淺談變形技巧在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

馮會奇

摘要：許多數(shù)學(xué)問題都有一定難度，解決他們往往需要一定的技巧.為了在有限的時間內(nèi)快速而準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)題，我們就必須采取一些方法與技巧.這就要求我們在平時的學(xué)習(xí)過程中細(xì)心觀察、認(rèn)真積累一些經(jīng)驗與方法。本文以舉例的形式重點介紹了在中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)、不等式以及數(shù)列解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變形技巧；中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；不等式；數(shù)列

中圖分類號：G6718文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2016）04-0280-01

變形是數(shù)學(xué)解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式，一個法則，它的表述形式是多種多樣的。變形是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識，當(dāng)然存在著技巧和方法，也就需要人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實踐中反復(fù)操練才能把握，乃至靈活應(yīng)用。在數(shù)學(xué)解題中，為了完成論證、求值、化簡等的任務(wù)，常要對某些式子進(jìn)行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規(guī)，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強。掌握并靈活應(yīng)用這些技巧，在解題時往往能化繁為簡、游刃有余。

1.三角函數(shù)中變形的應(yīng)用

三角函數(shù)是初等函數(shù)的重要組成部分，它與初等代數(shù)、初等幾何的關(guān)系十分密切。特別是三角函數(shù)的求值問題，而三角函數(shù)求值的關(guān)鍵是合理地進(jìn)行三角恒等式的變形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函數(shù)名稱、三看結(jié)構(gòu)特征。除此之外，我們還常常應(yīng)用代數(shù)的技巧和構(gòu)造法，為三角恒等變形創(chuàng)造條件。

例1.已知y=sinA+√3cosA，求該函數(shù)的最大值和最小值。

分析：首先利用三角形的恒等變形，先進(jìn)性函數(shù)化簡，在進(jìn)行求解。

解：y=2（12sinA+32cosA）=2（sinAcos60°+cosAsin60°）=2sin（A+60°），所以本函數(shù)的最大值為2，最小值為-2。

點評：本題實際利用三角恒等式形如asinA+bcosA（其中a，b為非零實數(shù)）的三角函數(shù)式化歸為同名同角三角函數(shù)式的方法。

例2.試求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。

分析：由于cos2A+sin2A=1，con2A-sin2A=cos2A，所以我們可以通過構(gòu)造對偶式，以減少三角變換的難度。再觀察所求三角函數(shù)式，不難發(fā)現(xiàn)它與余弦定理非常相似，所以我們還可以通過構(gòu)造三角形，使問題得到整體的解決。

方法一：設(shè)x= cos210°+cos250°-sin40°sin80°，y= sin210°+sin250°-cos40°cos80°，則x+y=2-cos40°，x-y=cos20°+cos100°+cos120°=2cos60°cos40°-12=cos40°-12，兩式相加，得2x=32，即x=34，所以cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

方法二：原式=sin280°+sin240°-2sin40°sin80°*cos60°，構(gòu)造△ABC，使角A=80°，角B=40°，角C=60°，外接圓直徑2R=1，由正弦定理得a=sin80°，b=sin40°，c=sin60°；由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°，所以sin280°+sin240°-sin80°sin40°=34，故cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

點評：這里通過構(gòu)造對偶式和三角形來求三角函數(shù)式的值是一種較高的變形技巧。

2.不等式解題中變式的應(yīng)用

不等式作為數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對學(xué)習(xí)者的邏輯推理要求較高，解這類題時經(jīng)常用到變式。

例3.已知a﹥b﹥c，求證1a-b+1b-c ≥4a-c。

分析：通過觀察可發(fā)現(xiàn)a-c可以變形為a-b+b-c，即式子a-c中加了0。（-b+b=0）。則再利用不等式的性質(zhì)可方便解決這道題。

證明：因為a﹥b﹥c，所以a-b﹥0，b-c﹥0，所以（a-c）（1a-b+1b-c）=[（a-b）+（b-c）]（ 1a-b+1b-c） ≥a-bb-c*21a-b*1b- c=4，又因為a-c﹥0，所以 1a-b+1b-c ≥4a-c。

點評：不等式的證明中常見的變形技巧主要包括拆項、配項，添項、湊項、除項、分離、平方、換元、放縮、引參等，在解題時，當(dāng)不能明確地看出是否可以應(yīng)用基本不等式時，如果合理地應(yīng)用變形技巧，可以快速簡捷進(jìn)行巧解，進(jìn)而取得事半功倍之效。

3.在數(shù)列解題中變形的應(yīng)用

數(shù)列問題是中職數(shù)學(xué)的重要知識點。求和問題一直是數(shù)列研究的重要方向。對于復(fù)雜數(shù)列往往習(xí)慣采用對通項公式變形，將其變?yōu)槭煜さ臄?shù)列的求和問題。常用的變形方法有公式法、倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、裂項相消法。

3.1公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。如：等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1，則a21+a22+a23+…+a2n=____。

2.倒序相加法。若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）如：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值。

3.3錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）如：求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1。

3.4分組求和法。在直接運用公式法求和有困難時，常將"和式"中"同類項"先合并在一起，再運用公式法求和。如：求和：Sn=-1+3-5+7+…+（-1）n（2n-1）。

3.5裂項相消法：如果數(shù)列的通項可"分裂成兩項差"的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和。如：求和：11×4+14×7+…+13n-2×（3n+1）=____。

總之，變形在數(shù)學(xué)解題中的運用時很常見的，有鑒于題型的千變?nèi)f化，變形的方法也因題不同。但筆者相信只要勤于練習(xí)，勤于思考，就能找到其中的規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

[1]王燁.淺談變形技巧在中職數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2016（03）.