變截面渦旋盤的阿基米德螺線擬合方法

劉 濤，張春林

（蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

渦旋壓縮機由于其效率高，噪聲低，質(zhì)量輕，尺寸小，可靠性好等特點，被廣泛運用于空調(diào)制冷、化工生產(chǎn)、動力等方面。為了追求高的行程容積和工作效率，渦旋壓縮機的型線已從單一圓漸開線發(fā)展到多種基礎(chǔ)曲線組合而成的組合型線。

目前數(shù)控機床只具備直線和圓弧插補功能，在實際的機械生產(chǎn)中加工諸如圓漸開線、高次曲線等非圓弧輪廓曲線時，若采用直線或圓弧擬合，要么具有較大的擬合誤差，要么編程的難度與工作量較大，因此尋求一種新型的擬合方式勢在必行。為了獲得較高的加工精度和加工效率，在進行組合型線渦旋盤加工時，針對其型線的幾何特性，利用阿基米德螺線進行擬合逼近，實現(xiàn)組合型線的高精度加工。

2 組合型線的分析

常見的組合型線有基圓漸開線—高次曲線—圓弧、基圓漸開線—圓弧—基圓漸開線。分析加工的組合型線由基圓漸開線、高次曲線、基圓漸開線三部分組成。

渦旋型線的數(shù)學(xué)模型：

（1）內(nèi)壁

①第一段：圓漸開線

②第二段：高次曲線

（2）外壁

①第一段：圓漸開線

式中：r—第一段，第三段圓漸開線的基圓半徑；Ror—回轉(zhuǎn)半徑；φ—展角變量；Rg—高次曲線的切向分量；Rs—高次曲線的法向分量。Ror=3.46，當r=3時，求得：

按照上述組合型線方程，得出的變截面渦旋盤的三維模型，如圖1所示。

圖1 組合型線渦旋盤Fig.1 Combined Line Vortex

3 阿基米德螺線擬合理論

3.1 阿基米德螺線方程

阿基米德螺線是一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的軌跡。軌跡在極坐標下的方程：

式中：ρ0—曲線初始點的極半徑；θ—曲線上任意一點的極角；v—常數(shù)。

3.2 擬合方法的介紹

阿基米德螺線擬合方法的基本思想是：對已給出的用函數(shù)表示的工件輪廓曲線，用一段方向與原曲線段相同的阿基米德螺線線段擬合該部分輪廓曲線，此段阿基米德螺線的中心為坐標原點。擬合曲線，如圖2所示。

圖2 阿基米德螺線逼近高次曲線Fig.2 The Archimedes Spiral Approximating High Curve Line

用阿基米德螺線逼近輪廓型線時，節(jié)點的數(shù)目及其坐標值取決于曲線的特性，逼近線段的形狀與加工所允許的誤差。在加工編程中既要求數(shù)控程序簡潔，又要滿足加工誤差需求。為了節(jié)點計算簡便，采用發(fā)生角等差值法，將曲線分成若干段，相鄰兩點的發(fā)生角相差Δφ，則：

式中：φi—第i個節(jié)點的發(fā)生角。假設(shè)高次曲線的起始點的發(fā)生角為φ0，結(jié)束點的發(fā)生角為φn，那么待擬合曲線段數(shù)目為：

由上式可知曲線段的數(shù)目n與發(fā)生角差值Δφ成反比，而Δφ的取值直接影響整個擬合過程的誤差和數(shù)控編程的復(fù)雜性。故Δφ的取值要綜合考慮選取。

3.3 擬合誤差的計算

阿基米德螺線擬合方法所取得的阿基米德螺線段端點與Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）重合，且凹凸方向一致，因此，在兩個端點上不會存在擬合誤差，擬合誤差最大值一定發(fā)生在曲線中間位置，如圖3所示。由于反三角函數(shù)的性質(zhì)，型線上任意點Pi（xi，yi）在極坐標下的極角：

利用Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）兩點的坐標可以計算出兩點的極角 θi、θi+1以及極半徑 ρi、ρi+1，并由式（1）求出此段阿基米德螺線的方程：

假設(shè)高次曲線上任意一點P（x，y）的實際加工位置為P′，則此兩點的極半徑之差即為P點的擬合誤差：

3.3.1 圓漸開線的擬合誤差

由渦旋盤的組合型線方程可知，組合型線的第一段和第三段為圓漸開線，那么在此兩段曲線中的任意一點的極角可依式（4）求得，但由于圓漸開線的特殊性，此處所需的極角即為圓漸開線的展角，因此極角與發(fā)生角的關(guān)系：

任意一點的極半徑：

根據(jù)已給出的數(shù)學(xué)模型，取一段圓漸開線，Δφ即步長分別取0.01π，0.02π，0.03π，利用MATLAB軟件對這幾組不同的取值進行擬合誤差的計算，得到的曲線，如圖3所示。

圖3 圓漸開線插補節(jié)點間誤差Fig.3 Error of Interpolation Nodes of Circle Involute

3.3.2 高次曲線的擬合誤差

由渦旋盤的組合型線方程可知，組合型線的第二段為高次曲線，那么在此曲線中的任意一點的極角由式（4）求得。

任意一點的極半徑：

如擬合圓漸開線，取一段高次曲線，步長Δφ分別取0.01π，0.02π，0.03π，利用MATLAB軟件對這幾組不同的取值進行擬合誤差的計算，得到的曲線，如圖4所示。

圖4 高次曲線插補節(jié)點間誤差Fig.4 Error of Interpolation Nodes of High Order Curve

觀察圖3和圖4可得：當使用阿基米德螺線等Δφ的方法逼近圓漸開線與高次曲線時，無論Δφ取值如何，擬合誤差均隨發(fā)生角的增加而減小，換言之，高次曲線的極半徑越大，擬合誤差越小，整個型線中最大擬合誤差出現(xiàn)在初始曲線段。所以只需將初始曲線段的擬合誤差控制在誤差允許范圍內(nèi)，整個曲線的擬合便可滿足加工精度的要求。根據(jù)以上討論，得出Δφ的取值流程，如圖5所示。

圖5 Δφ取值流程圖Fig.5 Flow Chart of Δφ Values

4 應(yīng)用實例

根據(jù)阿基米德螺線的形成原理，在實際數(shù)控加工中，只需工件在自轉(zhuǎn)的同時以相應(yīng)的速度進行水平方向上的移動。工件自轉(zhuǎn)的角度為相鄰兩節(jié)點在極坐標下的極角差值，工件水平移動的距離即為相鄰兩節(jié)點的極半徑差值。

4.1 擬合圓漸開線

根據(jù)已給出的組合渦旋型線方程，取外壁第一段型線即圓漸開線作為待擬合曲線，設(shè)定基于阿基米德螺線擬合方法擬合的最大允許誤差［ε］＜0.001mm，按Δφ取值流程圖所示方法求得Δφ即步長 Δφ＝0.252rad。

按數(shù)控加工的要求，利用步長0.252rad將該段圓漸開線劃分為若干曲線段，根據(jù)阿基米德螺線擬合的原理進行擬合誤差的計算，并用直線和圓弧擬合所有曲線段，得到相應(yīng)的擬合誤差，如表1所示。

表1 圓漸開線擬合誤差Tab.1 Fitting Error of the Involute

4.2 擬合高次曲線

與擬合圓漸開線方法類似，用阿基米德螺線、直線、圓弧分別擬合內(nèi)壁第二段型線即高次曲線段，設(shè)定基于阿基米德螺線擬合方法的最大允許誤差［ε］＜0.001mm，得步長Δφ=0.022rad。計算得到的高次曲線擬合誤差數(shù)據(jù)表，如表2所示。

表2 高次曲線擬合誤差Tab.2 Fitting Error of High Order Curve

表1和表2中的數(shù)據(jù)表示所有曲線段的最大誤差所在位置及三種擬合方式的擬合誤差。從表中的數(shù)據(jù)可以看出基于阿基米德螺線擬合方法的擬合效果最好，兩段型線擬合誤差均小于1μm，擬合圓漸開線過程中，直線擬合和圓弧擬合最大誤差分別達到93.9417μm和14.1231μm；擬合高次曲線過程中，直線擬合和圓弧擬合最大誤差分別達到2.1971μm和1.4153μm。

在滿足［ε］＜0.001mm的情況下，計算出渦旋型線上所有節(jié)點，直線插補需要14654個點，圓弧插補需要1542個點，同等要求下，阿基米德螺線擬合節(jié)點總數(shù)只有430個，比直線擬合少90%，比圓弧擬合少70%。尤其擬合第三段型線過程中，只需要將其外壁型線分為6段，內(nèi)壁型線分為3段，這是直線和圓弧擬合方法都不具備的?？梢姲⒒椎侣菥€擬合方式所需的節(jié)點更少，擬合誤差更小，擬合效果更好。

圖6 擬合節(jié)點Fig.6 Fitting Nodes

5 結(jié)論

提出基于阿基米德螺線逼近圓漸開線—高次曲線—圓漸開線組合渦旋型線的方法與流程，并將其與直線擬合、圓弧擬合方法進行了對比，得到如下結(jié)論：

（1）相較于目前兩種成熟直線和圓弧的擬合方法，阿基米德螺線擬合可以更好地逼近加工曲線，采用這種加工擬合方式可以使刀具軌跡光滑，擬合節(jié)點數(shù)少，加工精度和效率高；

（2）相較于擬合高次曲線，利用阿基米德螺線擬合外圈大展角圓漸開線時所需插補節(jié)點數(shù)更少，優(yōu)勢更為明顯；

（3）根據(jù)擬合全程型線誤差變化的規(guī)律，在加工型線過程中適當?shù)剡M行干預(yù)，適當增大步長，可顯著提高加工效率。