概率統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用

（上海市新虹橋中學(xué)，上海 200051）

0.引言

概率論和數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)的一個十分重要的分支，它主要研究隨機(jī)事件的發(fā)生規(guī)律。根據(jù)概率統(tǒng)計理論，數(shù)學(xué)家可以更高效地收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，挖掘其中的信息，更清晰直觀地呈現(xiàn)計算結(jié)果。

在17世紀(jì)，人們嘗試對賭博和保險中發(fā)生特定事件的可能性進(jìn)行研究，這便是概率論的起源。如今，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已成為生產(chǎn)生活、科學(xué)研究中不可或缺的工具。在進(jìn)行人口普查、市場調(diào)研、銷量預(yù)測時，概率統(tǒng)計都發(fā)揮著重要的作用。它能夠幫助人們把握隨機(jī)事件的發(fā)生規(guī)律，預(yù)測特定事件發(fā)生的可能性。不斷完善概率統(tǒng)計理論，可以幫助人們更加高效地分析隨機(jī)變量的分布規(guī)律、隨機(jī)事件的發(fā)生規(guī)律，更準(zhǔn)確地預(yù)測事物的未來發(fā)展方向。

1.隨機(jī)變量

在數(shù)學(xué)中，隨機(jī)變量被定義為可以取不同值的變量。隨機(jī)變量的取值是由隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律決定的。一般而言，隨機(jī)變量的實際分布特征與均值和標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)，符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量就屬于這類隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的實際分布特征也與其偏態(tài)性和峰值有關(guān)。此外，當(dāng)存在噪聲或偶然事件時，隨機(jī)變量的值也會受到隨機(jī)擾動的影響。

在生活中，人們可以將用隨機(jī)變量描述多種場景中不能確定的數(shù)值。例如，某地7月中旬的預(yù)期最高溫度和最低溫度、一項體育賽事的預(yù)期出勤率、體育隊的評級以及一支球隊贏得比賽或特定得分的概率，都是隨機(jī)變量。

人們也可以將隨機(jī)變量納入多種用于預(yù)測的數(shù)學(xué)模型中，從而預(yù)測體育比賽或其他隨機(jī)事件的結(jié)果。在這些情況下，分析人員需要根據(jù)隨機(jī)變量的分布規(guī)律，估算結(jié)果變量的可能取值。

隨機(jī)變量可以是離散值或連續(xù)值。離散隨機(jī)變量只能取特定的數(shù)值。例如，體育比賽中的常見離散隨機(jī)變量是球隊的得分或主隊得分與客隊得分之間的差值。連續(xù)隨機(jī)變量可以取一個區(qū)間內(nèi)的幾乎任何數(shù)值。理論上，連續(xù)隨機(jī)變量的小數(shù)位數(shù)可以是任意值。但是，由于測量儀器的精度是有限的，連續(xù)隨機(jī)變量有時只保留兩位小數(shù)。例如，體育比賽中的連續(xù)隨機(jī)變量可以是球隊的實力等級或與場上表現(xiàn)相關(guān)的指標(biāo)，如擊球平均值（可以是無限循環(huán)小數(shù)）[1]。

2.描述統(tǒng)計信息的參數(shù)

在收集到相關(guān)數(shù)據(jù)后，人們通常用幾個參數(shù)描述得到的數(shù)據(jù)，這些參數(shù)可以很好地展現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征，幫助人們總結(jié)變量的分布規(guī)律或變化規(guī)律。在進(jìn)行統(tǒng)計分析時，最常用的統(tǒng)計量是平均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。

平均值：也稱算術(shù)平均值、簡單平均值或等加權(quán)平均值。人們一般需要計算統(tǒng)計量的平均值，了解統(tǒng)計量大概位于哪個區(qū)間內(nèi)。

中位數(shù)：中位數(shù)是比一半的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)值小、比另一半的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)值大的那個統(tǒng)計數(shù)據(jù)。也就是說，如果把統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照數(shù)值大小排成一列，中位數(shù)是位于中間的那個數(shù)。如果人們收集到了偶數(shù)個統(tǒng)計數(shù)據(jù)，那么中位數(shù)是位于中間的兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均值。中位數(shù)通常不是唯一的。例如，在數(shù)據(jù)系列1、2、3中，中位數(shù)是2；但是在數(shù)據(jù)系列1、2、3、4中，中位數(shù)是2和3的平均值2.5。

標(biāo)準(zhǔn)差：人們通常用標(biāo)準(zhǔn)層描述均值附近的數(shù)據(jù)的分散程度。標(biāo)準(zhǔn)差較小表示數(shù)據(jù)大都接近均值，而標(biāo)準(zhǔn)差較大表示數(shù)據(jù)大都遠(yuǎn)離均值。標(biāo)準(zhǔn)差通常是數(shù)據(jù)的方差的平方根[2]。

變異系數(shù)：用標(biāo)準(zhǔn)差除以平均值就可以得到變異系數(shù)。人們可以用變異系數(shù)將數(shù)據(jù)歸一化，以便“公平地”比較平均值不同的幾組數(shù)據(jù)的離散度。例如，當(dāng)人們評估每日或每月股票交易量的數(shù)據(jù)離散度時，他們不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差，因為每日和每月的基礎(chǔ)交易量是不一樣的，但是變異系數(shù)可以幫助人們相對準(zhǔn)確地比較不同交易日和不同月份的交易情況。

偏度：衡量數(shù)據(jù)分布的對稱性的一種方法。正偏斜表示多數(shù)數(shù)據(jù)比平均值大，在概率分布圖像與x軸圍成的圖形中，平均值右側(cè)的面積一般大于平均值左側(cè)的面積。負(fù)偏斜表示多數(shù)數(shù)據(jù)比平均值小，在概率分布圖像上，平均值右側(cè)的面積一般小于平均值左側(cè)的面積。偏度為零表示數(shù)據(jù)是對稱的。偏度也被稱為關(guān)于均值的第三階矩。

峰度：峰度是對數(shù)據(jù)分布的峰值的度量。人們稱峰度為負(fù)的數(shù)據(jù)分布為platykurtic分布，稱峰度為正的數(shù)據(jù)分布為leptokurtic分布[3]。

3.概率統(tǒng)計模型在生活中的應(yīng)用

3.1 正態(tài)分布

正態(tài)分布是統(tǒng)計分析中最重要的概率分布之一。一般而言，自然界中的許多變量是服從正態(tài)分布的。在科學(xué)研究、工業(yè)領(lǐng)域、生態(tài)建設(shè)時，人們常常需要構(gòu)建正態(tài)分布模型模型。當(dāng)數(shù)據(jù)不完全服從正態(tài)分布時，人們可以借助通過正態(tài)分布進(jìn)行近似，從而分析數(shù)據(jù)的分布特征。此外，在進(jìn)行參數(shù)估計或建立回歸模型時，正態(tài)分布是非常有用的。

接下來，筆者以接受氣管隆突切除術(shù)的患者的年齡分布分析為例，說明正態(tài)分布模型的應(yīng)用。134位被抽到的患者的平均年齡約為48歲，其年齡標(biāo)準(zhǔn)差（即σ值）約為16歲。求30歲以下的患者的百分比是多少？

30歲與年齡平均值—48歲的差值為-18歲，-18/16=-1.125。問題變成了：在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，變量小于μ-1.125σ的概率是多少？我們可以在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到，變量大于μ+1.125σ的概率是大概是0.13。由于分布是對稱的，變量小于μ-1.125σ的概率也是0.13，也就是說，接受氣管隆突切除術(shù)的患者中，年齡小于30歲的約占總數(shù)的13%。

3.2 二項分布在生活中的應(yīng)用

在生活中，人們經(jīng)常遇到只有兩種可能結(jié)果的情況：健康或患病、治療的成功或失敗、體液中存在或不存在特定微生物[4]。我們可以用π表示任何隨機(jī)試驗中，第一種結(jié)果發(fā)生的概率。如果我們有n次機(jī)會進(jìn)行隨機(jī)試驗，并得到n個結(jié)果。例如，n位患者是否在治療后痊愈？則二項分布將告訴我們，第一種結(jié)果將出現(xiàn)多少次。

接下來，筆者以激光手術(shù)的有效率分析為例，說明正態(tài)分布在生活中的應(yīng)用。挪威的一項研究評估了激光小梁成形術(shù)治療開角型青光眼療法的長期成功率。在第2年末，接受手術(shù)的患者復(fù)發(fā)的概率為1/3。假設(shè)一家醫(yī)院中，有6例患者接受了小梁成形術(shù)。在2年末，有且只有一位患者手術(shù)復(fù)發(fā)的概率約為多少？

從6位患者中隨機(jī)“選”出一位患者，有6種選法。在這一場景中p=1/3，P(1)=6＊p1(1-p)5=192/729=26.34%。也就是說，在接受手術(shù)后的第二年末，有且只有一位患者復(fù)發(fā)的概率為26.34%。

3.3 泊松分布在生活中的應(yīng)用

1837年，Siméon Denis Poisson在研究發(fā)生概率較低的一系列事件時，提出了泊松分布模型。當(dāng)時的人們用泊松分布預(yù)測1875—1894年期間被戰(zhàn)馬踢死的普魯士軍官人數(shù)[5]。

當(dāng)隨機(jī)事件的某一結(jié)果出現(xiàn)的可能性很低，且隨機(jī)事件會發(fā)生多次時，該結(jié)果發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布。此外，還可以將泊松分布定義為單位時間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)。例如，在一段時間內(nèi)，某常見病的新發(fā)例數(shù)服從泊松分布。

若隨機(jī)變量X取0和一切正整數(shù)值，在n次獨立試驗中出現(xiàn)的次數(shù)x恰為k次的概率，式中λ是單位時間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)。

接下來，筆者以通過某路口的汽車是否發(fā)生交通事故為例，說明泊松分布的應(yīng)用。假設(shè)在早高峰期間，通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為p=0.0001，某日早高峰期間有10000輛車通過該路口，求此段時間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)超過一次的概率。

由于λ=np=10000＊0.0001=1，此路段不發(fā)生交通事故的概率為，發(fā)生一次交通事故的概率為。

則此路段發(fā)生交通事故的次數(shù)超過一次的概率為P(X＞1)=1-0.368-0.368=0.264。

在分析以上場景時，人們也可以應(yīng)用二項分布模型計算不發(fā)生事故的概率。

P(X=0)=0.999910000=0.368，P(X=1)=10000＊0.0001＊0.99999999=0.368，但是計算量比泊松分布模型的計算量大。

4.應(yīng)用概率統(tǒng)計知識分析生活中問題的局限性

應(yīng)用概率模型或統(tǒng)計模型，人們可以高效地描述生活中的問題，得到較可靠的結(jié)論。但是，這種分析方法也有一定的局限性。在建立模型的過程中，人們只能將可量化的因素納入模型中，但是無法在模型中體現(xiàn)不可被量化的因素的影響。這可能導(dǎo)致所建立的模型不能貼切地描述問題，得到的結(jié)論與實際不符。此外，人們只能借助模型得到某一事件發(fā)生的可能性，而不能得到其他信息。如果決策者僅根據(jù)計算結(jié)果進(jìn)行決策，那么他可能遺漏一些重要因素的影響，無法做出周到的安排。例如，在預(yù)測股票的漲跌時，人們只能得到某只股票上漲、下跌的概率，但是無法得到與上漲和下跌背后的風(fēng)險相關(guān)的信息。如果僅根據(jù)與概率統(tǒng)計相關(guān)的計算結(jié)果進(jìn)行決策，可能會造成一定的損失。因此，建立概率統(tǒng)計模型只是輔助決策的手段，決策者需要在決策時考慮其他因素的影響，才能得到正確的結(jié)論[6]。

5 結(jié)語

概率統(tǒng)計知識在生活中有著廣泛的應(yīng)用。預(yù)測股市走向、購買彩票、賭馬賭球時，人們都需要應(yīng)用與概率統(tǒng)計相關(guān)的模型，如正態(tài)分布模型、泊松分布等模型等分析問題，才能得到較為可靠的結(jié)論。需要注意的是，當(dāng)需要分析的事件比較復(fù)雜時，人們需要盡量將所有的主要影響因素納入模型中，并同時分析可量化的因素和不可量化的因素的影響，才能得到可靠的結(jié)論。