大學(xué)食堂管理優(yōu)化模型

李洋 白著華 張森 李明珠 孫夢亞 陳麗娟

[摘? ? 要] 對學(xué)校食堂的經(jīng)營方案、飯菜的科學(xué)優(yōu)化搭配、順暢高效的就餐服務(wù)秩序這三個問題進(jìn)行了研究，分別建立線性規(guī)劃模型、非線性規(guī)劃模型、遺傳-粒子群優(yōu)化算法、 M/M/1 排隊模型、蒙特卡羅概率模型進(jìn)行求解，以實現(xiàn)食堂與師生利益的雙贏。

[關(guān)鍵詞] 非線性規(guī)劃;遺傳-粒子群;M/M/1;蒙特卡羅

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2020. 03. 050

[中圖分類號] F224? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? A? ? ? [文章編號]? 1673 - 0194（2020）03- 0123- 03

2? ? ? 優(yōu)化模型的分析與建立

從食堂利潤最大化角度建立線性規(guī)劃模型，將菜品滿意度作為新目標(biāo)函數(shù)，繼而建立師生對菜品滿意度的最大化模型，最后再結(jié)合這兩個模型建立食堂效益最大化線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，通過模型求解結(jié)果分析，力求食堂與師生的雙贏。

2.1? ?食堂效益線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型約定

自助餐16種菜品分別記為Aj（j=1，2，3，…，16），每種菜品的質(zhì)量對應(yīng)分別為xj（j=1，2，3，…，16）;共有10種原材料Mi（i=1，2，3，…，10）;在各種菜品中的每種原材料用量可記為aji（第i種原料在第j種菜品中的質(zhì)量）;每種菜品的利潤Zj（j=1，2，3，…，16）;就餐師生對每種菜品的滿意度記為Kj（j=1，2，3，…，16）; 食堂每日供應(yīng)原材料記為Pi（i=1，2，3，…，10）。

2.2? ?食堂利潤最大化問題

將利潤最大化函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，這樣得到的線性規(guī)劃模型。

2.3? ?食堂菜品滿意度最大化問題

在每日供應(yīng)原材料限制的條件下實現(xiàn)師生對食堂菜品滿意度最大，得到的線性規(guī)劃模型。

2.4? ?食堂菜品整體效益最大化問題

在食堂利潤最大化模型基礎(chǔ)上修正約束條件，把師生對菜品總體滿意度定在原材料量的限制下，建立師生對菜品滿意度的約束條件而得到新的規(guī)劃模型。

目標(biāo)函數(shù)為食堂利潤最大化函數(shù)：

3? ? ? 基于線性規(guī)劃的遺傳粒子群菜品搭配優(yōu)化模型

根據(jù)食物種類、食物所含的營養(yǎng)成分、食物實際價格、食物的滿意度以及菜品的擺放位置等約束條件建立非線性規(guī)劃模型，然后利用遺傳-粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，并利用MATLAB 進(jìn)行求解，從而給出滿足多種約束條件和需求的營養(yǎng)膳食搭配方案。

3.1? ?非線性規(guī)劃模型建立與求解

假設(shè)有N種食物，分別用n1，n2，…，ni，…，nN來表示，其中1≤i≤N。N種食物的攝入量用x=[x1，x2，…，xi，…，xN]來表示。N種食物共含M種營養(yǎng)成分。對于M種營養(yǎng)成分，某人群每天需攝入總量用B=[b1，b2，…，bj，bM]表示，其中1≤j≤M，且bj表示某人群每天需要攝入的第j種營養(yǎng)成分。N種食物所含的M種營養(yǎng)成分用A=[A1，A2，…，Ai，…，AN]T表示，其Ai可表示為Ai=[Ai1，Ai2，…，Aij…AiM]，且Aij表示第i種食物所含的第j種營養(yǎng)成分。

收集資料得16種菜品提供的3種營養(yǎng)成分（每百克含量）。

由16種菜品所含營養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)以及師生每天對每種營養(yǎng)成分的攝入量需求，建立以下數(shù)學(xué)模型。

A1jx1+A2jx2+…+Aijxi+…+ANjxN=bj（9）

用向量的方式表示上式則為以下矩陣方程：

Ax=B（10）

考慮到菜品的實際價格、滿意度擺放位置以及營養(yǎng)成分等因素建立優(yōu)化模型，可以實現(xiàn)兼顧打菜時間、打菜滿意度、營養(yǎng)均衡以及實際價值最大的配菜優(yōu)化方案。使所打菜品的滿意度盡量高，走動距離和實際價格盡可能小，建立如下優(yōu)化目標(biāo)以及約束條件，如式（11）所示：

式中，C取0或1，當(dāng)C=0時表示不打這種菜，C=1時表示打這種菜。Ci，xi（i=1，2，…，n）表示n種配菜原料中第i種菜品的實際價格和配比;ximin表示第i種菜品的下限，ximax表示第i種菜品的上限; j=1，2，3時，Aji分別表示第i種菜品的營養(yǎng)成分;α為價格折算因子，可以根據(jù)實際情況計算得出;bj表示各營養(yǎng)成分;Si表示第i種菜的實際價格，其計算公式為：

Si=自助餐單價-第i種菜品的利潤（13）

3.2? ?遺傳-粒子群優(yōu)化模型建立

配菜過程中剩余量的影響具體表現(xiàn)在單種菜品的配比約束上，每種菜品配比必須在所設(shè)定的區(qū)間內(nèi)，否則會發(fā)生“缺菜”或“剩菜”現(xiàn)象。根據(jù)自助餐某種菜質(zhì)量所占總質(zhì)量的比確定每人所打這種菜所占比例的范圍，同時，各種菜的配比之和必須為1，不然不具備現(xiàn)實意義。以原料數(shù)目設(shè)立解空間，則1個配方能夠映射為解空間中的1點，即粒子所在位置，初始粒子群須要滿足以下條件：

其中pij表示第i個粒子第j維上的位置，vij表示第i個粒子第j維上的速度。這樣的初始粒子群在算法迭代過程中，能夠確保初始粒子的適應(yīng)度函數(shù)中p1=p2=0，并且在迭代的過程中，依然可以保持p1=0，由此提高了解的可行性。

由配菜的優(yōu)化目標(biāo)與約束條件可采取罰函數(shù)的形式來設(shè)計預(yù)配料適應(yīng)度函數(shù)， 將可約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成無約束的優(yōu)化問題：

4? ? ? 仿真實例分析

假設(shè)某同學(xué)不吃A4、A7、A9、A11、A16菜品，由此規(guī)劃一份合理的飯菜搭配方案。分別計算出A1、A2、A3、A5、A6、A8、A10、A12、A13、A14、A15所占的比例，為了避免“剩菜”和“缺菜”，規(guī)定每種菜所占比例上下浮動30%為其打菜的上下限。

利用上面的原理和表中的數(shù)據(jù)，用MATLAB進(jìn)行仿真試驗，GA-PSO遺傳操作交叉概率Pc=0.3、變異概率Pm=0.05，C1=C2= 2，w= 0.8。根據(jù)以上參數(shù)， 得到基本 PSO和GA–PSO算法2 000次內(nèi)的適應(yīng)度收斂。 若適應(yīng)度值越低， 說明配比的適應(yīng)程度越高。

最終得出的最優(yōu)配菜的評價結(jié)果為92.263 71。各個菜品所占比例為：A2，0.25;A5，0.31;A8，0.21;A12，0.23。

4.1? ?蒙特卡羅概率模型

總的打飯時間為T總=T排+T飯（T排表示排隊所需要的時間，T飯表示打飯所需要的時間），T排取決于每個人前面的排隊人數(shù)，T飯取決于每個人打菜的數(shù)量和最后一個菜的位置。

自助餐飯菜的擺放位置如圖1所示。

0? ? ? 引? ? 言

各學(xué)校食堂為了給師生提供更好的服務(wù)紛紛推出自助就餐業(yè)務(wù)項目。為實現(xiàn)學(xué)校食堂飯菜的科學(xué)優(yōu)化搭配、營造良好的就餐服務(wù)秩序等，在滿足食堂與師生利益雙贏的效益目標(biāo)下，本文給出該項業(yè)務(wù)的優(yōu)化經(jīng)營方案，包括以某種方式向就餐師生預(yù)先提供有價值的信息等，供經(jīng)營方和就餐師生使用。

1? ? ? 數(shù)據(jù)搜集

通過搜集數(shù)據(jù)得到某高校食堂16種菜品的滿意度，如表1所示。

由經(jīng)驗可得兩人打飯時間間隔在[3，6]上均勻分布（單位均勻分布），分布隨機(jī)數(shù)可以由MATLAB軟件通過編程直接產(chǎn)生。其分布密度函數(shù)為：

4.2? ?實例分析

隨機(jī)選定某同學(xué)排隊位置為第10個，且其規(guī)劃的菜單為A2、A5、A8、A12，則其打菜之前的排隊時間為前9個正在打菜的人依次打菜結(jié)束時的時間間隔之和，其時間間隔利用MATLAB中的Randperm函數(shù)，完成不重復(fù)的重排采樣，即得到9個服從[3，6]的隨機(jī)數(shù)，分別為4.5、4.8、5.4、4.6、3.7、3.9、5.8、4.5、3.5，可得排隊時間為T排=40.7秒。假設(shè)，

于是可得其整個打飯過程中所耗費的總時間為：

T總=T飯+T排=40.7+91=131.7 s（27）

主要參考文獻(xiàn)

[1]莫寶慶，馬婷.南京市大學(xué)生食物搭配的影響因素[J].現(xiàn)代預(yù)防醫(yī)學(xué)，2018，45（20）.

[2]榮杰，劉宏宇.做好高校食堂營養(yǎng)搭配均衡的策略淺析[J].大家健康，2015（9）.

[3]中國營養(yǎng)學(xué)會.中國居民膳食營養(yǎng)素參考日攝入量 [J].營養(yǎng)學(xué)報，2001（2）.

[4]陳傳賚.排隊論.[M].北京：北京郵電學(xué)院出版社，1994.