“模型化”思維與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)

陳 耀

(福建省古田縣第一中學(xué)，352200)

“模型化”思維就是數(shù)學(xué)建模思想,它是將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化,通過邏輯思維將問題原型進行數(shù)學(xué)抽象和概括,并運用其指導(dǎo)其他相關(guān)數(shù)學(xué)問題解決的一種演繹思想，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的一種具體化的操作方式.下面筆者將結(jié)合“模型化”思維方式以及具體的幾種數(shù)學(xué)模型解題方法，來談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

一、“模型化”思維與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

1“模型化”思維

為了達到某種特定目的而對事物進行的概括性簡化處理,我們把這種處理稱為模型化處理.把復(fù)雜的、難以處理的數(shù)學(xué)問題進行有效的模型化處理,這就是數(shù)學(xué)建模思想.用這種思想去解決某些問題,就是“模型化”思維.通過建立模型,可以幫助我們透過現(xiàn)象看本質(zhì).在高中數(shù)學(xué)中,我們可以用“模型化”思維，建構(gòu)幾何模型、函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、數(shù)列模型、排列組合模型、不等式模型等各種具體模型，使問題得以簡化處理,也可以利用一些已知的常用模型來處理一些新的數(shù)學(xué)問題.

2.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017版)提出了學(xué)科核心素養(yǎng),其中一種就是數(shù)學(xué)建模.所謂數(shù)學(xué)建模,就是對數(shù)學(xué)問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言描述問題,用構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)方法解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為提出問題,建模求解,檢驗完善,分析和解決問題，其中“建模求解”這個環(huán)節(jié)正好與“模型化”思維相吻合.

二、“模型化”思維的分類

“模型化”思維，其實就是針對要解決的問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)模型的研究，去解決實際問題的一種數(shù)學(xué)方法,并以此來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).概括起來,它的步驟一般是將“待解決問題”經(jīng)過構(gòu)造成“數(shù)學(xué)模型”,再推算出“數(shù)學(xué)模型的解”,然后還原成“原問題的解”.下面結(jié)合具體問題來談?wù)剮追N常用的數(shù)學(xué)模型.

1.函數(shù)模型

例1若x,y∈R，且

求x+y=______.

解析觀察提煉,經(jīng)過適當(dāng)?shù)膿Q元,令t=x-1,可以探索得到函數(shù)模型f(t)=t3+2 019t,易知此函數(shù)為奇函數(shù),綜合已知可得f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y).由于f(t)在定義域內(nèi)是單調(diào)的,得x-1=1-y,即x+y=2.

本題根據(jù)已經(jīng)條件構(gòu)造定義域在R上的三次奇函數(shù)模型,根據(jù)此三次函數(shù)關(guān)于原點對稱,在R上單調(diào)遞增等性質(zhì)，可以輕松求得x+y的值,而并非根據(jù)方程的思想消元處理.常見的函數(shù)模型還有:一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型等,在學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會比對它們的聯(lián)系與區(qū)別,抓住它們的典型特征,比如一次函數(shù)模型的單調(diào)特點,二次函數(shù)模型的對稱性特點,指數(shù)函數(shù)的恒正特點,三角函數(shù)的周期性特點等.

2.立體幾何模型

例2在三棱錐A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的體積是______.

解析已知條件給出了三棱錐三組對棱的長度,若直接根據(jù)已知找圓心,難度較大且求解過程比較繁瑣.因此,我們可運用模型化的思維方法,建構(gòu)一個相鄰面對角線長分別為2,3,4的長方體模型,將已知三棱錐A-BCD嵌入長方體中,顯然易知長方體的中心為外接球球心.

本題能否順利解答，與學(xué)生對長方體性質(zhì)是否熟練掌握密切相關(guān),我們在學(xué)習(xí)立體幾何時，要注意歸納收集常見的立體幾何模型,常見的模型還有正方體、正四面體、球體等.平時認真研究其所具有的性質(zhì),解題時就能體會到模型化思維的優(yōu)勢.

3.平面解析幾何模型

平面幾何模型很多,有三角形全等模型、三角形相似模型,還有正方形模型、長方形模型、菱形模型等.解析幾何是平面幾何的延伸,當(dāng)然也具有它獨有的內(nèi)容,比如距離模型、斜率模型、橢圓模型、雙曲線模型、拋物線模型等,這些模型中蘊含著豐富的知識內(nèi)容,需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中慢慢體會.

4.不等式模型

5.排列組合模型

例56個人站成一排:(1)其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法?(2)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法?(3)其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法?(4)其中甲不站排頭,且乙不站排尾有多少種不同的排法?

解析在解決排列組合問題時，主要是用加法原理與乘法原理及它們的綜合運用，具體表現(xiàn)形式多樣.如本題就涉及到好幾個排列組合問題中常用的模型:(1)捆綁模型,(2)插空模型,(3)特殊元素、位置優(yōu)先模型,(4)排除模型.當(dāng)然常見的排列組合模型還有隔板模型、錯位模型、分類模型等,都可通過具體的例子讓學(xué)生從中體會、領(lǐng)悟、探究.

6.數(shù)列模型

例6在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,則an=______.

解析∵an+1=2an+1,

∴an+1+1=2an+2=2(an+1)，又a1+1=2

∴{an+1}是首項為2公比為2的等比數(shù)列,

∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.

三、“模型化”思維的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項長期而艱巨的任務(wù),決非一朝一夕的事.用“模型化”思維處理問題,找出隱含其中的數(shù)學(xué)模型,有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng),同時能讓學(xué)生更容易抓住題目本質(zhì),進而高效地解題.根據(jù)筆者自身的教學(xué)經(jīng)驗,可以從以下三個方面著手培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

1.“磨刀不誤砍柴工”

首先要夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，包括基本概念、定理、公式、法則等;熟悉各種題型的解題步驟;具備一定的審題能力,即能在正確理解題意的基礎(chǔ)上,合理拆解題目的各個“零部件”.在此基礎(chǔ)上,教師可以根據(jù)所任教班級的實際情況,找準培養(yǎng)的落腳點和切入點,遵循科學(xué)的方法，先從簡單數(shù)學(xué)建模著手，分層推進培養(yǎng),讓學(xué)生先明白有哪些常用的數(shù)學(xué)模型,并弄清這些模型的使用前提和適用范圍，有意識地培養(yǎng)學(xué)生模式化的思維方式,為進一步訓(xùn)練做好鋪墊.總之,就是要抓住盡可能多的數(shù)學(xué)問題情境,提升學(xué)生問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)模型化的能力.

2.“絕知此事要躬行”

有了模型化思維意識,還需要進行強化訓(xùn)練.教師應(yīng)制定好計劃,在高一至高三的數(shù)學(xué)課堂中都要結(jié)合具體知識進行滲透.比如講解完函數(shù)相關(guān)知識點時,就要有意識地通過相應(yīng)的例題進行函數(shù)模型歸類,并引導(dǎo)學(xué)生從模式化的視角看問題,用模式化的思維分析解決問題.教師還要善于與實際生活聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué),并編制對應(yīng)的應(yīng)用題,或者通過研究性課程的開展,讓學(xué)生自行提煉生活中的數(shù)學(xué)模型,根據(jù)學(xué)生們自身的實際知識水平和能力水平，舉行分組建?；顒?讓他們通過活動獲得數(shù)學(xué)建模的基本策略、基本建模步驟，最大程度提升模型化思維.

3.“無招勝有招”

數(shù)學(xué)建模的基本步驟一般為模型準備、假設(shè)、構(gòu)成、求解、分析、檢驗和應(yīng)用.掌握各種不同模型的解題步驟是問題解決的關(guān)鍵.某些學(xué)生不重視總結(jié)反思,在未厘清題目中各“零部件”時,出現(xiàn)亂建模、無目的建模的現(xiàn)象,結(jié)果要么無功而返,要么未達到簡化問題的目的,使得問題變得更加復(fù)雜.在經(jīng)過正確合理的訓(xùn)練熟悉后,可以合理地“跳出”模型思維(這里的跳出是暫時的),防止思維定勢,也就是進行“去模式化訓(xùn)練”,使學(xué)生能更好地遷移所學(xué)數(shù)學(xué)模型，來解決未知模型的問題,這樣就能真正讓學(xué)生達到手中無劍,心中有劍,人劍合一的無招勝有招的境界.