來表示已知角,從而得出角和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.

問題3如圖2，在半徑為r(r>0)的圓中,圓心角∠AOB=n°,你能猜想用哪些實數(shù)來表示∠AOB?

我們用弧長與半徑的比值(十進(jìn)制)來度量弧長所對的圓心角的大小.

∠AOBrllr n°1nπ180nπ180 n°22nπ180nπ180 n°33nπ180nπ180

定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,記作1 rad.用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.

從數(shù)學(xué)史的角度向?qū)W生介紹弧度制的發(fā)展,通過學(xué)生課外自主查閱相關(guān)資料,使學(xué)生對數(shù)學(xué)形成過程有所了解,培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神.

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhardo Eulero,1707 年～1783 年)在 1748 年出版的著作《無窮小分析概論》中,提出令圓的半徑為 1,使得對三角函數(shù)的研究大為簡化. 并提出了弧度制的思想.他認(rèn)為,如果把半徑作為 1 個單位長度,那么半圓的長就是π,這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來,大大簡化了某些三角公式及計算.

1873 年 6 月 5 日,數(shù)學(xué)教師湯姆生(James Thomson)在北愛爾蘭首府貝爾法斯特(Belfast)女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞.

(3)252°= (4)11°15′=

設(shè)計意圖根據(jù)定義，讓學(xué)生感受一個單位角度制和弧度制的轉(zhuǎn)化,并利用相應(yīng)的例題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受兩種單位的相互轉(zhuǎn)化.同時，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史，向?qū)W生展示該知識點的發(fā)展歷程,進(jìn)一步豐富課堂,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的文化修養(yǎng).

問題4你能利用剛學(xué)的弧度制知識,將初中所學(xué)的弧長公式和扇形的面積公式進(jìn)行化簡嗎?

例2已知扇形的周長為8 cm,圓心角為2rad,求該扇形的面積.

練習(xí)蒸汽機(jī)飛輪的直徑為1.2 m,以300 r/min(轉(zhuǎn)/分)的速度作逆時針旋轉(zhuǎn),求:

(1)飛輪1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度數(shù);

(2)輪周上一點1 s內(nèi)所經(jīng)過的路程.

設(shè)計意圖讓學(xué)生體會弧度制，統(tǒng)一了度量弧與半徑的單位,從而大大簡化了有關(guān)公式及運算,通過例題進(jìn)一步讓學(xué)生熟悉公式,學(xué)會應(yīng)用公式解決簡單的實際問題.

問題5弧度制建立以后,角度制和實數(shù)之間的聯(lián)系?

3.歸納反思,總結(jié)提高

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),我們學(xué)習(xí)了哪些知識點?掌握了哪些數(shù)學(xué)方法?

4.布置作業(yè),拓展學(xué)習(xí)

(1)讓學(xué)生補(bǔ)充查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料;

(2)完成書后第9頁第16題；

設(shè)計意圖通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弧度制下角度和實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系,為接下來學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下理論基礎(chǔ).同時，在歸納反思中和學(xué)生一起回顧本節(jié)課的重難點,提煉數(shù)學(xué)思想方法,以及培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會提問的能力.

六、教學(xué)反思

本節(jié)課通過問題引領(lǐng),在創(chuàng)設(shè)情境時，列舉了三種情境來對比，發(fā)現(xiàn)需要統(tǒng)一單位,但是最后一個問題學(xué)生回答不出,教師通過問題2引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),兩者不好比較大小的原因是因為單位不統(tǒng)一,所以將本節(jié)課的重點問題給出——如何構(gòu)建角度和實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系?(必要性)

在回顧角度制定義的基礎(chǔ)上,通過問題3將角度放入具體的圖形(圓)中,幫助學(xué)生回憶初中學(xué)習(xí)的弧長公式,以便更快速地發(fā)現(xiàn)半徑r,弧長l以及圓心角α三者之間的關(guān)系,從而確定描述角度大小的新定義,讓教材的設(shè)計、教師的做法和學(xué)生的感受三種思維保持一致. (合理性)

在給出定義的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步給出整個弧度制的發(fā)展史,以豐富學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.然后，用兩個例題讓學(xué)生熟悉角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化,重點強(qiáng)調(diào)書寫格式,不能混淆兩個單位.(規(guī)范性)

最后用問題4引出能否用今天所學(xué)的新制度來簡化初中所學(xué)的弧長公式和扇形的面積公式,以例2為例，向?qū)W生展示新公式的應(yīng)用,緊接著通過練習(xí)讓學(xué)生感受弧度制在解決簡單實際問題中的應(yīng)用.(可應(yīng)用性)

最后對本節(jié)課知識點進(jìn)行梳理總結(jié),引導(dǎo)學(xué)生提煉其中的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.分層布置課后作業(yè),讓學(xué)有余力的同學(xué)有進(jìn)一步鉆研的方向,達(dá)到因材施教的目的.