試談分類思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

杜 薇

(江蘇省徐州市少年兒童業(yè)余體育學(xué)校 221000)

一、分類討論在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題和重要問(wèn)題，函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)抽象且復(fù)雜，它通過(guò)不同的函數(shù)模型來(lái)描述因變量與自變量之間的變化關(guān)系，在問(wèn)題處理上就更加復(fù)雜和麻煩.因而，教師在函數(shù)問(wèn)題的具體解決上，可以適當(dāng)?shù)乩梅诸愑懻撍枷霂椭鷮W(xué)生理解和學(xué)習(xí).

如：已知函數(shù)y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a為常數(shù))，若該函數(shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線，與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且x2-x1=2，并作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BC，DC，求sin∠DCB的值.

這個(gè)問(wèn)題就是一道十分典型的函數(shù)類型的分類討論問(wèn)題.本題的關(guān)鍵在于，隨著點(diǎn)A的移動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)D的位置也隨之而動(dòng)，并導(dǎo)致∠DCB的變化.因此，本題的討論標(biāo)準(zhǔn)在于討論線段AB與x軸的相對(duì)位置，從而導(dǎo)致的x1(或x2)的值的變化.確定討論標(biāo)準(zhǔn)，即x1分別在(-∞,-2)、[-2，-1)、[-1，0)、[0，+∞)等區(qū)間(見(jiàn)下圖)，再分別利用二次函數(shù)和代數(shù)幾何知識(shí)解決問(wèn)題.

從這個(gè)例子可以看出，對(duì)于函數(shù)問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段、動(dòng)圖問(wèn)題，分類討論是一種常規(guī)性和高效性的解決思路.教師在針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，最主要的是找分類標(biāo)準(zhǔn)和逐個(gè)類別討論兩大問(wèn)題.其中，分類標(biāo)準(zhǔn)往往是動(dòng)圖問(wèn)題中的特殊情形，如這道題中的分類點(diǎn)均是∠DCB不存在時(shí)的特殊點(diǎn);逐個(gè)類別討論則十分考驗(yàn)學(xué)生的邏輯分析能力，只能通過(guò)充分的訓(xùn)練進(jìn)行不斷鍛煉和提升.

二、分類討論在代數(shù)問(wèn)題中的基本應(yīng)用

分類討論在初中數(shù)學(xué)的代數(shù)問(wèn)題中，也有著較為普遍的應(yīng)用.這種應(yīng)用，更多是由于代數(shù)問(wèn)題中的某些固定性質(zhì)所決定的，因而處理起來(lái)并不是十分困難，但考查學(xué)生對(duì)于代數(shù)問(wèn)題的把握能力.

這個(gè)問(wèn)題引發(fā)討論的點(diǎn)在于，對(duì)該分式方程去分母化簡(jiǎn)后，得到的是為(a-1)x=-21的等式.那么首先需要進(jìn)行考慮的是，該等式是否為一元一次方程，由此得出第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是a=1，如果a=1，就不是方程了.其次需要討論的是，該等式若為一元一次方程，分母不能是0，也就是x-3≠0、x+3≠0，而問(wèn)題是無(wú)實(shí)數(shù)解，則說(shuō)明x=3或者x=-3，這樣，再分別討論x是3、-3時(shí)，求出a的值，于是得出a的全部值為8，-6或1.

再如，已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

本題引發(fā)討論的點(diǎn)在于該方程是否為一元二次方程，由此得出分類標(biāo)準(zhǔn)m=0,繼而分別討論該方程作為一元一次方程和一元二次方程的情形下，m的取值范圍.

這兩道例題，足以引起我們對(duì)于代數(shù)問(wèn)題中的分類討論應(yīng)用的注重，需要引導(dǎo)學(xué)生注意代數(shù)問(wèn)題下的細(xì)節(jié)和性質(zhì)，并熟練地將其應(yīng)用到解題過(guò)程中.因此，教師應(yīng)在這類問(wèn)題上注重引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)理解和把握，在分析問(wèn)題的過(guò)程中領(lǐng)悟分類的本質(zhì)內(nèi)涵.

三、分類討論在圓的問(wèn)題中的基本應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，圓相關(guān)問(wèn)題向來(lái)是重點(diǎn)問(wèn)題，其對(duì)于分類討論的要求也最為嚴(yán)苛.學(xué)生在處理這類問(wèn)題時(shí)，也往往難以理清思路，難以下手.但這類問(wèn)題其實(shí)有著明確的解決思路和思維模板，因此，在這一問(wèn)題中，尤其需要教師多多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析和訓(xùn)練.

例如：已知兩圓相交，且公共弦長(zhǎng)為5cm，若兩圓半徑分別為3cm和4cm，那么圓心距是多少？

本題中，學(xué)生往往難以全面討論，這主要是由于學(xué)生對(duì)圓與直線的位置關(guān)系難以把握所導(dǎo)致的.本題其實(shí)是圓心與弦的位置關(guān)系不唯一導(dǎo)致的分類討論，因此依然可以看作是動(dòng)圖問(wèn)題，當(dāng)兩圓心由遠(yuǎn)及近逐漸靠近時(shí)，存在公共弦為5cm的情況，從這一思路出發(fā)，不難發(fā)現(xiàn)該公共弦可能在兩圓心同旁或之間，繼而可以進(jìn)行討論解題.

再如，若圓O所在平面上一點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，(a>b)，則此圓的半徑為_(kāi)___.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵在于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不唯一，因此依然可以看作是動(dòng)圖問(wèn)題，當(dāng)P由遠(yuǎn)及近向圓心靠攏時(shí)，就分別出現(xiàn)了P在圓外和P在圓內(nèi)兩種情形，據(jù)此展開(kāi)討論分析，即可迅速解出答案.

總之，分類討論作為初中數(shù)學(xué)的一大重點(diǎn)和難點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛和復(fù)雜.教師在幫助學(xué)生把握此類問(wèn)題時(shí)，要善于利用“分類”思想，并引導(dǎo)學(xué)生了解和掌握分類思想在數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域中的運(yùn)用中的微妙的區(qū)別，真正掌握其使用方法和思維范式，從而幫助學(xué)生掌握好分類討論思想，在具體問(wèn)題中應(yīng)用好分類討論思想，以期最終能夠深刻把握和熟練運(yùn)用分類思想這一解題利器，提高數(shù)學(xué)解題能力，提高數(shù)學(xué)綜合能力.