數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

黃定紅

摘要：本文對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，從函數(shù)圖形轉(zhuǎn)函數(shù)，函數(shù)轉(zhuǎn)圖形，函數(shù)和圖形之間互相轉(zhuǎn)換的三個(gè)方面提出了探討，為數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問(wèn)題的策略提供參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;函數(shù);數(shù)學(xué)

函數(shù)圖像是函數(shù)概念在二維環(huán)境下的直觀展現(xiàn)，是解決函數(shù)問(wèn)題的突破口。函數(shù)圖像能夠清晰的展現(xiàn)出函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律，了解函數(shù)與變量之間的關(guān)系，有助于函數(shù)問(wèn)題的解決。在進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)的時(shí)候，要善于利用函數(shù)圖像輔助函數(shù)解題，利用數(shù)形結(jié)合的思想能夠有效提升函數(shù)學(xué)習(xí)的效果，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

1.數(shù)形結(jié)合中的以形助數(shù)思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

通過(guò)函數(shù)圖形幫助函數(shù)問(wèn)題的解決，是初中階段用來(lái)解決函數(shù)學(xué)習(xí)的最主要的方式之一。借助圖像所具有的生動(dòng)、直觀的特點(diǎn)，把數(shù)量之間的變化關(guān)系表現(xiàn)的非常直觀形象，一眼就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這也讓解題思路變得更加清晰起來(lái)。

因?yàn)閿?shù)字本身所具備的抽象、零碎的特性，如果在解決函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，糾結(jié)于數(shù)值上面，就會(huì)加大函數(shù)解題的難度，增加了干擾項(xiàng)。所以要從“數(shù)”的領(lǐng)域轉(zhuǎn)變成“形”的領(lǐng)域，利用圖形去解決問(wèn)題。

核心思路是把以數(shù)為主的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成以形問(wèn)題，先去解決函數(shù)圖形當(dāng)中存在的問(wèn)題，最后再次解決函數(shù)的問(wèn)題。

例如在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程中，給出題目：“一塊冰塊沿著管道向下滑，它的速度v（m/s）與冰塊下落時(shí)間t（s）的關(guān)系如圖所示。

（1）試寫(xiě)v與t之間的關(guān)系表達(dá)式;

（2）當(dāng)冰塊滑落3s時(shí)冰塊的速度是多少？

教師進(jìn)行函數(shù)教學(xué)的時(shí)候，通過(guò)函數(shù)圖像將函數(shù)中數(shù)量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)變成更加直觀、更加形象的直角坐標(biāo)系，學(xué)生可以從圖像中觀察到數(shù)量之間的變化關(guān)系（因?yàn)閳D像是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，因此該圖像為正比例圖像）和題意分析可知，變量v與變量t之間呈正比例關(guān)系[1]。設(shè)v=kt，通過(guò)這種方式可以有效的結(jié)合已知量和變量，讓學(xué)生重新通過(guò)另一種方式認(rèn)識(shí)到一次函數(shù)和變量之間的關(guān)系。通過(guò)學(xué)生自己的觀察和分析，尋找出正確的答案。最后根據(jù)圖像可以看出，當(dāng)冰塊下滑速度在3s的時(shí)候，速度達(dá)到3k，已知k=v/t且k是定量，所以根據(jù)t在2s時(shí)v=5可知，k=2.5，所以當(dāng)t=3時(shí)，v=7.5。因此，確定直角坐標(biāo)系思想模型，可以讓學(xué)生在對(duì)函數(shù)問(wèn)題形象化的分析實(shí)踐中，達(dá)到對(duì)問(wèn)題的有效分析，合理判斷，并最終作出對(duì)函數(shù)問(wèn)題的有效解答。

通過(guò)函數(shù)圖形去幫助解決函數(shù)問(wèn)題，這之中圖形是關(guān)鍵的。在解題的過(guò)程中，需要制作正確的圖，學(xué)會(huì)正確用圖，最后用正確的邏輯去分析函數(shù)圖形，是以形助數(shù)的基本。要學(xué)會(huì)從函數(shù)轉(zhuǎn)到圖形，再?gòu)膱D形轉(zhuǎn)回函數(shù)。心理學(xué)領(lǐng)域元認(rèn)知的概念就是認(rèn)為人只要通過(guò)培訓(xùn)，就可以對(duì)認(rèn)識(shí)行為進(jìn)行再認(rèn)識(shí)。因此要在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，

做到見(jiàn)“數(shù)”如見(jiàn)“圖”，將函數(shù)的解題思路放在更高一個(gè)層次上，才能做到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升。

2.數(shù)形結(jié)合中的以數(shù)代形思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)運(yùn)用文字的形式表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，這不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維的發(fā)展。因此要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐的過(guò)程中，將函數(shù)代數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成幾何圖像，用生動(dòng)形象的幾何圖形直觀的表現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，更有助于引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升對(duì)函數(shù)問(wèn)題的認(rèn)知。

例如在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的過(guò)程中，分析例題：若點(diǎn)（-3，y1）、（-2，y2），（0，y3）在反比例圖像y=-3/x上，求y1，y2，y3之間的大小關(guān)系。根據(jù)反比例函數(shù)的關(guān)系式可以得到直角坐標(biāo)函數(shù)圖像，然后再在圖像上標(biāo)注y1，y2，y3三個(gè)點(diǎn)所在的位置，對(duì)比三個(gè)點(diǎn)的大小關(guān)系，得出答案。通過(guò)以數(shù)化形的方式，可以讓數(shù)量關(guān)系在直觀圖里通過(guò)更直接的方式展現(xiàn)出來(lái)，不需要通過(guò)繁雜的計(jì)算就可以輕松對(duì)比出大小關(guān)系，為函數(shù)當(dāng)中在函數(shù)圖像的應(yīng)用擴(kuò)寬了思考方向。

3.數(shù)形結(jié)合中的互相變換思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

如果在函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中直接給出函數(shù)的關(guān)系式和圖像，那么一定可以很輕松的發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并找到解決的辦法。但是如何判斷函數(shù)的數(shù)量具體關(guān)系，以及根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出正確的關(guān)系式，再進(jìn)行正式的畫(huà)圖分析，則需要更多的考量。數(shù)形互換的方法可以很好的解決在單一思路受到阻礙的情況[2]。如果無(wú)法確定函數(shù)的關(guān)系式，那么可以先構(gòu)畫(huà)函數(shù)圖像，通過(guò)分析函數(shù)圖像的增減性，然后判斷函數(shù)之間的關(guān)系，最后再寫(xiě)出關(guān)系式。數(shù)形互換思想是利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問(wèn)題當(dāng)中最復(fù)雜也是最靈活的方式，如果能做到正確合理的運(yùn)用，將會(huì)對(duì)函數(shù)思維模型的構(gòu)建起的極大的推動(dòng)作用。

例如已知函數(shù)y=kx+b（k≠0）和函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A（m，4）和點(diǎn)B（2，n）兩點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸交于M，N兩點(diǎn)，求（1）一次函數(shù)的解析式，（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出kx+b-≥0重的x的取值范圍。

解題時(shí)要注意發(fā)揮數(shù)和形的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合數(shù)形關(guān)系進(jìn)行分析。根據(jù)第一問(wèn)，根據(jù)函數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算得出k=-2，b=6，m=1，n=2，所以函數(shù)y=-2x+6。如果沒(méi)有圖形作為輔助，那么這道題需要解出kx+b-≥0中的x的取值范圍，也就是-2x+6-≥0的范圍，難度較大。

我們可以觀察一次函數(shù)和反比例函數(shù)之間的關(guān)系和交點(diǎn)，可以看出當(dāng)反比例函數(shù)在第一象限時(shí)，僅在m到n點(diǎn)的取值小于一次函數(shù)，其他階段都滿(mǎn)足kx+b-≥0，所以根據(jù)題目我們可以直接得出當(dāng)x≤0或1≤x≤2的時(shí)候，滿(mǎn)足kx+b-≥0。

結(jié)論

數(shù)形結(jié)合思想的研究是對(duì)函數(shù)解題思路的一種改進(jìn)，是對(duì)認(rèn)知方法的再認(rèn)知，有利于提升思想高度去解決函數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化問(wèn)題的同時(shí)尋找到更多的辦法，開(kāi)拓眼界。在數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要熟練的掌握好從圖形轉(zhuǎn)函數(shù)、從函數(shù)轉(zhuǎn)圖形，再到函數(shù)圖形互相轉(zhuǎn)換的辦法，尋找到不同的解題思路，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]王偉平，張宏政.妙用兩點(diǎn)構(gòu)圖像立足關(guān)聯(lián)謀整體——函數(shù)復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)錄及點(diǎn)評(píng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（35）：33-36.

[2]羅曉彤.數(shù)形結(jié)合對(duì)應(yīng)為徑——數(shù)形結(jié)合思想方法在函數(shù)綜合問(wèn)題中的應(yīng)用分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（35）：66-69.