復數(shù)在電路分析設(shè)計中的應用

（上海南匯中學，上海 201300）

1.背景介紹

1.1 課題背景及意義

經(jīng)過長時間的發(fā)展，如今復數(shù)及其相關(guān)理論已在各個鄰域得到了非常廣泛的應用。在電路分析與設(shè)計中，現(xiàn)代濾波電路、變壓電路、集成電路等均可采用復數(shù)理論進行設(shè)計與分析。借助復數(shù)理論進行電路分析，其方便之處主要在于復數(shù)乘法的特殊運算性質(zhì)：即只需將幅值相乘，相角相加，因而用復數(shù)表示正弦函數(shù)可直觀地看出正弦規(guī)律變化信號的相移特征，從而大大方便了電路分析與設(shè)計過程。本文在對復數(shù)的基本運算及性質(zhì)進行簡要介紹

1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

復數(shù)作為一種古老的數(shù)學理論，經(jīng)過百年時間得到了充分的發(fā)展與應用。文獻[1]從復數(shù)的發(fā)展與數(shù)系的演變歷史入手，并由此推導了復數(shù)的運算規(guī)則，指出了復數(shù)與函數(shù)的結(jié)合廣泛運用于理論研究和工程實踐中。文獻[2]提出了可以用復數(shù)表示正弦交流信號，并通過公式推導了用復數(shù)相關(guān)運算法則進行電路分析計算的一般方法，使電路分析與設(shè)計得到簡化。文獻[3]提出運用復數(shù)相關(guān)理論設(shè)計的濾波器可消除低中頻電路結(jié)構(gòu)存在的鏡像干擾問題，并通過仿真驗證了設(shè)計方案的合理性。文獻[4]提出了可以以復數(shù)分析為基礎(chǔ)結(jié)合多種相關(guān)理論和技術(shù)對模擬電路故障診斷方法進行了研究，得到了很好的效果。文獻[5]在對復數(shù)相關(guān)理論進行介紹的基礎(chǔ)上，通過復數(shù)乘法器模塊和CORDIC算法的結(jié)合，使所設(shè)計的電路達到了更快的運算速度和更高的運算精度，是復數(shù)理論在實際應用中的典型范例。由此可見復數(shù)理論由于其獨特的運算優(yōu)勢，在現(xiàn)代電路分析和設(shè)計領(lǐng)域占有舉足輕重的地位。

2.復數(shù)相關(guān)理論

2.1 復數(shù)概念與表示

2.1.1 數(shù)系擴充

公元前500年，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線無法用自然數(shù)表示，并引發(fā)了第一次數(shù)學危機。后來人們將這類無法用有理數(shù)表示的數(shù)稱為無理數(shù)，并將有理數(shù)與無理數(shù)構(gòu)成的集合稱為實數(shù)。至此，無理數(shù)和有理數(shù)在數(shù)軸上將填滿整個數(shù)軸，數(shù)系得到了極大的豐富。公元16世紀，人們發(fā)現(xiàn)類似x2=-1的方程在人類已知的實數(shù)域內(nèi)無解，經(jīng)過了一段時間思考和統(tǒng)一后，人們規(guī)定了虛數(shù)單位滿足i2=-1并稱i為虛數(shù)。應用虛數(shù)使得類似x2=-1在實數(shù)范圍內(nèi)無解的方程在復數(shù)范圍內(nèi)有解，最后便形成了由實數(shù)與復數(shù)組成的如今被廣泛應用的數(shù)系。

2.1.2 復數(shù)的表示方法

根據(jù)復數(shù)相等的定義，復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）可以被它的實部和虛部所組成的有序數(shù)對唯一確定，因此可以參考實數(shù)在數(shù)軸上的表示方法，用坐標的形式表示一個復數(shù)，形如Z(a，b)的點在坐標平面內(nèi)表示對應的復數(shù)z=a+bi。

所建立的直角坐標平面稱為復平面，包括實軸與虛軸兩個維度，在復平面內(nèi)橫軸X稱為實軸，上面的點對應的都是實數(shù)，縱軸Y稱為虛軸，上面的點除原點O(0，0)外，對應的都是純虛數(shù)。由此，復數(shù)域上的每一個復數(shù)z=a+bi，均與復平面內(nèi)的點一一對應，全體復數(shù)也將填滿整個復平面。

2.2 三角函數(shù)的復數(shù)表示

自然界中的信號雖然基本都是隨機的，但根據(jù)傅里葉變換理論：一個隨機的信號可以表示為若干三角函數(shù)之和，因而對三角函數(shù)的研究至關(guān)重要。而三角函數(shù)若可以用復數(shù)來表示，則借助復數(shù)運算方便進行乘除這一突出優(yōu)勢，對三角函數(shù)的運算可簡化為對復數(shù)的運算，從而大大方便對正弦規(guī)律變化信號的分析與處理，提高電路分析設(shè)計的效率。

如圖1所示：復平面向量OB，B點縱坐標即為三角函數(shù) y=|OB|＊sin(ωt+φ),也即復數(shù) |OB|∠ (ωt+φ)的虛部即可表示三角函數(shù)值。

圖1 三角函數(shù)的復數(shù)表示

由于同一電路中信號的頻率一般相同，根據(jù)復數(shù)的乘法性質(zhì) |OB|∠ (ωt+φ)可以寫成 |OB|∠ ωt＊ ∠ φ，忽略頻率ωt則以角頻率ω波動的正弦信號可以使用復數(shù)|OB|∠φ表示，該表示方法突出了正弦信號的兩個重要參數(shù)，即幅值和相角，通過將正弦信號用復數(shù)進行表示，可利用復數(shù)方便乘除運算這一性質(zhì)，大大簡化正弦模擬信號的運算，提高電路分析設(shè)計的效率。

3.復數(shù)在電路分析與設(shè)計中的應用

本文前兩節(jié)對復數(shù)的表示方法，運算法則等基礎(chǔ)理論進行了詳細分析與介紹，推導了正弦信號的復數(shù)表示形式，本章將借助復數(shù)方便進行乘法運算這一特點，利用復數(shù)運算代替正弦函數(shù)運算，以簡化原本十分復雜的電路分析過程。在模擬電路中，電壓電流均為以正弦規(guī)律不斷變化的信號，若直接進行三角函數(shù)運算，將會大大增加分析電路時的難度，為此利用復數(shù)對這正弦函數(shù)進行表現(xiàn)形式上的簡化，降低電路分析難度，方便電路分析和設(shè)計。

3.1 常見的電路元件

一般的電路通常由電容、電阻和電感組成，當正弦規(guī)律變化的電流流過電路元件時，將會產(chǎn)生一定的變化，以下將分析電容與電阻元件對正弦規(guī)律變化信號的影響。

3.2 電阻R

電阻作為一種常見的電路元件，對于同一個電阻而言，如果不考慮外界因素對它產(chǎn)生的影響，相同時間內(nèi)通過電阻的電流大小與電阻兩端電壓成正比。若將流過電阻的電壓電流表示為復數(shù)極坐標形式，其電壓、電流所對應的復數(shù)應當具有相同幅角。即設(shè)某定值電阻電阻阻值為R，該電阻兩端電壓所對應的復數(shù)為U=U0∠（ωt+φ）。那么流過該電阻的電流I可表示為：I=U0∠（ωt+φ）/R，因為在同一電路中相角的變化速度ω相同（相角的變化角度相同），可忽略相角的變化對計算結(jié)果的影響，此時流過電阻R的電壓、電流復數(shù)之間的關(guān)系可表示為下式：

3.3 電容C

電容是一種可以通過在導體之間構(gòu)造介質(zhì)，從而使電荷在電場中因受力移動而使得電荷逐漸累積在導體上，在電路中起到“隔直阻交”的作用，即允許交流電通過但能濾除其中的直流成分。

一般地，對于某一確定的電容器，保證加載電容器上的電壓與周圍環(huán)境不變的情況下，電容器的最大容量也不變。根據(jù)物理課本中的電容定義式可知電容存儲的電荷量與其兩端的電壓成正比，即：

如果不考慮外界因素對它產(chǎn)生的影響，在維持施加在電容器上的電壓保持不變時，電容與電容器上所存儲的電荷量成正比，由此可進一步推出通過電容器的電流與電容之間的關(guān)系，并將其表示為復數(shù)極坐標形式。

設(shè)一段時間Δt內(nèi)通過電容器的電流大小為I，這段時間內(nèi)通過電容器的電荷量為ΔQ，施加在該電容器上的電壓為ΔU，根據(jù)電流的定義式：

經(jīng)過求導可得：I=C＊ΔU/Δt，進一步進行求導運算可知：

將式(12)結(jié)果表示為復數(shù)為：

可知，流過電容器的交流電流和電壓之間的復數(shù)關(guān)系：

上式表明，當交流電流流過電容時，其在電容上所產(chǎn)生電壓的相位比該電流的相位小90°，電流幅值是電壓幅值的ωC倍。

4.無頻閃電路的設(shè)計

日常生活中，插座所獲得的交流電的頻率為50Hz，也就是說電壓每秒有100次過零，導致白熾燈大約每秒會閃爍一百次，但因為視覺暫留現(xiàn)象我們無法察覺到這飛速的過程，但白熾燈高頻的閃爍卻會對我們的眼睛造成一定的傷害。本文設(shè)了一種無頻閃電路，可以在一定程度上減少頻閃對眼睛造成的傷害。考慮到電容可使電壓產(chǎn)生90度的相移效應，本文通過使用兩個小燈泡并在電路中用電阻和電容結(jié)合的方式進行移相，可以在理論上實現(xiàn)一定的亮度互補，從而達到減少對眼睛的傷害的目的，如圖2所示。

圖2 無頻閃電路示意圖

對電路中的其中一級進行研究，假設(shè)通過電路的電流大小為I，加在電容上的電壓為U1，加在電阻上的電壓為U2，電源電壓為U，接在電路中電阻的阻值為R，電容為C。由前面章節(jié)可知交流電路中的電路與電壓皆可表示為正弦信號并進一步可表示為復數(shù)，可得電壓電流如下的復數(shù)關(guān)系：

設(shè)電源電壓復數(shù)為：U=A∠0°，可得流過電容的電流與其兩端電壓之間的關(guān)系如下式所示：

因而在該電容、電阻串聯(lián)電路中有：

加在電容兩端的電壓復數(shù)可表示為：

由此可知，使用電容和電阻的組合可以對電路中的正弦信號進行移相，從而達到所需要的預期效果。圖2中單級電路的移相角度為arctan(RωC)，本文采用兩級電路對正弦信號進行移相，以使輸入電路的電壓和輸出電壓之間具有90°的相角差，達到消除頻閃的目的。

5.結(jié)論

復數(shù)作為數(shù)系擴充史上最后被加入的一類數(shù)，其誕生經(jīng)歷了一系列曲折的過程，如今復數(shù)已在各領(lǐng)域得到廣泛的應用。本文在對復數(shù)的表示與運算進行充分研究的基礎(chǔ)上，應用復數(shù)可以方便表示正弦量這一性質(zhì)以及復數(shù)乘法可以方便的對正弦量進行相移的突出優(yōu)勢，分析了正弦信號在通過常見電路元件：電容、電阻后的相移規(guī)律，并由此設(shè)計了一種無閃動光源，解決了因傳統(tǒng)光源電路存在電流過零點而造成的“頻閃”現(xiàn)象，本文所設(shè)計電路能夠?qū)崿F(xiàn)光源互補，從而消除了因電流過零而造成的光源閃動問題，具有一定的實用價值。