太陽電池翼在軌模態(tài)光學(xué)測量優(yōu)化的計(jì)算機(jī)輔助方法

王 威，臧 旭，郭其威，張美艷，唐國安

（1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

柔性電池翼是空間站的重要組成部分，其動(dòng)力學(xué)特性影響著空間站的姿態(tài)控制［1］?？臻g站運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)激勵(lì)，同樣引起柔性電池翼的持續(xù)振動(dòng)，由此產(chǎn)生的交變應(yīng)力可能導(dǎo)致柔性電池翼自身或與空間站的鏈接件損壞，破壞空間站的正常工作，且在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，其頻率特性也會(huì)影響到減振參數(shù)設(shè)計(jì)［2］。因此，掌握這些柔性附件的動(dòng)態(tài)特性是非常有必要的。我國借鑒國際空間站成功經(jīng)驗(yàn)，采用“Mast”+“Blanket”柔性電池翼的設(shè)計(jì)方案［3］。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元法已成為預(yù)示大型撓性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的主要手段［4-8］。大多數(shù)科研工作者采用混合坐標(biāo)法或假設(shè)模態(tài)法研究柔性翼這類柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模問題，重心偏向于研究中心剛體的大范圍運(yùn)動(dòng)與柔性附件的彈性變形運(yùn)動(dòng)之間的剛?cè)狁詈犀F(xiàn)象［9］，所采用的簡化模型大多是柔性梁或柔性板，其精度需要通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

柔性電池翼具有展開面積大、剛度低等特點(diǎn)，在地面進(jìn)行展開狀態(tài)模態(tài)試驗(yàn)時(shí)受重力［5，10］、懸掛系統(tǒng)及空氣阻力等因素的影響極大，測得的模態(tài)參數(shù)與在軌狀態(tài)的結(jié)果有一定差別［11］，因此，需要在軌實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)中對模態(tài)的測量可分為接觸式測量和非接觸式測量兩種，且這兩種測量方式都發(fā)展得非常成熟。相比于前者，非接觸式測量具有不與被測物體直接接觸而不產(chǎn)生附加誤差、測量速度快、采樣頻率高、量程大等優(yōu)點(diǎn)，被越來越多地運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)中［12-14］，且在柔性翼的在軌測量實(shí)驗(yàn)中也被廣泛應(yīng)用［15-17］，郎燕等［18］為提高測量精度也提出了優(yōu)化方法。然而，在軌模態(tài)分析試驗(yàn)采用非接觸式光學(xué)測量時(shí)，上述文章中并沒有提及如何選擇靶標(biāo)位置、相機(jī)選擇及外參系數(shù)設(shè)置是否合理等問題。同時(shí)，可供相機(jī)安裝的位置非常有限，從相機(jī)觀察柔性翼整體時(shí)，由于動(dòng)態(tài)激勵(lì)下柔性翼不同位置的響應(yīng)結(jié)果相差較為懸殊，導(dǎo)致信噪比不同，即使響應(yīng)結(jié)果相同，靶標(biāo)處于不同位置測得結(jié)果誤差也不一樣。為了充分利用空間站在軌狀態(tài)的有限資源，優(yōu)化相機(jī)安裝位置和視角以及評估在軌模態(tài)試驗(yàn)方案的有效性，有必要利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)方法，結(jié)合有限元瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，對柔性翼在軌模態(tài)非接觸測量的光學(xué)拍攝過程進(jìn)行仿真，并建立相應(yīng)的軟硬件平臺(tái)。

本文基于空間站柔性翼的有限元模型，先采用MAC.Nastran有限元軟件，求解出柔性翼在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)；然后借助計(jì)算機(jī)圖形學(xué)軟件OpenGL對上述結(jié)果進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)，生成不同位置、不同視角等相機(jī)參數(shù)下柔性翼的變形圖像，并獲取靶標(biāo)在像平面的投影軌跡；隨后重構(gòu)出靶標(biāo)的動(dòng)態(tài)位移曲線，并與有限元計(jì)算結(jié)果對比，從而評估測量方案。本文充分利用動(dòng)力學(xué)仿真成果，結(jié)合光學(xué)仿真，以靶標(biāo)的投影軌跡長度預(yù)先對柔性翼在軌模態(tài)的測量方案做出評估，得出有限實(shí)驗(yàn)方案的條件下的最優(yōu)測量方案。該方法可發(fā)展為計(jì)算機(jī)輔助試驗(yàn)的一種手段，為航天器柔性翼在軌模態(tài)測量方案的選擇提供理論依據(jù)，從而彌補(bǔ)無法地面實(shí)驗(yàn)的不足。

1 柔性翼在軌激勵(lì)動(dòng)態(tài)過程的力學(xué)仿真

柔性翼結(jié)構(gòu)如圖1所示，其由柔性陣面、張緊機(jī)構(gòu)、伸展機(jī)構(gòu)、收藏箱、收藏筒和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)等組成，寬度超過6 m，總長接近30 m。

圖1 空間站柔性翼結(jié)構(gòu)-機(jī)構(gòu)Fig.1 Mechanism diagram of the space station flexible solar array structure

郭其威等［19］對柔性翼有限元模型進(jìn)行了在軌工況激勵(lì)下的瞬態(tài)響應(yīng)過程的數(shù)值仿真。仿真時(shí)，電池翼模型與本體在驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)連接處（根部）分離。根部的加速度a(t)、角速度ω(t)和角加速度α(t)作為數(shù)值仿真的輸入條件。

參考以根部為原點(diǎn)，隨本體一起運(yùn)動(dòng)的非慣性坐標(biāo)系O-xyz，柔性翼上任意質(zhì)點(diǎn)做非慣性運(yùn)動(dòng)的加速度，可表示為

式中：r(t)為質(zhì)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑，為時(shí)間t的函數(shù)。

典型的在軌工況包括變軌、對接和分離等，加速度時(shí)間函數(shù)如圖2所示。

圖2 空間站柔性電池翼根部的加速度輸入條件Fig.2 Acceleration input conditions of the space station flexible solar array root

根據(jù)根部的輸入條件，利用有限元分析程序能計(jì)算得到柔性電池翼各處的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)結(jié)果。為了模擬光學(xué)成像效果，在柔性電池翼有限元模型上選擇若干節(jié)點(diǎn)作為測量用的物方點(diǎn)，如圖3所示。物方點(diǎn)用編號(hào)1～15標(biāo)識(shí)，其中1～5位于伸展機(jī)構(gòu)上，6和8以及7和9位于上下收藏箱的兩側(cè)，10～15分布在柔性陣面上。

圖3 光學(xué)測量物方點(diǎn)在有限元模型中的位置Fig.3 Physical point positions in the finite element model during the optical measurement

使用MSC.Nastran進(jìn)行柔性電池翼的瞬態(tài)響應(yīng)分析，從結(jié)果中提取物方點(diǎn)所在節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，得到動(dòng)態(tài)位移曲線，如圖4所示。各個(gè)物方點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)表明，柔性電池翼振動(dòng)以一階陣型為主，頻率約為0.044 Hz。拍攝對象以較低的頻率作低速運(yùn)動(dòng)，有利于基于雙目相機(jī)的光學(xué)測量實(shí)施。對比如圖3、圖4所示的物方點(diǎn)布局和響應(yīng)函數(shù)可知：主伸展機(jī)構(gòu)、頂部收藏箱上物方點(diǎn)（5、7、9）和柔性陣面上的物方點(diǎn)（10、13）的振動(dòng)幅度較大，便于根據(jù)成像后的相差測量其位移。但如果相機(jī)布置在靠近本體附近，由于近大遠(yuǎn)小的透視關(guān)系，這些物方點(diǎn)成像后的絕對距離則較小，也影響測量精度。伸展機(jī)構(gòu)和底部收藏箱上物方點(diǎn)（1、6、8）則相反，靠近本體，但振動(dòng)幅度較小。柔性面的運(yùn)動(dòng)是自身相對運(yùn)動(dòng)和伸展機(jī)構(gòu)牽連運(yùn)動(dòng)的疊加，振幅最大點(diǎn)在陣面的中部偏上處（如物方點(diǎn)13）。

圖4 物方點(diǎn)瞬態(tài)響應(yīng)的有限元仿真結(jié)果Fig.4 Finite element simulation results of the physical point transient responses

通常在本體附近容易安裝相機(jī)，但本體附近物方點(diǎn)的響應(yīng)幅度較小，而遠(yuǎn)離本體的物方點(diǎn)響應(yīng)幅度大，相機(jī)安裝或拍攝難度相對較大。這些矛盾需要將有限元力學(xué)仿真與光學(xué)成像仿真相結(jié)合，得到不同輸入條件下物方點(diǎn)的最終成像效果，綜合分析相機(jī)-物方點(diǎn)布局，以及鏡頭焦距、傳感器分辨率等參數(shù)對測量精度的影響，進(jìn)而優(yōu)化測量方案。

2 柔性電池翼動(dòng)態(tài)變形的光學(xué)仿真

在柔性電池翼瞬態(tài)響應(yīng)的動(dòng)力學(xué)仿真基礎(chǔ)上，可進(jìn)行成像過程的光學(xué)仿真。光學(xué)仿真就是根據(jù)設(shè)定的焦距、視角、分辨率等參數(shù)，將柔性電池翼瞬態(tài)響應(yīng)可視化，模擬相機(jī)的拍攝過程。物方點(diǎn)（包括靶標(biāo)、定義模型的節(jié)點(diǎn)等）經(jīng)過相機(jī)鏡頭攝影后成像在像平面上，理想的投影成像模型是幾何光學(xué)中的小孔成像模型，其本質(zhì)是射影幾何中的中心透視投影過程?；诠鈱W(xué)測量的在軌實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的場景示意圖如圖5所示。相機(jī)安裝位置、焦距、視角等是需要優(yōu)化的試驗(yàn)方案參數(shù)。

圖5 基于光學(xué)測量的在軌實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析場景Fig.5 Schematic diagram of the on-orbit experimental modal analysis scenario based on optical measurement

整個(gè)場景的建模參考統(tǒng)一坐標(biāo)系O-xyz，稱為世界坐標(biāo)系。在世界坐標(biāo)系下，相機(jī)的安裝位置用pC(xC，yC，zC) 表 示，相機(jī)的光 軸方向用目標(biāo)點(diǎn)pT(xT，yT，zT)定義：光軸指向從pC到pT。因此，相機(jī)坐標(biāo)系的一個(gè)基矢量可以表示為

式中：l3、m3、n3分別為基矢量w的坐標(biāo)分量。

為了指定相機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，可以在位于光軸與相機(jī)上方的平面內(nèi)選擇一個(gè)“上方向量”a，該向量在世界坐標(biāo)系下的分量是(ax，ay，az)，那么相機(jī)坐標(biāo)系的另外兩個(gè)基矢量u和v可按如下規(guī)則確定，即

式中：u′=w?a=[m3az-n3ay m1ax-n1az m2ayn2ax]T；l1、m1、n1為基向量u分量；l2、m2、n2為基向量v的分量。

將相機(jī)取景范圍內(nèi)任意一個(gè)靶標(biāo)p在世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系下分別記為(xw，yw，zw) 和(xb，yb，zb)，若采用齊次坐標(biāo)，兩個(gè)坐標(biāo)分量的變換關(guān)系表示為

式中：M1稱為世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的變換矩陣，也稱作相機(jī)外參數(shù)矩陣，可以由基矢量u、v和w的分量確定，即

實(shí)際上，相機(jī)的成像平面（即傳感器）位于w軸正向。但為了便于數(shù)學(xué)上的描述，等價(jià)地將成像平面置于w的負(fù)向，如圖6所示。設(shè)成像平面與相機(jī)安裝位置pC的距離為f（也稱作焦距），根據(jù)射影幾何的透視關(guān)系，任意點(diǎn)p在成像平面上的投影點(diǎn)q就是pC與p連線與成像平面的交點(diǎn)。據(jù)此，可算得投影點(diǎn)q(xq，yq，zq)在相機(jī)坐標(biāo)系下的分量為

圖6 相機(jī)透視投影視圖Fig.6 Perspective projection view of the camera

若不考慮消隱、光照等圖形學(xué)效果的處理，坐標(biāo)分量zq不再參與計(jì)算，故可以將其忽略。將式（6）中的前兩個(gè)變換表示成

式中：投影變換矩陣

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，為了能適應(yīng)不同的顯示設(shè)備（當(dāng)前問題中為傳感器的不同分辨率），需要將投影點(diǎn)q用歸一化坐標(biāo)表示為

式中：

式中：cw、ch是顯示設(shè)備（底片）的長度和寬度。常規(guī)設(shè)備（底片）的顯示區(qū)域都是矩形的，歸一化后xn、yn的范圍是[-1，1]。當(dāng)應(yīng)用到具體設(shè)備時(shí)（例如相機(jī)的傳感器），將長度和寬度方向上的像素個(gè)數(shù)分別記為Nw和Nh，那么投影點(diǎn)q在設(shè)備坐標(biāo)系下的像素位置（用齊次坐標(biāo)表示）為

式中：

綜上所述，任意點(diǎn)p在建模時(shí)采用的世界坐標(biāo)系分量與最終在相機(jī)傳感器上的像素位置的變換關(guān)系為

式中：M=M4M3M2M1為總的3行4列變換矩陣；(up，vp)為任意點(diǎn)p的像素坐標(biāo)。

柔性翼的有限元模型都是由點(diǎn)（集中質(zhì)量）、線（桿梁）、面（板殼）或?qū)嶓w單元構(gòu)成。所有單元的具體位置都用節(jié)點(diǎn)的世界坐標(biāo)系分量表示，根據(jù)式（13），也便確定了它們在相機(jī)傳感器上的像素位置。只要將在軌激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)得到的位移函數(shù)迭加到柔性翼模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)上，即可實(shí)現(xiàn)該瞬態(tài)響應(yīng)過程的光學(xué)仿真。

3 坐標(biāo)重構(gòu)與光學(xué)效果評價(jià)

以郭其威等［19］的柔性電池翼有限元模型為例，世界坐標(biāo)系建立在如圖3所示的主伸展機(jī)構(gòu)的根部，用有限元分析程序MSC.Nastran計(jì)算后可以得到某個(gè)在軌激勵(lì)條件下模型中所有節(jié)點(diǎn)瞬態(tài)響應(yīng)的位移時(shí)間函數(shù)。布置兩個(gè)相機(jī)構(gòu)成雙目光學(xué)測量系統(tǒng)，利用相差從靶標(biāo)的二維投影圖重構(gòu)其世界坐標(biāo)的三維分量。

光學(xué)成像過程的仿真基于OpenGL圖形標(biāo)準(zhǔn)，在Visual Studio 2010開發(fā)平臺(tái)上，以Windows應(yīng)用MFC實(shí)現(xiàn)。兩個(gè)相機(jī)和目標(biāo)點(diǎn)位置由OpenGL函數(shù)glulookat定義，相機(jī)焦距等參數(shù)由函數(shù)glperspective定義，相機(jī)傳感器的像素在MFC初始化窗口時(shí)定義，相機(jī)1和相機(jī)2的完整參數(shù)見表1。

表1 相機(jī)參數(shù)設(shè)置Tab.1 Camera parameters for shooting

如圖7所示的4幅圖像分別為相機(jī)1和相機(jī)2在第0秒（初始狀態(tài)）和第11秒所拍攝的柔性電池翼瞬態(tài)振動(dòng)型態(tài)的光學(xué)仿真圖，其中黑白格表示各個(gè)靶標(biāo)。

圖7 光學(xué)仿真柔性電池翼拍攝效果圖Fig.7 Shootingeffect pictures of theoptically simulated flexible solar array

同一個(gè)靶標(biāo)在世界坐標(biāo)系下的三個(gè)坐標(biāo)分量xw、yw和zw是唯一的，經(jīng)兩個(gè)相機(jī)成像后的像素位置是不同的，分別記為(up1，vp1)和(up2，vp2)。靶標(biāo)在不同相機(jī)中投影后的像素位置差異可用于重構(gòu)三維坐標(biāo)。將由式（13）表示的相機(jī)1、相機(jī)2的變換矩陣分別記為M(1)和M(2)，分量是m(1)ij和m(2)ij(i=1～3；j=1～4）。那么式（13）表示的世界坐標(biāo)分量和像素位置存在關(guān)系可以表示為［20］

其中，

采用最小二乘法求解超定方程式（14），可通過像素坐標(biāo)(up1，vp1)和(up2，vp2)重構(gòu)出靶標(biāo)點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)(xw，yw，zw)。

當(dāng)面向柔池電性翼的模態(tài)分析問題時(shí)，重構(gòu)對象不僅僅是靶標(biāo)的世界坐標(biāo)，而且還需靶標(biāo)的三維移動(dòng)分量（即位移向量）。根據(jù)式（13），容易算出靶標(biāo)的像素位置，將不同時(shí)刻的靶標(biāo)像素顯示在同一張點(diǎn)陣圖上（如圖8所示），就能得到柔性電池翼的靶標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖8中的數(shù)字是靶標(biāo)的編號(hào)。

圖8 光學(xué)仿真拍攝效果Fig.8 Shooting effect pictures of the optical simulation

點(diǎn)陣圖上靶標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度可大致表明位移向量的可辨識(shí)程度，即長度越大表明位移辨識(shí)精度越高。為了凸顯動(dòng)態(tài)位移效果，用*號(hào)標(biāo)記表示靶標(biāo)在圖像傳感器上的初始位置，+號(hào)標(biāo)記則表示拍攝結(jié)束時(shí)的位置，淺色線段是運(yùn)動(dòng)的靶標(biāo)在圖像傳感器上留下的軌跡。由圖8可見：靶標(biāo)13的運(yùn)動(dòng)軌跡最明顯，位移的可辨識(shí)性好；靶標(biāo)1的軌跡不明顯，位移的可辨識(shí)性較差；而靶標(biāo)3則介于它們之間。三維計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的顯示還包括消隱功能，若建立更為詳細(xì)的電池翼模型，那么靶標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡還可能出現(xiàn)被遮擋現(xiàn)象，如圖8（a）所示相機(jī)1顯示的結(jié)果中，靶標(biāo)4和9表明部分時(shí)段無法被檢測到，這也是試驗(yàn)方案需要評價(jià)的內(nèi)容。

仍以靶標(biāo)1、3和13為例，三維重構(gòu)后得到瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)果如圖9～11所示。在圖9～11中，實(shí)線是有限元仿真的結(jié)果，可作為電池翼上靶標(biāo)的“實(shí)際”運(yùn)動(dòng)時(shí)的響應(yīng)曲線，o型標(biāo)記為采用雙目視覺三維重構(gòu)得到的動(dòng)態(tài)位移。

重構(gòu)精度對比結(jié)果見表2，可見靶標(biāo)的可辨識(shí)程度隨著振幅的增加而逐漸增大，因此，重構(gòu)結(jié)果的效果與投影軌跡的分析結(jié)論一致。靶標(biāo)的軌跡分析所涉及的圖形旋轉(zhuǎn)、投影變換等屬于正問題，而三維重構(gòu)所涉及的圖像處理、超越方程求解等屬于逆問題，前者的運(yùn)算復(fù)雜度低于后者。因此，在制定試驗(yàn)方案時(shí)，用力學(xué)仿真與光學(xué)仿真相結(jié)合的軌跡分析方法能對靶標(biāo)布局、相機(jī)安裝位置和參數(shù)設(shè)置做出快速的評價(jià)。

圖9 靶標(biāo)13：基本可完全辨識(shí)Fig.9 Target 13：almost completely recognizable

圖10 靶標(biāo)3：可部分辨識(shí)Fig.10 Target 3：partially recognizable

表2 重構(gòu)精度對比Tab.2 Comparison of reconstruction accuracy

圖11 靶標(biāo)1：完全不可辨識(shí)Fig.11 Target 1：completely unrecognizable

4 結(jié)束語

利用空間站在對接/分離/變軌過程中柔性電池翼受激勵(lì)產(chǎn)生的大幅度動(dòng)態(tài)位移，采用對雙目點(diǎn)陣圖像進(jìn)行三維坐標(biāo)重構(gòu)的非接觸測量方法，是實(shí)現(xiàn)在軌電池翼實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的一種可行的途徑。本文將對柔性翼動(dòng)態(tài)響應(yīng)的有限元力學(xué)仿真與成像過程的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)仿真相結(jié)合，根據(jù)靶標(biāo)在圖像傳感器上的運(yùn)動(dòng)軌跡長度的可辨識(shí)性，對基于光學(xué)測量的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方案進(jìn)行快速評估，進(jìn)而在測量方案實(shí)施前進(jìn)行評估優(yōu)化，屬于計(jì)算機(jī)輔助實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的組成部分，能充分利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真成果，彌補(bǔ)大型柔性部件地面實(shí)驗(yàn)的不足。